第六章计数原理

第六章计数原理一、知识点回顾计数原理分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理)分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么；(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)弄清分步、分类的标准是什么；(4)利用两个计数原理求解．分类加法计数原理与分步乘法计数原理相同点和不同点分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立,不重不漏步步相依,缺一不可二项式定理二项式定理1．二项式定理（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数，，．．．,，2．二项式系数的性质性质性质描述对称性增减性二项式系数最大值当为偶数时，中间的一项取得最大值当为奇数时，中间的两项和取得最大值二项式系数求和eq\o([常用结论])1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.2．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.3.若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1，2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项；(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项；(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项；(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．[注意](1)项数为n＋1；(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．二、题型汇总考点01有关排列数的计算与证明考点02元素（位置）有限制的排列问题考点03相邻问题的排列问题考点04不相邻排列问题考点5有关组合数的计算与证明考点06组合计数问题考点07分组分配问题考点08排列、组合综合考点09：利用分配系数求指定项或系数考点10：二项式系数的最值及系数的最值考点11三项式展开式中特定项(系数)问题三、题型通关考点1有关排列数的计算与证明例11.n∈N∗，n<20，则21−n⋯100−n等于（A．A100−n80 B．A100−n20−n C．A【解答】因n∈N∗且n<20，其中最大因数为100−n，最小因数为21−n，由排列数公式的意义得结果为A100−n所以(21−n)(22−n)⋯(100−n)=A100−n例12.不等式3Ax3A．3,4,5 B．3,4,5,6 C．x∣3≤x≤5 D．x∣3≤x≤6【答案】A【解答】易知x≥3，x∈N因为Ax3=xx−1x−2所以原不等式可化为3xx−1x−2≤2xx+1+6x例13.不等式A8A．2,8 B．2,6 C．7,12 D．8【答案】D【解答】由A8x<A8x−2，可得又因为x≤8x−2≥0，解得2≤x≤8，综上可得7<x≤8，又由x∈N∗例14.解下列方程或不等式．(1)A2n3=2An+1【解答】（1）因为A2n3=2An+14，由由原式可得2n(2n−1)(2n−2)=2(n+1)n(n−1)(n−2)，解得n=5或n=0或n=1．又因为n≥3，所以n=5．（2）因为A8x<6A8x-2，由由原不等式可得8！(8−x)！<6×又3≤x≤8且x∈N∗，所以考点2元素（位置）有限制的排列问题例21.从6人（包含甲）中选派出3人参加A，B，C这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加A和B活动，则不同的选派方案有（

）A．60种 B．80种 C．90种 D．150种【答案】B【解答】当甲被选中时，不同的选派方案有A5甲没被选中时，不同的选派方案有A5故满足条件的不同的选派方案有20+60=80种.故选：B.例22.某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从A，B，C，D，E，F这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工A不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（

）A．360种 B．300种 C．180种 D．120种【答案】B【解答】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为A6其中员工A在第四道工序工作的安排方法数为A53种，所以不同的安排方法共有A例23.某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（

）A．48种 B．36种 C．24种 D．18种【答案】B【解答】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法；剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有A33种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有所以共有不同的安排方案有3×考点3相邻问题的排列问题例31.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】C【解答】将2本语文书捆绑、2本数学书捆绑，则相同科目的书相邻的排法种数为A2例32.春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（

）A．240种 B．188种 C．144种 D．120种【答案】D【解答】先将“相声”与“小品”排在一起，有A22种排法，再与其它4个节目排序，有最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有A2例33.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（

）A．18 B．24 C．36 D．42【答案】C【解答】剪纸和插花课相邻的安排方法有A4剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有A3故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法一共有48−12=36，故选：C.考点4不相邻排列问题例41.一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【答案】D【解答】四书、五经必须分别排在一起，共有A5若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有A33A例42.由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（

）A．60 B．108 C．132 D．144【答案】B【解答】先排3个奇数，有A3排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有A4但此时0放在首位的情况有A32=6种，故满足条件的排法有考点5有关组合数的计算与证明例51.C63+A．315 B．330 C．345 D．360【答案】A例52.已知Cn+15−CnA．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解答】因为Cn+15−又Cn5+Cn6=C例53.关于x的方程C112x=A．x=3 B．x=4 C．x=3且x=4 D．x=3或x=4【答案】D【解答】因为C112x=C113x−4，则2x=3x−4或若x=4，可得C118=C118，符合题意；若x=3，可得例54.若Cn4>CnA．6,7,8,9 B．6,7,8C．n|n≥6,n∈N∗ 【解答】∵Cn4>Cn6，∴∵n∈N∗，∴n=6,7,8,9.∴n的取值集合为考点6组合计数问题例61.某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（

）A．80种 B．90种 C．100种 D．120种【答案】A【解答】若恰有1名女生参加，则有C5若恰有2名女生参加，则有C5所以共有40+60=100种不同的选派方式．故选：C.例62.若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F数”，这样的“F数”有（

）A．17个 B．19个 C．20个 D．21个【答案】C【解答】由题意，可得4=4+0+0+0=3+1+0+0=2+2+0+0=2+1+1+0=1+1+1+1，当四位数为由4,0,0,0构成时，共有1种情况；当四位数为由3,1,0,0构成时，共有C2当四位数为由2,2,0,0构成时，共有C3当四位数为由2,1,1,0构成时，共有C31A由分类计数原理，可得共有1+6+3+9+1=20种不同的“F数”.故选：C.例63.学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（

）A．20 B．30 C．22 D．40【答案】C【解题思路】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得.【解答】选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为C3有3个女生1个男生时，选法种数为C33C4考点7分组分配问题例71.甲、乙等5人去A,B,C三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（

）A．112 B．114 C．132 D．160【答案】B【解答】去A,B,C三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，因此先分组再分配，5个人可以分为3组，分别是1,1,3、2,2,1，当为1,1,3时，有C51C41再分配到三个不同的景区，有(10+15)×A将甲乙捆绑起来作为一个元素，此时有四个元素去三个不同的景区，此时只有1,1,2这种组合，因此有C41C因此满足题意的有：150−36=114种.故选:B.例72.将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（

）A．240种 B．150种 C．60种 D．180种【答案】B【解答】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“2:2:1”或“3:1:1”两种分配方案.按照“2:2:1”分配时，有C52C32由分类加法计数原理，可得不同分配方案有90+60=150种.故选：B.考点8排列、组合综合例81.现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．【解答】（1）由题意可得共A2（2）先排老师和女学生共有A44种站法，再排男学生甲有C31种站法，最后排剩余的所以共有A4（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有C21C再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有A5所以共有C2例82.某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛.某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.(1)一共有多少种不同的出场阵容？(2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？【解答】（1）出场阵容可以分两步确定：第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有A5第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有C3根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为N=A（2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案：第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有A4第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种；第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种；第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有C3根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有2×4×C根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为N=A例83.从A，B，C等8人中选出5人排成一排.（1）A必须在内，有多少种排法？（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【解答】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有C74种不同结果，再将这4人与列有A55种不同的排法，故由乘法原理可知共有（2）从8人中任选5人排列共有A85种不同排法，A，B，C三人全在内有法，由间接法可得A，B，C三人不全在内共有A85−（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有C52种不同结果，A，相邻，有A22种不同排法，由于C与A，B种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3各空位中有A3排法，由乘法原理可得共有C5（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有A6第二类：所选的5人有A、无B，共有C6第三类：所选的5人无A、有B，共有C6第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有C6若A不排中间时，有C63C综上，共有4440种不同排法.考点09：利用分配系数求指定项或系数A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项【答案】C即第6，7项的二项式系数相等，且最大．故选：CA．120 B．252 C．210 D．45【答案】CA． B． C． D．【答案】BA．60 B．80 C．100 D．120【答案】B考点10：二项式系数的最值及系数的最值展开式系