2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之分式方程

第16页（共16页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之分式方程一．选择题（共7小题）1．（2025•永春县模拟）分式方程2xA．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣172．（2025•东莞市二模）解分式方程2xA．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）3．（2025•罗湖区校级模拟）为改善某市森林公园周边环境，相关部门决定对该森林公园周边部分路段进行维修施工，施工全长3000米，为了早日方便市民，实际施工时，每天施工的长度比原计划增加20%，结果提前4天完成这一任务，若设原计划每天施工x米，则可列方程组为（）A．3000xB．3000(1+20%)C．3000xD．30004．（2025•海口一模）方程3xxA．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．原方程无解5．（2025•汕尾一模）如果分式方程xx-4A．﹣4 B．12 C．2 D．﹣6．（2025•天镇县模拟）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一．甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（）A．45x=30x+10C．45x=30x7．（2025春•上海校级期中）用换元法解方程3xx-1A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0二．填空题（共5小题）8．（2025•文成县二模）若1x+3=12，则x＝9．（2024秋•醴陵市期末）若关于x的方程2x-mx-1=3的解为正数，则10．（2025春•江津区校级期中）关于x的方程mx-2+x-1x-2=3的解为非负整数，且不等式组3x11．（2024秋•阳新县期末）若分式方程mx1-x=3-xx-1的解为正整数，则整数m12．（2024秋•利津县期末）若关于x的方程xx-4+5=a4-x增根，则三．解答题（共3小题）13．（2025•西宁二模）解方程：2x14．（2025•罗湖区校级模拟）已知关于x的方程3-2xx-3+2+解：方程两边同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步整理，得（m+1）x＝﹣2第二步当x＝3时，原方程无解，此时，（m+1）×3＝﹣2，m=-53，因此，你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．15．（2025•深圳二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套B型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．（1）求每套A型号的“文房四宝”的标价．（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，B两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，B型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套B型“文房四宝”？

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之分式方程参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CCACABB一．选择题（共7小题）1．（2025•永春县模拟）分式方程2xA．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣17【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：2x+8＝3x﹣9，解得：x＝17，检验：当x＝17时，（x﹣3）（x+4）≠0，故原方程的解为x＝17，故选：C．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．2．（2025•东莞市二模）解分式方程2xA．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）【考点】解分式方程；整式．【专题】计算题；运算能力．【答案】C【分析】方程两边都乘x（x﹣3），可得一个一元一次方程．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣3），可得2x＝3（x﹣3），为一个一元一次方程，故选：C．【点评】本题考查了解分式方程，关键是使分式方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程．3．（2025•罗湖区校级模拟）为改善某市森林公园周边环境，相关部门决定对该森林公园周边部分路段进行维修施工，施工全长3000米，为了早日方便市民，实际施工时，每天施工的长度比原计划增加20%，结果提前4天完成这一任务，若设原计划每天施工x米，则可列方程组为（）A．3000xB．3000(1+20%)C．3000xD．3000【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（1+20%）x米，根据题意，列出分式方程即可．【解答】解：根据题意得：3000x故选：A．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．4．（2025•海口一模）方程3xxA．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．原方程无解【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝x﹣2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解，故选：C．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．5．（2025•汕尾一模）如果分式方程xx-4A．﹣4 B．12 C．2 D．﹣【考点】分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】关于x的分式方程xx-4=2+a4-x【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a解得：x＝a+8根据题意得：a+8＝4解得：a＝﹣4．故选：A．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．6．（2025•天镇县模拟）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一．甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（）A．45x=30x+10C．45x=30x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程即可．【解答】解：根据题意得：45x故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．7．（2025春•上海校级期中）用换元法解方程3xx-A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0【考点】换元法解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】把xx-1【解答】解：原方程整理得3x把xx-1整理得：3y2+3y+2＝0．故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程．二．填空题（共5小题）8．（2025•文成县二模）若1x+3=12，则x＝【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】﹣1．【分析】方程两边都乘2（x+3），得出2＝x+3，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘2（x+3），得2＝x+3，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，2（x+3）≠0，所以x＝﹣1是原方程的解．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．9．（2024秋•醴陵市期末）若关于x的方程2x-mx-1=3的解为正数，则m的取值范围是m＜3【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】m＜3且m≠2．【分析】先解关于x的分式方程，它的解x用含量m的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于m的不等式，求解即可．【解答】解：2x解得：x＝3﹣m，∵原分式方程有解，∴x﹣1≠0，即3﹣m≠1（求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解），解得：m≠2，∵方程的解是正数，∴3﹣m＞0，解得：m＜3，∴m＜3且m≠2，故答案为：m＜3且m≠2．【点评】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于m的不等式是解题的关键．10．（2025春•江津区校级期中）关于x的方程mx-2+x-1x-2=3的解为非负整数，且不等式组3x【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣4．【分析】解分式方程求出x=m+52，再根据分式方程的解为非负整数，进而得出m≥﹣5且m≠﹣1，同时m+5是偶数，m为奇数．解不等式组可得m＜4，进而得出﹣5≤m＜4且m≠﹣1，【解答】解：mx方程两边同时乘（x﹣2），得m+x﹣1＝3（x﹣2），去括号，得m+x﹣1＝3x﹣6，解得：x=∵分式方程的解为非负整数，∴x≥0且x≠2，即m+52≥0解得：m≥﹣5且m≠﹣1，同时m+5是偶数，m为奇数．解不等式组3x解不等式①，得x≥5，解不等式②，得x＞m+1，∵不等式组的解集为x≥5，∴m+1＜5，解得：m＜4，∴﹣5≤m＜4且m≠﹣1，m为奇数，∴符合条件的m值为﹣5，﹣3，1，3，∴它们的和为：﹣5+（﹣3）+1+3＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．11．（2024秋•阳新县期末）若分式方程mx1-x=3-xx-1的解为正整数，则整数m【考点】分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】﹣1．【分析】先解含有字母参数m的分式方程，求出x，再根据分式方程的解为正整数，列出关于m的方程，解方程求出m，再判断m＝1时分式方程有无意义，从而求出答案即可．【解答】解：mx1-﹣mx＝3（x﹣1）﹣x，﹣mx＝3x﹣3﹣x，﹣mx＝2x﹣3，2x+mx＝3，（2+m）x＝3，x=∵分式方程mx1-∴2+m＝1或3，解得：m＝﹣1或1，∵当m＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，∴m≠1，∴整数m的值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键熟练掌握解分式方程的一般步骤和分式有意义的条件．12．（2024秋•利津县期末）若关于x的方程xx-4+5=a4-x增根，则【考点】分式方程的增根．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】﹣4．【分析】根据增根概念进行计算．【解答】解：方程两边同乘（x﹣4）得：x+5（x﹣4）＝﹣a，由条件可知x﹣4＝0，∴x＝4，由条件可得a＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查分式方程的增根，去分母后确定x的值是求解本题的关键．三．解答题（共3小题）13．（2025•西宁二模）解方程：2x【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝﹣7.5．【分析】方程两边同时乘（2x+3）（2x﹣3）得整式方程，然后根据单项式乘多项式法则和平方差公式展开，解整式方程求出x，再进行检验即可．【解答】解：方程两边同时乘（2x+3）（2x﹣3）得：2x（2x+3）﹣2（2x﹣3）＝（2x+3）（2x﹣3），4x2+6x﹣4x+6＝4x2﹣9，4x2﹣4x2+6x﹣4x＝﹣9﹣6，2x＝﹣15，x＝﹣7.5，检验：当x＝﹣7.5时，（2x+3）（2x﹣3）≠0，∴x＝﹣7.5是原分式方程的解．【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤．14．（2025•罗湖区校级模拟）已知关于x的方程3-2xx-3+2+解：方程两边同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步整理，得（m+1）x＝﹣2第二步当x＝3时，原方程无解，此时，（m+1）×3＝﹣2，m=-53，因此，你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．【考点】分式方程的解．【答案】见试题解答内容【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x＝3，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：当x＝3时，分式方程去分母得：（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，由分式方程无解得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程得：3（m+1）＝﹣2，即m=-当x﹣3≠0时，原式可化为x=-∵原方程无解，∴m+1＝0，即m＝﹣1．综上所述，m=-53或m故第三步错误．【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．15．（2025•深圳二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套B型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．（1）求每套A型号的“文房四宝”的标价．（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，B两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，B型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套B型“文房四宝”？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）100元；（2）29套．【分析】（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为（1+30%）x元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可；（2）设该校至少买了y套B型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为（1+30%）x元，根据题意得：3000x解得x＝100，经检验：x＝100是分式方程的解，且符合题意，所以每套A型号的“文房四宝”的标价为100元，答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；（2）设该校至少买了y套B型“文房四宝”，由（1）知每套B型号的“文房四宝”的标价为（1+30%）×100＝130（元），当0＜y＜20时，根据题意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y≥2100，整理得，25y≥600，解得y≥24（舍去），当20≤y＜40时，根据题意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105≥2100，整理得，25y≥705，解得y≥∵y为整数，∴y≥29的整数；当40≤y＜60时，根据题意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105×2≥2100，整理得，25y≥810，解得y≥综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

考点卡片1．整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．2．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．4．换元法解分式方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．5．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．6．由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的