2024北京理工大附中初三3月月考数学试题及答案

试题试题2024北京理工大附中初三3月月考数学（3.20）一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.火星是太阳系九大行星之一，火星的半径约为3395000米，数3395000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱 B.三棱锥 C.三棱柱 D.正方体3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.4.如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB=160°，则∠COD的度数为()A.20° B.30° C.40° D.50°5.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（）A.1 B.2 C.1或2 D.46.如图是某小区花园内用同一种白色正多边形和黑色正方形地砖铺设的小路的局部示意图，四块正多边形地砖围成的中间区域使用一块正方形地砖，则正多边形的内角和为（）A. B. C. D.7.从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（）A. B. C. D.8.如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接，，H为的中点，连接分别与，交于点N、K：则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（共16分，每题2分）9.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．10.因式分解：________________．11.分式方程的解是______．12.已知点A（x1，y1）、B（x1―3，y2）在直线y＝―2x＋3上，则y1_____y2（用“＞”、“＜”或“＝”填空）13.果农小明随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是_____．甲乙丙14.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．15.已知是反比例函数图象和正比例函数图象的交点．若，则的取值范围是______．16.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则的值为______．题号学生12345678得分甲×√×√××√×30乙××√√√××√25丙√×××√√√×25丁×√×√√×√√三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27，28每题7分）17.计算：．18.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19.已知，求的值．20.如图，在中，，于点D，延长DC到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）过点E作于点，若，，求的长．21.已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根：（2）若方程的两个实数根都是正整数，求整数的值．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．23.某校七年级和八年级的学生参加科普知识竞赛，成绩得分用x表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息：七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89．七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表班级平均数中位数众数满分率七年级8786八年级8789根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值：，．（2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？24.如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，时，求的长．25.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表：0912151821…04.24.854.84.2…（1）根据表中数据可得，当m时，h达到最大值m；（2）求h关于s的函数解析式；（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．26.在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且．（1）当时，求的值；（2）点，，在抛物线上，若，判断，与的大小关系，并说明理由．27.四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1，并直接写出∠FBE的度数；（2）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．28.如图1，对于的顶点P及其对边上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点Q为关于点P的内联点．在平面直角坐标系中：（1）如图2，已知点，点B在直线上．①若点，点，则在点O，C，A中，点______是关于点B的内联点；②若关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；（2）已知点，点，将点D绕原点O旋转得到点F，若关于点E的内联点存在，直接写出线段EF长度的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．2.【答案】C【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱，故选：C．【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．3.【答案】C【分析】本题考查根据数轴上字母的位置，判断式子的正负，有理数的相关运算，以及绝对值意义，根据，可知数轴原点是b，c的中点，即可判断实数a，b，c的正负，再根据有理数的相关运算法则，对选项作出判断，即可解题．【详解】解：，数轴原点是b，c的中点，，，，且，，故A项正确，不符合题意．，故B项正确，不符合题意．，故C项错误，符合题意．，故D项正确，不符合题意．故选：C．4.【答案】A【分析】先根据直角三角板的性质得出，进而可得出的度数．【详解】解：，是一副直角三角板，，，，，故选：．【点睛】本题考查的是角的计算，余角，解题的关键是熟知直角三角板的特点．5.【答案】C【分析】关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，计算出的范围，根据要求取是正整数的值．【详解】解：由方程，知，要使方程有两个不相等的实数根，则，即，解得：，要取正整数，或，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：要求掌握，当时，方程有两个不等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．6.【答案】C【分析】先求出正多边形的一个外角为：，再求出正多边形的边数为：，根据正多边形的内角和公式求出结果即可．【详解】解：∵正方形的一个内角为，∴正多边形的一个内角为：，∴正多边形的一个外角为：，∴正多边形的边数为：，∴正多边形的内角和为：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和外角，解题的关键是根据图形求出正多边形的一个内角度数，熟记多边形内角和公式．7.【答案】C【分析】根据题意用列举法求概率即可．【详解】解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果，它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙，所有可能的结果共3种，并且出现的可能性相等，甲与乙恰好被选中的概率：．故选：C．【点睛】本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键．8.【答案】B【分析】由正方形的性质得到，，，，，求得，，根据全等三角形的定理定理得到，即可判断①；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，即可判断②；根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到即可判断③；根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；【详解】解：∵正方形的边长为4，，∴，，，∵H为的中点，∴，，∴，，∵，∴，故①正确；∴，∵，∴，∴，∴，故②错误；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③正确，延长交于M，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴，故④错误，故选B；【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．【详解】解：由题意知，解得，故答案为：．10.【答案】【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：原式．故答案为：．11.【答案】【分析】按照解分式方程的方法解方程即可．【详解】解：，方程两边同乘得，，解整式方程得，，当时，，是原方程的解，故答案为：．【点睛】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用解分式方程的方法解方程，注意：分式方程要检验．12.【答案】<【分析】由k=-2<0根据一次函数的性质可得出该一次函数单调递减，再根据x1>x1-3，即可得出结论．【详解】解：∵直线y＝―2x＋3中，k=-2＜0，∴该一次函数随x的增大而减小，∵＞x1―3，∴＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据k=-2<0得出该一次函数y随x的增大而减小本题属于基础题，难度不大,解决该题型题目时，根据一次项系数的正负得出该函数的增减性是关键．13.【答案】甲【分析】本题考查了方差和平均数，先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定，即可求解，掌握方差越小数据越稳定是解题的关键．【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14.【答案】3【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．15.【答案】或【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是根据图象的特点求解．根据反比例函数图象与正比例函数图象可得两图像关于原点中心对称，根据图象的特点求出两交点，，利用图像特点即可求解．【详解】解：根据反比例函数图象与正比例函数图象交点规律：两个交点关于原点对称，可得另一交点的坐标为．由图象可得在点的左侧、y轴的右侧及另一交点的左侧时，相同横坐标的反比例函数的值都大于正比例函数的值，故当时，或，故答案为：或．16.【答案】【分析】本题考查了推理与论证，由乙丙的答案和得分得出第2，5题两题答案正确，由甲的得分结合乙丙的答案可得甲其余题答案均正确，由正确答案求出丁的得分即可，考查了学生阅读能力和逻辑思维能力．【详解】解：乙、丙的第2，5题答案相同，且总得分都是分，第2，5题两题答案正确；甲得了分，即甲错两题且第2，5题与乙、丙的答案不同，甲其余题答案均正确，这道判断题的答案分别是：×，×，×，√，√，×，√，×，对比丁的答案，可知其第，两题是错误的，，故答案为：．三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27，28每题7分）17.【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值进行化简，再计算乘法，最后计算加减即可．【详解】解：．18.【答案】，表示在数轴上见解析.【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】由①得，x≥-1，由②得，x＜3，所以，不等式组的解集为：-1≤x＜3，在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．19.【答案】【分析】本题考查的是分式的化简求值，设，先约分再代入计算即可，熟练进行分式的约分是解答此题的关键．【详解】解：设，∴原式．即．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边证明即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质、、，用面积相等求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：如图所示，∵，，，∴，由（1）得：四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵四边形是平行四边形，，∴，，，∵，，∴，即，解得；【点睛】本题考查了平行的性质和等腰三角形的性质，涉及到勾股定理解三角形等知识点，灵活运用所学知识是关键．21.【答案】（1）见解析（2）的值为1或或2或【分析】（1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可；（2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可．【小问1详解】证明：，，，∴，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：，，解得：，，∵方程的两个实数根都是整数，m为整数，或或2或．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式是解此题的关键，一元二次方程（a、b、c为常数，），当时，方程有两边不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．22.【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）根据数形结合，列式求解.【小问1详解】解：把代入得，∴解得：，，∴此函数解析式令,，∴.【小问2详解】解：如下图：当时，，当时，，解得，∴当时，当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、两条直线相交或平行问题，数形结合思想是解题的关键.23.【答案】（1）86；89（2）八年级的学生掌握科普知识较好，理由见解析（3）两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人．【分析】本题考查频数（率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键．（1）根据中位数、众数的定义可得答案．（2）根据平均数、中位数的意义可得结论．（3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案．【小问1详解】由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86，．八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人，将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89，．故答案为：86；89．【小问2详解】八年级的学生掌握科普知识较好．理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大，所以八年级的学生掌握科普知识较好．【小问3详解】（人．两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人．24.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线分线段成比例定理、切线长定理，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解此题的关键．（1）连接，根据圆周角定理得出，从而得出，根据余角的性质得出，即可得出结论；（2）先得出是的切线，根据切线长定理得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出，求解即可．【小问1详解】证明：连接，，，，，，是直径，，，，，，，是半径，是的切线；【小问2详解】解：如图，连接OP，，，为半径，是的切线，，，，，，，，．25.【答案】（1），（2）（3）守门员能成功防守，见详解．【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解函数图像上点的横坐标与纵坐标的含义．（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；（3）把代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可．【小问1详解】解：时，达到最大值；【小问2详解】由（1）知，抛物线顶点坐标，设，把代入解析式，，解得，∴．【小问3详解】当，，∵，∴守门员能成功防守．26.【答案】（1）（2）【分析】（1）由，，可得，根据对称轴为直线即可求解；（2）根据，求得对称轴的范围，再将点根据对称性转化到对称轴右侧，再根据得抛物线开口向上，随的增大而增大，即可得出答案．【小问1详解】当时，得，，；【小问2详解】，，，，，，点关于直线的对称点的坐标是，．．，当时，随的增大而增大．．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．27.【答案】（1）图见解析，45°；（2）DE＝AF，证明见解析【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可．∠FBE的度数为45°．由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；（2）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，判定△HAB≌△FAD（ASA），可得HB＝FD，AH＝AF，HF＝DE，∠H＝45°，从而可得HF与AF的数量关系，则可得线段AF与DE的数量关系．【详解】解：（1）补全图形，如图所示；∠FBE＝45°．设DF与AB交于点G，如图所示：由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EDC＝∠DEC=90°﹣α，∠BCE＝90°﹣α，∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，∴∠ABE＝45°﹣α．∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°．∵∠AGD＝∠FG