重庆大学 数字信号处理(郭永彩)答案全

第2章离散时间信号与系统

1

N片)uoca6号RR—等)-------

除手。羊L二弯二与

.、能E/向

(3)x(n)=e*8

解:⑶令

得-T=2m;rmwN

8

T=16n\7r

•..找不到使T为正整数的m值

..Ii

x(n)=e8不是周期序列

⑦“㈤二%^a1十4专丸口

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一

〃〃〃（此题按照周期序列的定义求解）

1（8）.«〃）二2cos4;:+sinL-2cosL

486

解：此序列周期为48.

2

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2(15)—，〃(一〃—1)

解：①〃=0时，女〃）=0,系统具有因果性和稳定性。

②〃工0时，

因果性：由于〃《-1时，火〃）工0,故为非因果系统;

-00+8-1

稳定性；s=£।火〃)|=£］，〃(〃卬=£I”

7X-OC/A=-XZZ="0C

I">1忖，s<+8,为稳定系统；

z7<llhf,S->+oo,为『稳定系统。

（16）]<；〃（〃）；（注意：此处/为虚数符号，不是变量！）

解：I大1果性：〃<0H寸,h（n）=0时,为因果系统；

—00+00/・、“XC・"

稳定性:s二Zl"（〃）l=Z~〃（〃）=z".为稳定系统。

//=-X//=-XV-//7=o-

3

3.确定系统稳定、因果、线性、非时变性。

(2)T[x(n)]这x(k)

k=n0

(4)T[x(n)]=x(n-n0)

(6)r[x(/?)]=ax(n)+b

(8)71x(〃)]二/(〃)

(l())T[x(/?)]=x(〃)sin(|m+g)

36

(2)解：①线性：设，

x(n)=ax[(n)+bx2(n)

)，(〃)=71x(〃)]=T[axx(〃)+bx2(n)]

=£ar1(n)+ax2(n)

/I〃

一a£$(〃)+bXx2(n)

*=«ok=no

=ayi(n)+by2(n)

・•・该系统是线性系统

②时变性：

n-m

y(n-m)=>%伙)*T[x(n-m)]

A="o

・.•该系统是M变系统

③稳定性：若

),(〃)=71x(〃)]=£](%)4

k=n0k=n0

找不到一个常数，使得，故系统不稳定。

④因果性：只与时刻以及时刻之前的输入有关，故该系统是因果系统,

(4)①线性：设

)，(〃)=T[x(n)]=T[axl(n)+bx2(n)]

=ar,(〃一〃°)+bx2(n-n0)

=ay](n)+by2(n)

・•・系统是线性的

②时变性：

-M-m-H0)=T\x(n-m)]

该系统为非时变系统。

③稳定性：若

则y(〃)=x(〃-〃())<M

:.系统是稳定的。

④因果性：

时，系统的输出只与该时刻及之前的输入有关，系统为因果系统。

时，系统为非因果系统。

(6)①线性：设

T[x(n)]=a[Ax}[n)+Bx2{n)]+b

=aAx](〃)+aBx2(n)+h

工A[ax1(〃)+/?]+B[ax2(n)+b]

=Ay](n)+By2(<n)

・••故系统为非线性系统。

②时变性：

/

T[x(n-rn)]=y(n-m)

・•・系统为非时变系统。

③稳定性：若则

y(〃)=ax{n}+〃〈同M+〃

・•・系统是稳定的。

④因果性：只与nE寸刻及以前输入有关，故系统是因果系统。

(8)①线性:设

22

T[x(n)]=x(/r)=ax[(n)+bx2(n)=ay\(n)+by2(n)

・•・系统是线性的。

②时变性：：

T[x(n-m)]=x[(n-m)2],y(n-m)=x[(n-m)2]=T[x(n-m)]

系统是时不变的。

③稳定性：若则

y(n)=x(/?2)<M

••・系统是稳定的

④因果性：

当或时，与n时刻以后的输入有关，故系统是非因果的。

3(9)7卜[〃)]=£；.«才)；(此题按照系统各个性质的定义求解即可)

才=-00

解：非稳定、因果、线性、非时变系统；

.271

(10)T[x(ri)]=x(n)sin(—nn+―)

36

①线性：设

27V

T[x(n)]=[叫(〃)+bx(n)]sin(—万〃+—)

236

.、..27t...271

=or1(n)sm(—7rn+—)+bx(n)sin(—nn+—)

36236

=叫(〃)+勿，2(，)

，系统是线性系铳。

②时变性：

T[x(n-tn)]=x(n-/zz)sin(—+—)

36

.2471

y(n-m)=x(n-m)sin[——(n-ni)4——]wT[x(n—nij]

36

・••系统是时变系统

③稳定性：若均

27T

则)，(〃)=x(〃)sin(—加+―)<M

36

・.・系统是稳定的

④因果性：

只与时刻以及以前的输入有关，故系统是因果的.

-W0

(11)/卜⑨卜小(此题按照系统各个性质的定义求解即可)

^=-<x

解：非稳定、非因果、非线性、时变系统:

(12)T[x(n)]=nx(n)

①线性：设

T[x(n)]=n[axl(〃)+bx2(«)]=anx[(〃)+bnx2(n)=ayt(n)+by2(n)

・•・系统是线性的

②时变性：

T[x(n-tn)]=nx(n-m)

y(n-〃z)=(〃-rn)x(n-m)H71M〃-Ml

・•・系统是时变的

③稳定性:若，均,则

找不到一个常数，使得，

・•・系统不稳定

④因果性：

只与n时刻以及之前输入有关，故系统是因果系统。

4

4.已知力(〃)=］茂7",4〃)=｛n鲁",求可〃)=*力(〃)

-HX

解：1(〃)=.4〃)*/>(//)=Z.(〃)力(〃一7〃)

Z7=1X

若要M〃)HO,则｛岸…=｛黑小

分情况讨论：

①〃<〃o时，1不〃)=0

@n-N<z/o<〃，即4<〃<生+儿时，''(〃)二£pi4”

加=々

③〃0«〃一工,即〃2%+加时，.1(〃)二£piaf

m=n_N4

7

7.己知力(〃)=/〃(〃),其中Ov|水1H")={»鬻T,求H〃)=M〃)*"(〃)

田

解：i(〃)=.《〃)*力(〃)=Z火〃/).«〃-/〃)

若要•1、("/)工0,贝IU2£〃一ZV小S八一,11=>({Z武T-A+卬1SZ亦VS〃ZZ

分情况讨论：

lJ/7<0lbf,,-(//)=0

〃1-z/+11

②〃一及+iwow〃，即ow〃"一1时，.】(〃)=y^=------=——

m=Q1一〃1一〃

③〃一儿+1>0.即〃2及一1时，.《〃)=£cT=(-----'=------

m^N.\1一〃1一〃

9

(2)一(0.5)"〃(一〃一1)

+OC>00-14-X

解：X(z)=£.«〃):-〃=£一(0.5)"〃(一〃—1)「=一£(0.5)"="=一£(2二)〃

n—xzr-oozz-1

3-1

当|2，＜1即目〈人时，1（二）收敛，此时1（二）二」^，零点=。二0,极点=/二L

22二一12

故此序列的收敛域为日＜；,零点二.二0,极点二〃二;

(4)(0.5)[〃(〃)-〃(〃-10)]

产产991

解：X(z尸ZM〃L"=Z(0.5)〃[〃(〃)-〃(〃-10)]L=Z(05)Y"=Z(7T)"

n-»"0mO乙・

l-（y-）10。-尸一］

当目=0时，才（二）收敛，此时.丫（二）二一至一二上?-----，求得零点

11

1,（±）（2二）二2:-1）

"二;/京―（其中k=l.…9,注意：k=0时z0=0.5.此项与分母中的（2z-l）消掉）,

有一个9阶极点二夕=0。

故此序列的收敛域为百工0，零点二0='J」，（k=l,---9）.9阶极点二夕=0.

p

(8)Aicos(o0/z+»)〃(〃),0</,<1

fln

解：X(z)=ZM〃)二二ZAjcos((y0//+0)〃(〃)二"=Zcos(ro0//+(p)z~

n«-ocZM-X加0

-K©

zr=Ozr=O

当H%二平出,八二］＜i时，i（二）收敛，得到忆|＞人

rcos<p-7-cos(o0-</))

此时-r(r)=-(-I(二一//例)(二求得零点

21…例）

rcos(«-(p)

0有2个极点“心,二p?=N.

COS0

故此序列的收敛域为目〉/，零点二“二黄詈鱼，极点％”

(10)—//(//)

//!

■♦•CO1田1

解：x(z)=z.«〃)尸二z1〃(〃);—"=Z-；二-"二，

n-oczr-OD〃•»0〃•

故此序列的收敛域为不包含原点的整个复平而，极点二2=0,无零点。

（12）—,//＞1,（提示：求导）

〃

产产1

解：x(z)=ZM〃)二一"二Z一二

n=yn=\〃

对X⑵求一阶导数得X(z)=・三二"1

n-l

当二7＜1即目＞1时，1'(二)收敛，此时11)二一一一二七一一—

1一二zz-\

对X(z)求积分得X(z)=jX(z)=j—-j=Inj-lii(r-l)=hi—

则有2个极点》=0,今2=1，无零点.

故此序列的收敛域为目＞1,极点二十0.%二1，无零点.

10

10已知X(z),求x(n).

(1)X(z)=2—\z\>\

i+-z-]+-z-2

48

解:化简X(z)得:

43

X(z)=

1+-Z-11+-Z-,

24

由上式可知X(z)有两个极点Z[=-呆2=-7设工(〃)"(〃)+/2(〃)

.小(〃)和X2(〃)都是右边序列

内(〃)=4(一；)"〃(〃)

〜(〃)=-3(-；)""(〃)

于是x(n)=4(--)"〃(〃)一3(-

24

(2)X(z)=------：--------|z|>|4例

。—一7)(1-庆7)

解:化简X(z)得:

由上式可知X(z)有两个极点Z1=-a,z2=一/?,设工(〃)=菁(〃)+匕(〃)

旧》同，网

.•・X(〃)和々(〃)都是右边序列

%(〃)=—^7〃"〃(%)

a-b

于是x(n)二人(a*-夕句)〃(〃)

...、1—ciz1II1

(3)X(z)=———\z\>-

z-aa

解：化简X(z)得：

由上式可知X(z)有一个极点z=a~\

为右边序列

又・.修(〃)/变先＞1

于是x(〃)=(a——)a~nu(n)-a3(n)

a

(4)X(Z)=1<|z|<2

解：化简X(z)得:

X(z)=——

l-2z_,l-z-,

由上式可知X(z)有两个极点Z[=1*2=2,设X(")=x](n)+x2(n)

*/1<|z|<2

.•.±5)为右边序列，/(〃)为左边序列

%(〃)=_〃(〃)

X2(〃)-2•—2"u\—n—1)

于是x(n)=-u(n)-2"+i«(-??-1)

z-5

⑸X(z)=0.5<|z|<2

(l-0.5z-')(l-0.5z)

解：化简X(z)得:

46

X(z)=

l-2z-1l-0.5z-1

由上式可知X(z)有两个极点Z]=2,z2=0.5,设必?)=%(〃)+々5)

0.5<|z|<2

为左边序列，/(〃)为右边序列

%(〃)=-42"〃(一〃一1)

x2(/?)=一60.5"〃(〃)

于是x(n)=—4•2"〃(—〃—1)—6,0.5"〃(〃)

1

(6)X(z)=|z|<l

(l-z-'Xl+z-1)

解：化简X（z）得:

X(Z)=-(^-r+—!-r)

21-z-11+z-1

由上式可知X(z)有两个极点Z[=l,z2=-1,设x(〃)=%(〃)+占(〃)

V|z|<1

X](")和/(〃)均为左边序列

=-1)

M

x2(«)=-—•(-1)w(-7?-l)

于是x(〃)=M(〃)+玉(〃)=-〃(一〃一1)(/?=2k,kGZ)

(10)X(9=------7------,H>2

(r-l)2(r-2)11

解:利用留数法:

由逆z变换定义：M〃）二一一匚丫（二）/区

2里/J-

/式二）有一个二阶极点%=1,一个一阶极点二月二2

根据留数定理得：.丫（〃）=㈢尸在C内的极点P,上的留数］

=Res[尸(二).1]+Res，(二),2]

=2〃—〃—1(n=0.1,2....)

=2〃—zz—1(11=0,1,2)

=（2〃一〃一1）//（77）

(11)1(二”一字~7.2<|r|<3

1+二一】-6三2，II

解:利用部分分式法:

由于收敛域为2＜目＜3,则

M〃)=2^//(//)+(-3)*〃(-〃-1)

14

14.为实因果序列，其傅里叶变换实部为，求及其傅里叶变换。

解：由于序列的共枕对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换实部，故

he(n)=IDTFT(H

=＜y(77)+—J(z?-1)+—+1)

22

h(n)为实序列.•./?♦(-〃)=力(一〃)

为因果序列，所以，

4(〃)=g[〃(〃)+4*(-〃)]

=g[/?(〃)+〃(-〃)]

=5(〃)+48(〃-1)+』3(〃+1)

22

当时，上式化为：

222

/?(/?)=25(〃)+b(〃-1)+旗〃+1)

-1)

当时，

/.h(n)=3(〃)+-1)

其傅里叶变换为:

序列的傅里叶变换的定义和性质

[例2卜若序列h(n)是实因果序列，其德立叶变换的实部为

jw

HR(e)=l+cosw,求h(n)及其H©w).

00

解•・•HR(ejw)=FT[he(n)]=1+0.5W+0.5e~^=^he(n)eM

0.5n=-1

/.he(n)="1n=0根据实因杲序列特性，h(n)=he(n)U+(n)

-0.5n=1

,0,n<0f1n=0

h(n)="he(0),n=0=-1n=1

2he(n),n>00其它n

根据仲立叶交换定义，H@w)=FT[h(n)]=Zh(n)e"wn=i+?jw

n=-oo

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15

15.为实因果序列，其傅里叶变换虚部为，求及其傅里叶变换。

方法1：

解：序列的共枕反对称分量的傅里叶变换为序列的傅里叶变换的虚部，所以

1

4⑺=/。用以(，町=2双〃T)一次〃+D]

是实因果序列，故

1/?(〃)=(),〃<0

Ih*(-n)-h(-n)

于是

=^lh(n)-h(-n)]

=3隆(〃-1)-3(〃+1)]

得

〃⑴=i

<//(0)=C

/?(〃)=0,n>1或〃<0

其傅里叶变换为F[h(n)]=C+e~JM

方法二：

若序列h(n)是实因果序列,h(O)=l,其傅旦叶变换的虚部为:HI(ej()=-sin(，求序

列h(n)及其傅里叶变换H(ej()o

答：

1

H,)=-sin<y=--(*-1)

rT[h0(〃)]=jH,(e2)=-1(e加-e-加)=£%(〃)△'"'

乙M="O»

1

--

2,n=-\

%0

〃=()

1

-

2,〃=1

0,z?<0

h(n)={/?(〃)，〃=0

2h〈Qi),n=1

I,71=0

=<1,n=1

0,其它

"(〃&)=£/?(〃)"/.=1+e-a=2e~j6),2cos-

n="oc2

17

(1)

一个因果线性非移变系统用如下差分方程表示

y(n)=y(n-1)+y(〃-2)+x(n-1)

①求系统函数，并画出零、极点图。

②求系统的单位样值响应力(〃)。

如果这个差分方程表示的是个稳定的线性非移变系统(但非因果)，求系统的单位•样值

响应。

解：

①对差分方程两边进行z变换可得：

z

求得系数函数为：H(z)=-

1—z-z-2~~~1+同,~~1-二、

(z——--)(z——--)

22

1

i+Ji

,|z|>

1+7行1-V52

z------------z—一

22

系统函数的零、极点图

点

o等

点

X极

T

P

D0.5

A

J

P

&U

CED

一-0.5

-1卜一..'.•，入”.j.、.

-0.500.5

RealPart

②由系统函数及其收敛域可得：

③如果该系统为稳定系统，则系统函数的收敛域包含Z平面中的单位圆，因此其收敛域

为：

从而得到对于的系统的单位样值响应为：

h(n)=-1+")”u(-n-1)1Zl-V5

2Vs2

(2)

9伽)+:?伽-1)=人(同)+；双月-1)

(1)求系统函数H(Z)的收敛域;

(2)求该系统的单位取样响应;

(3)求该系统的频率响应。

解：(I)对差分方程两端进行Z变换，可以得到

y（z）」y（z）z，=x（z）+U（z）z」

42

则系统函数E（2）为

y（z）

耳(Z)=

所以其收敛域（ROC）为

（2）系统的单位取样响应是系统函数/的逆Z变爽，由（1）结果知

y(z)/+#[i।拉"

H(Z)=

X(Z)1+lz-11+lz-1

AAA

又由于

ROC\Z\>1

ROC:\Z\>a

所以

勋）=信)〃⑷仪T)

（3）系统的频率响应

月（m（z）g2

1

i+L-“

4

18

18求以下线性非移变系统的单位冲激响应，并判断它是否为因果系统，是否为稳

定系统.

(1).F(〃一1)一?«〃)+.1(〃+=

对方程两边同时取Z变换得:2”（力一”其力+闭力=）⑶

则仃H©二9=——-=-—J—

•】"）-3一81-3广,_l.i

・•一X4V

33）

则〃（二）有两个极点:，=3,二月=；•

1?(1\

®]4<A,h(n)=--3---//(-//-l),系统为非因果非稳定系统;

38\3；

_3〃〃(_〃_1)_弓

②！<目<3,h(n)=1〃（〃），系统为非因果稳定系统;

3o

2(I\

③目〉3.h(n)=-3〃--//(//).系统为因果北稳定系统.

8k3/

（2）,«〃一1）一；,1（〃）+.1（〃+1）=M〃）

一

对方程两边同时取Z变换得：二-1?（二）-；八二）+二八二）二1（二）

则有，（二）=9=1211

1（二）

则〃（二）仃两个极点:二产2,

产人X-7

2

®M<|h(n)=--2"-//（-//-1）,系统为非因果『•稳定系统:

3

2

@—<|.|<2.11(11)=--2"〃(-〃-1),系统为佳因果稳定系统;

2

③目>2,h(n)=—〃（〃），系统为因果非稳定系统.

19

一个因果线性非移变系统的系统函数为

a）

,实数

a应满足什么条件？系统是稳定的。

（2）在z平面用几何方法证明该系统是个全通滤波器（即系统的幅频特性为一个

常数r

（3）把与另一个系统级联起来，使整个系统函数等于1。设，且为一个稳定系统，求系

统的单位样值响应。

解：①当a<l时，收敛域包含单位圆，从而系统是稳定的。

②证明：系统的零、极点图如下所示，图中C表示零点,D表示极点,A表示Z平面单位

圆上任意一点。

由图可得：

因为A为单位圆上任意一点，因而有

则上式可化简为

，1I1八.2\

x2+y2--x+--y1——x+—r—r(l-2ov+67)

2

|H（^）|=-L==~j0=Jaa=Ja*___________

211

yjx+y-2ax+aY1-2ax+a\1-lax+a

故该系统是个全通滤波器。

zaz_i

③由题意可得“（2）二」^=-i-2

z-az-az-a

/（Y"«£Ti

u(n—1)

第3章离散傅里叶变换及其快速算法

1.如题图3.1所示，序列是周期为4的周期序列，求求其傅里叶级数的系数。

解；由图可知；

x(0)=2,i(l)=L尤(2)=0,尤(3)=1,N=4

.-j—nk-j—nk-j—Jt-j—k冗

222

N(A)=2比(〃)e丁=2*(")e=2+e+e=2+2cos—女

n=0n=02

可得：X(0)=4,X(l)=2,X(2)=0,X(3)=2

2.

计算周期序列文(〃)的傅里叶级数的系数x(k)o

解：由序列文5)可知其周期N=4,

/V-1.2左3EL宗L.37

N(A)=Z*(〃)e'11=£无(〃)e'21=j+J'二/e""+e'2

n=On=O

兀

=j+2cos—Z:-jcos7ik

可得：%(())=2,X(l)=2j,X(2)=-2,X⑶=2/

3

3.设.《〃)=々(〃),网〃)=乂(〃))6，试求上(才)，并做图。

解：耳〃)如图所示：

A-〃)

•m匚•m匚二

01234567S91011

5,k-6〃

.5乃,

〜%-心■加5展初二展公\-e~我上sin~T左

1(#)=2¥3[网〃)]:工边')6"=£网〃)e〜二工6〜，

e3----，左=6〃

1-e二r>

sin—/■

6

山木)|如卜・图所示：

4

〃,04〃05--

4.设H〃)=1c.....>叔〃)=4(〃-2),令何〃)=.«(〃))6，力(〃)=砥〃))6.试求回〃)与力(〃)的周期

0.具他n

卷积，并做图。

AM〜

解：y(//)=Z$(/〃)%(〃-")

y（”）

[10.//=0

14.//=1

曰-!12,//=2

y(〃)=£网〃，)力(〃一/〃)=£网〃，)力(〃一/〃)={_

AOg015〃;J

8,〃二4

、6,〃=5

5

5.试求下列有限长序列的N点DFTo

(1)x(/i)=0<n(i<N

(2)x(n)=nRN(n)

(3)*〃)=，％(〃)

解：（1）

N-\,N-lI_N+(N-I)M

⑵X(幻=ZY(，)W：=»W；=

〃=0〃=0a-阅y-

“，皿，1_

6

6.已知27Z7[M〃)]=试求DFT[X(k)].

AM

解：IGO=勿71M〃)]=ZM〃)厅.0wk<N-\

zr-0

iN-\

M〃)二IDF7\X^二一Z.1'"-)4",0<//<TV-1

八7AO

3-1]3M

则47711(#)]=Z*(才)=yVx[—^.r(^)/^]*=NX.«、—〃)

mO/V加0

7

7.设有两个序列=和"〃)=<5(//-2),试画出它们的六点圆周卷积.

0,其他n

5,77=0

6,〃=1

W-11,〃=2

解:y(〃)=.《〃◎(〃)=£.r(〃/)今(〃-〃/))“&.(〃)=<

种02.〃=3

3.〃二4

4.7/=5

5

8

8.设序列M〃）为N点有限长序列，M〃）的傅里叶变换为“产）,试用1（/）表示下列序列的傅

里叶变换:①M2〃）；②.（）；③/（〃）；

解：已知1（"*）=2>"7|4〃）］=工》（〃,内"，.1（〃）=一£而

~o27r

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