专题14有理数的乘方与有理数的混合运算（原卷版）

专题14有理数的乘方与有理数的混合运算TOC\o"13"\h\z\u预习目标 1新课轻松学 2新知速通 2题型探究 4题型1、有理数乘方的概念 4题型2、有理数乘方的运算 5题型3、乘方运算的符号规律 7题型4、有理数乘方的逆运算及简算 8题型5、偶次幂的非负性 9题型6、有理数乘方的实际应用 10题型7、有理数乘方的新定义问题 13题型8、含乘方的有理数混合运算 15题型9、有理数混合运算——程序框图 17题型10、有理数混合运算——24点游戏 19基础通关 20拓展提优 261.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；2.会求有理数的正整数指数幂；3.

熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则；4.感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心。【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？【思考2】(1)边长为a的正方形的面积为___________；(2)棱长为a的正方体的体积为___________；(3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法）(4)这种写法读作什么呢？【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。1.有理数的乘方乘方的概念：求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；其中叫做底数，叫做指数，叫做幂。2．整数指数幂的符号规律1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；3）0的任何正整数次幂都是0。注意：①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1；②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有，一个数可以看作是这个数本身的1次方；③指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方)．例如，n2读作“n的平方”(或“n的二次方”)，n3读作“n的立方”(或“n的三次方”④指数n是正整数，底数a可以是任意有理数．⑤书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些．如：(-3)5⑥在运算时要看清楚底数和指数到底是谁；⑦带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算；⑧乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来。3．偶次幂具有非负性任何一个数的偶数次幂都是非负数．4．有理数的混合运算1）有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算．2）有理数混合运算的顺序①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。题型1、有理数乘方的概念【解题技巧】个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。（2）在中，底数是，指数是，意义是．A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同例3．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（

）A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘A．7个相加 B．12个k相加 C．4个相乘 D．7个相乘变式1．（2425七年级上·黑龙江·课后作业）（1）的底数是，指数是；（3）的底数是，指数是．A．乘以6的积 B．6个相乘的积C．5个相乘的积 D．6个相加的和A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘A． B． C． D．题型2、有理数乘方的运算【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算(1)；(4)；例2．（2425六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（

）例3．（2324七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（）A．2 B．8 C． D．A．1 B．3 C．7 D．9(1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字；变式1．（2324六年级下·上海静安·期中）下列各式中，正确的是

）变式2．（2324七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）变式5．（2425七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23类比上述式子，你能够得到：题型3、乘方运算的符号规律【解题技巧】1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（）A．一定是正数 B．是正数或负数C．一定是负数 D．可以是任意有理数A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确例4．（2425六年级上·上海·阶段练习）若互为相反数，为正整数，则（

）A．与互为相反数 B．与互为相反数变式1．（2024六年级下·上海·专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（）A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数A．5 B．4 C．3 D．2A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④A．1 B．1 C．0 D．2题型4、有理数乘方的逆运算及简算例3．（2425七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式：(1)每组两个算式的结果是否相等？(2)根据（1）的结果猜想等于什么？解答下列问题：变式1．（2425七年级上·吉林长春·阶段练习）立方等于64的数是．A．8或 B．或2 C．或 D．2或8A． B． C．0 D．2A． B．1 C．0 D．2023A．6 B．8 C． D．十分麻烦题型5、偶次幂的非负性【解题技巧】1）常见非负数：a≥0；a2≥0；2）根据非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”A． B．6 C． D．9A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个A．2021 B．2022 C．2023 D．2024A． B． C． D．变式3．（2425七年级上·全国·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（）A． B． C． D．题型6、有理数乘方的实际应用【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。例1．（2324七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例2．（2425七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（

）A．36个 B．27个 C．个 D．个例4．（2324七年级上·广东广州·期中）今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（

）例5．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（

）A．186 B．185 C．184 D．183变式1．（2024七年级上·云南·专题练习）某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（

）A．个 B．个 C．个 D．个A．32 B．1044 C．253 D．16192变式5．（2024七年级上·全国·专题练习）趣味题阿凡提给地主打工，地主开价每月200元工钱，阿凡提却说：“不要，不要，你只要第一天付给我1角，第二天付给我2角，第三天付给我4角，第四天付给我8角，以此类推到月底即可"．地主听了暗暗高兴，赶快签下协议，其实阿凡提挣到200元工钱不必做到一个月．设最多只要n天，估算n的值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13题型7、有理数乘方的新定义问题【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.(2)定义一种运算，就要研究它的运算律：②这个计算结果说明了这个运算满足律．A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数．B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）．C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数．D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数．A．①② B．①③ C．①④ D．②④变式4．（2324七年级上·四川巴中·期中）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4．（1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________．（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）(2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是．（填序号）②f(2,a)=1(a≠题型8、含乘方的有理数混合运算【解题技巧】含乘方的有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。例1．（2425七年级上·湖南永州·期中）计算．例2．（2425七年级上·四川绵阳·期中）计算：例3．（2324七年级上·天津和平·期中）计算：变式1．（2425七年级上·内蒙古包头·期中）计算：变式2．（2425七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算：题型9、有理数混合运算——程序框图【解题技巧】程序框图解题通用步骤：（1）‌明确运算结构‌：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。（2）‌分步代入计算（3）‌循环终止判断‌：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。例1．（2425七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（

）A． B． C． D．1A．3次 B．4次 C．5次 D．6次A． B． C． D．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个A．123 B．321 C．231 D．无法输出结果变式4．（2425七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）(2)你认为当输入什么数时，其输出结果是?(3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数?题型10、有理数混合运算——24点游戏【解题技巧】24点游戏易错点：1）‌忽略分数可能性‌：认为必须全部整数运算，实际可用分数；2）‌运算顺序错误‌：漏加括号导致优先级错误；3）‌固定思维局限‌：过度追求乘法对，忽略加减法组合。例1．（2425七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（

）例3．（2425七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：(1)从中选择两张卡片①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____；②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____；③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____；④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____；(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可）变式3．（2425六年级上·山东青岛·期中）从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．小飞抽到的4张扑克牌是：红色Q、黑色Q、红色A和黑色3，将这组扑克牌面上的数字楼成24或的算式是（写出一个即可）．2．（2425七年级上·云南玉溪·期末）式子表示的含义是（

）A．6个2相乘的积的相反数 B．与6相乘的积C．6与相乘的积的相反数 D．6个相乘的积A．3个相乘 B．5个相加C．3个相加 D．8个相乘A．3 B．5 C．7 D．9A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【探究过程】（1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）：①_______；②_______；③34_______；……【解决问题】13．（2324七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：15．（2324七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（）17．（2425七年级上·安徽淮北·期中）一根1米长的木棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次截去后剩下的木棒的长度是（

）根据他们的研究结果，完成下列各题：22．（2324七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习初步探究（2）关于除方，下列说法错误的是A．任何非零数的圈2次方都等于1；

B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；

D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；23．（2425六年级上·上海·期中）计算：24．（2324七年