夯实基础：直角三角形（解析版）

直角三角形夯实基础篇一、单选题：1．在RtABC中，∠C=90°，∠B=44°，则∠A=（

）A．36° B．46° C．56° D．66°【答案】B【解析】【分析】直接根据直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝44°，∴∠A＝90°－∠B＝90°﹣44°＝46°．故选：B．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．2．在中，BC是斜边，∠B＝35°，则∠C＝（

）A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵中，BC是斜边，∴，∵∠B＝35°，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，是解题的关键．3．在中，若，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形【答案】B【解析】【分析】根据三角形内角和定理，结合得出即可判断．【详解】解：在中，，，，即，，即是直角三角形，故选B．【点睛】本题考查三角形形状的判定，熟练掌握三角形内角和定理及直角三角形角内角特征是解决问题的关键．4．有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形的判定，对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；C、∵∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；D、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．5．如图，把一副三角板叠放在一起．则∠1的大小为（

）A．105° B．115° C．120° D．125°【答案】A【解析】【分析】先根据三角板的性质得出∠A＝45°，∠E＝30°，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图∵图中是一副直角三角板，∴∠A＝45°，∠E＝30°，∵∴∴∵∴．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角相等，互余的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．6．如图，直线l1∥l2，直线交于点A，交于点B，过点A的直线，交于点C．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠1=56°，再由，可得∠ACB=90°-∠ABC=34°，然后根据对顶角相等是解题的关键．【详解】解：∵l1∥l2，∠1=56°，∴∠ABC=∠1=56°，∵，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=90°-∠ABC=34°，∴∠2=∠ACB=34°．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．7．如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（

）A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE．【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∵∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用以上性质，进行推理计算．二、填空题：8．在中，，比大则______．【答案】35°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，然后解方程组即可．【详解】解：，，比大，，得，，．故答案为．【点睛】本题考查了三角形的内角和，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出关于、的两个方程是解题的关键．9．如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为__________.【答案】270°##270度【解析】【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，∴∠GCF+∠DBE=90°，∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，故答案为：270°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．10．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，DE⊥AB于E，交AC于F，∠B=50°，∠CFD=60°，则∠ACB=__．【答案】100°【解析】【分析】根据对顶角的定义、直角三角形的性质可以求得∠A=30°．然后由△ABC的内角和定理可以求得∠ACB=100°．【详解】解：如图，∵DE⊥AB，∠CFD=60°，∴∠AEF=90°，∠AFE=60°，∴∠A=90°﹣∠AFE=30°，∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠A=100°故答案为100°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的性质．由垂直得到直角、三角形内角和是180度是隐含在题中的已知条件．11．如图，是的高，是角平分线．若，，则______°．【答案】50【解析】【分析】在中，先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和即可求出．【详解】解：是的高，．．．是的角平分线，．，．在中，．故填50．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活应用三角形内角和定理成为解答本题的关键．12．将一副三角板如图放置，若，则________度．【答案】75【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．【详解】因为，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，90°-15°=75°．故的度数是75度．故答案为：75．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．三、解答题：13．如图，已知在中，，AE是BC边上的高，AD是的角平分线，求的度数．【答案】10°【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．【详解】解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴，∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．14．如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点．(1)若∠1=58°，求的度数；(2)若，，，求直线与的距离．【答案】(1)32°(2)【解析】【分析】（1）先求出∠ABC，再利用平行线的性质求解即可；（2）利用等面积法即可求解．(1)∵，∴∠BAC=90°，∵∠1=58°，∴∠ABC=90°-58°=32°,∵,∴∠2=∠ABC=32°．(2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D所以线段AD的长度等于a与b之间的距离，因为AB⊥AC所以AB·AC=BC·AD，所以AD=，所以a与b的距离为．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形两个锐角互余，平行线的性质、三角形的面积公式等内容，解题关键是牢记相关概念与性质．15．如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．【答案】∠DAC=

40°，∠BOA=

115°．【解析】【分析】由直角三角形两锐角互余知∠DAC=40度，根据三角形内角和定理得∠CAB+∠ABC=130°，AF、BE是角平分线，则∠BAO+∠ABO=

(∠CAB+∠ABC)=65°，从而得出答案．【详解】解：∵AD是高，∠C=50°∴∠