高考数学 三轮必考热点集中营 热点18概率期望大题

【三年真题重温】

【2011•新课标全国理，19】某种产品的质量以其质最指标值衡最，质最指标值越大表明

质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配

方和8配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到

下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数82042228

8配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数412423210

（I）分别估计用A配方，8配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用8配方生产的一件产品的利润）（单位：元）与其质量指标值/的关系式为

-2,r<94

y=<2,94<r<102.

4,r>IO2

从用8配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期

望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概

率）.

【解析】本题主要考查给出试酷结吴的频数分布计算相应的频率，将频率当概率计算随机变

量的分布列与数学期望.

（I）由试验结果知，用H配方生产的产品中优质品的频率为2=0.3,所以用H配方生产

100

的产品的优质品率的估计值为0.3.

由试验结果知，用5配方生产的产品中优质品的频率为匹4=0二2,所以用5配方生产

100

的产品的优质品率的估计值为0.42.

（IIj用8配方生产的100件产品中，其质量指标落入区间［90⑼），［94,102）,［102,1期的

频率分别为0.0S,0.54,0.42,因此

RX=-2)=0.04,P|X=2)=054,P|Z=4)=0.42.

即X的分布列为:

X-224

P0.040.540.42

则丫的数学期望£X=-2x0.04+2x0.”+4x0.42=2.68.

[2011.新课标全国文，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明

质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方(分别称为A

分配方和B分配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值,

得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数82042228

8配方的*页数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数412423210

(I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;

(II)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值，的关系式为

-2,/<94

y=12,94</<102,估计用8配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B

4,12102

配方生产的上述100件产品平均一件的利润.。

【解析】(Ii由试验结果知，用M配方生产的产品中优质品的频率为生9=0.3,所以用M

100

配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试睑结果知，用5配方生产的产品中优质品

的频率为三二12=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.

100

(II)由条件知，用3配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当质量指标值94,由实

境结果知,294,质量指标值的频率为0.96.所以用3配方生产的一件产品的利润大于0

的概率估计值为0.96.

用8配方生产的产品平均一件的利润为看x[4x（—2）+54x2+42x4]=2.68（元;.

[2010.新课标全国理，19】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽

样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下:

男女

需要4030

不需要160270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的

老年人的比例？说明理由.

附：

0.0500.0100.001

P(K2>k)

n(ad-bc)2

K2

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)k3.8416.63510.828

【解析】命题意图：本题主要考查统计学知识，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及

相应的运算能力.

（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助

70

的老年人的比例的估算值为—=14%.

500

:

,500x(40x270-30xl60)△+工g4nU0、I-

(2)K，=---------------------------------------—=9.96.由于9,967>6,635,所以有99%的把握认为

200x300x70x430

该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

⑶由⑵的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区

男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年

人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方

法更好.

[2010.新课标全国文，19】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机

抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如卜.:

男女

需要4030

不需要160270

（I）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；

（II）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（IH）根据（II）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者

提供帮助的老年人的比例？说明理由。

sn(ad-he)2

K~=-----------------

(a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

【解析】本题考查了独立性检验，考生在求解时有一定难度；导致考生在该题得分较低，错

误原因为：一是么b、，、d所表示数字对应错，二是第;3）1词中分析不到位，有个别考生有

乱说现冢.

（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的

老年人的比例的估计值为—=14%.....4分

500

（2）好=5。吆4。匚-。-3也6*9967,

200x300x70x430

由于9.967,6.635所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有

关......8分

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看

出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时，先确定该地

区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男，女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即

抽样方法更好.....12分

[2012.新课标全国理】（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝1（）元的，价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润），（单位：元）关于当天需求量〃

（单位：枝，〃sN）的函数解析式。

（2）花店记录了10（）天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列,

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进】6枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

解析：(1)当〃216时，>'=16x(10-5)=80

当外K15时，y=5n-5(16-n)=10?;-80

10月一80(〃K15)

得：i=!、\neX)

"80(w>16)

(2)(i)X可取60,70,80

P(X=60)=0.LP(X=70)=02尸(X=80)=0.7

X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

=60x0.1+70x0.2+80x0.7="6

DX=16:x0.1+6:x0.2+42x0.7=44

（ii）购进17枝时，当天的利润为

¥=（14x5-3x5）x0.1-（15x5-2x5）x0.2+（16x5-1x5）x0.16+17x5x0.54=76.4

76.4>76得：应购进17枝.

考点定位：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求落散型随机变量的分布列和数

学期望的方法，以及生活中最大利润的判断。

[2012.新课标全国文】（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的.价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量〃（单位：

枝，nwN）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151310

<i）假设花店在这100内每大购进17枝玫现花，求这100人的日利润（单位：元）的平均

数；

（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的

概率，求当天的利润不少于75元的概率。

解析：(1)当日需求量〃之17时，利润_y=85,当日需求量〃<17时，利润p=10〃-85

’10〃一n<17

所以y关于n的函数解析式为>=<；娥二-(“七N"

85sn>1/

(2)(I)这100天中有10夭的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为

75元，54天的日利润为85元,

所以这100天的日利润的平均数为高(55xl0+65x20-75xl6+85x54)=76.4

(II)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率

为尸=016+016+015+013+01=0.7

考点定位：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求分段函数的解析式和平均利润,

以及概率.

【命题意图猜想】

1.纵观2011年和2010年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例.相结

合是高考命题的热点，2011年概率和频数分布相结合，2010年考查了独立性检验和抽样方

法，而理科单纯的考查离放型随机事件的概率和期望在减弱，文科单纯考查概率的计算也在

减弱，这也体现了高考对新课标的新增内容的要求，试题难度不大，但是要求同学们对相关

的基础知识掌握必须准确.在2012年高考中，结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一

起，新颖别致，但是题目难度不大，这也体现了“新题不难”的命题特点.猜想2013年高考

题以茎叶图为背景考查相关概念的理解和概率问题，理科涉及到离散型随机变量问题，文科

涉及到古典概率问题.

2.从近几年的高考试题来看，分层抽样是高考的热点，题型既有选择题也有填空题，分值占

5分左右，属容易题.命题时多以现实生活为背景，主要考查基本概念及简单计算.预测2013

年高考，分层抽样仍是考查的重点，同时应加强对系统抽样的复习.

3.从近几年的广东高考试题来看，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点，

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点较单一，解答题考查得较为全面,

常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力.预测2013年

高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平

均数等知识的结合.

4.从近几年的高考试题来看，高考对此部分内容考查有加强趋势，主要是以考杳独立性检验、

回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为

选择、填空题，也有解答题出现.预测2013年高考，散点图与相关关系仍是考查的重点，

同时应注意线性回归方程、独立性检验在实际上活中的应用.

【最新考纲解读】

1.随机抽样

(1)理解随机抽样的必要性和重要性.

(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.

2.总体估计

(D了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会间频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，

理解它们各自的特点.

(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.

(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;

理解用样本估计总体的思想.

(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

3.变量的相关性

(1)会作两个有关联变显的数据的散点图，会利用散点图认识变显间的相关关系.

(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

4.统计案例

了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.

(1)独立性检验

了解独立性检验(只要求2X2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.

(2)假设检验

了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用.

(3)回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

【回归课本整合】

1.简单随机抽样

简单随机抽样是不放回抽样，被抽取样本的个体数有限，从总体中逐个地进行抽取，使抽样

便于在实践中操作.每次抽样时，每个个体等可能地被抽到，保证了抽样的公平性.实施方

法主要有抽签法和随机数法.

2.系统抽样

(1)定义：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规

则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，也称作等距

抽样.

(2)系统抽样的步骤：

①编号.采用随机的方式将总体中的个体编号.

②分段.先确定分段的间隔上当」(N为总体中的个体数，〃为样本容量)是整数时，k=--,

nn

当*不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数V能被〃整除,

n

这时■•③确定起始个体编号.在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号S.

④按照事先确定的规则抽取样本.通常是将S加上间隔k,得到第2个个体编号S+A,再将

(S+A)加上A,得到第3个个体编号S+24,这样继续下去，获得容量为〃的样本.其样本

编号依次是：S,S+hS+24,…，S+(〃一1)%.

3.分层抽样

(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体

分成互不交叉的层，然后按照各层在总体中所占的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体

合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样.

分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每

层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取.分层抽样要求对总体的内容有

一定的了解，明确分层的界限和数目，分层要恰当.

(2)分层抽样的步骤

①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇合成样本.

(3)分层抽样的优点

分层抽样充分利用了己知信息、，充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性.使样本具有

较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样

在实践中有着非常广泛的应用.

4.绘制频率分布直方图

把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的

誓，这样得出•系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率.这些矩形就构成了频

率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数据落在各小组内的撅率用

小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于1.

5.茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图.茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生

长出来的数.在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，

它较好的保留了原始数据信息，万使记录与表不，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便.

6.平均数、中位数和众数

(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数.

(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间

的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数

据的中位数.

(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现杼最多，且出现的次数一样，这些数

据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有

众数).

(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数.而在

频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面枳应该用等，因而可以估计其近似值.平均

数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

7.方差、标准差

(1)设样本数据为汨，也，…，黑样本平均数为X,则丁=一[(汨-x)〉+(而—x-d---卜(禹

_1-

-X)2]=][(/+l+…+/)一〃*2]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的波动大

小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.把样本方差的算术平方根叫做这组数据的

样本标准差.

(2)数据的离散程度可以道过极差、方差或标准差来描述，其中极差反映了一组数据变化的

最大幅度.方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小.

8.两个变量的线性相关

(1)散点图

将样本中〃个数据点(x/,7；)(7=1,2,力描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系

的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.

(2)正相关、负相关

如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变审:的值由小变大时，另

一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.

反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值

由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.

9.回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：①画散点图，

②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报.

(1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,

我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.

(2)回归直线方程的求法一一最小二乘法.

设具有线性相关关系的两个变量x、y的一组观察值为(％,/>)(/=1,2,〃)，则回

归直线方程尸石的系数为：

£芍州一〃£(X；—T)(y/—J)

其中y=~Xy^(x，J/)称作样本点的中心.

2=1/=1

1,6表示由观察值用最小二乘法求得的a,8的估计值，叫回归系数.

10.独立性检验

(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，则这些变量称为分类变量.

(2)两个分类变量才与y的频数表，称作2X2列联表.

方合计

々2%-

4】n—、一?4+

合计勿+1n

11.(理)离散型随机变量的分布列

1.

离散型随机变量的分布列的性质：

①p,20,=1,2,•••”；

②Pi+〃2+P3+…P〃=L

离散型随机变量在其•范围内取值的概率等于它I仅这个范围

内各个值的概率之和.

2.超几何分布：

设有总数为N件的两类物品，其中一类有3件，从所有物品中任取〃件这n

pBpC-Z

件中所含这类物品件数才是一个离散型随机变量，它取宜为m时的概率P(X=m)=二"

(0。忘1,，为〃和附中较小的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，

也称/服从参数为MM〃的超几何分布.超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当

公式直接运用求解.

3.二项分布:

1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在

〃次独立重复试验中这个事件发生的次数J是•个随机变量.如果在一次试验中某事件发

生的概率是〃，那么在〃次独立重复试验中这个事件恰好发生人次的概率是

Pg=k)=C：1)卜qi,(2=()/,2,3,…，q="p)于是得到随机变量J的概率分布

如下：

401kn

n-1n-k

PC£q”C；p%C“p(

由于恰好是二项展开式

(夕+〃)"=+…+C：+…+C；；p"q。中的各项的值，所以称

这样的随机变量J服从二项分布，记作J其中〃，〃为参数，并记

C：pkq"T=b（k;〃,p）.…

2.二项分布的期望与方差：若8（〃,p）,则塔二叩,必=〃〃（1—p）

【方法技巧提炼】

1.三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随机抽从总体中逐个.抽总体中的个体

样取数较少

将总体均匀分成几在起始部分

部分，按事先确定抽样时采用总体中的个体

系统抽样抽样过程中每•个

的规则在各部分抽简单随机抽数较多

个体被抽取的机

取样

会均等

各层抽样时

总体由差异明

将总体分成几层，采用简单随

分层抽样显的几部分组

分层进行抽取机抽样或系

成

统抽样

2.样本频率直方图与样本的数字特征

在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形

底边中点的横坐标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的直方图面枳相等；最高小

长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数.

3.方差是刻画一组数据离散程度的量，方差越大，这组数据波动越大，越分散.讨论产品

质量、售价高低、技术高低.、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通过方差

来体现.

5.判断两变量是否有相关关系很容易将相关关系与函数关系混淆.相关关系是一种非碓定性

关系，即是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系是一种因果关系。

6.求回归方程，关键在于正确求出系数a,b,由于a,b的计算量大，计算时应仔细谨慎,

分层进行，避免因计算而产生错误.（注意回归直线方程中一次项系数为b,常数项为a,这

与一次函数的习惯表示不同）

7.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：（1）确定特定量之间是否有相

关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；（2；根据一组观察值，预测变量的取值

及判断变量取值的变化趋势；（3）求出回归直线方程.

8.独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的随机变量,

对假设的正确性进行判断.

9.（理）独立重复试验概率公式的特点

关于八0）i,它是〃次独立重复试验中某事件力恰好发生4次的概率.其中

〃是重复试验次数，夕是一次试验中某事件力发生的概率，*是在〃次独立试验中事件力恰

好发生的次数，需要弄清公式中〃、,、〃的意义，才能正确运用公式.1.求离散型随机变量

分布列的步骤：

(1)要确定随机变量4的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义;

(2)分清概率类型，计算彳取得每一个值时的概率(取球、抽取产品等问题还要注意是放回

抽样还是不放回抽样；

(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.

10(理)几种常见的分布列的求法

(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、

数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.

(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在〃次射击中发生A次，则往往与二项分布联系

起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相

互独立事件同时发生的概率进行计算.

(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，

明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.

【考场经验分享】

1.进行分层抽样时应注意以下几点：

(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原.则是：层内样本的差异要小,

两层之间的样本差异要大，且互不重叠；

(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；

(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.

2.在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小到大的顺序排列，.从而导致结论分析错

误，在使用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不能遗漏，二是数据最好按从小到大顺序

排列，对三组以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两组记录那么直观、清晰.

3.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性

时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程亳无意义.

4.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.

5.z•的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，始才是判断拟合效果好坏的依据.

6.独立性检验的随机变量片=2.706是判断是否有关系的临界值，^<2.076应判断为没有

充分证据显示X与V有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断.

7.概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，

事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根

据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概

率计算，达到解决问题的目的.

8.在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随成事件分拆成若干个互斥事件的和，

其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思

路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合

独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计

算公式解答.

9.相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来

的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据,问题的

具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质.

10.求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变

量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根

据数学期望和方差的公式计算.

【新题预测演练】

（理）

1.【2013年山东省日照市高三模拟考试】（本小题满分12分）

某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小

于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

芯片甲81240328

芯片乙71840296

（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；

（II）生产.一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙,

若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（I）的前提下，

（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利涧，求随机变量X的分布列和数学期

望；

（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.

解析：（I）芯片甲为合格品的概率约为40+3」~'

1005

40+29-63

芯片乙为合格品的概率约为=-.............3分

1004

（II）（i）随机变量X的所有取值为90：45：30「15.

_1cC

p(-Y=90)=-x1=i；

F(^=30)=|xA=i；P(^=-15)=-xl=—.

5420

所以，随机变量X的分布列为:

X904530-15

r

31

P

520•20

£AT=90x^+45x—+30xl+(-15)x—=66............8分

420520

(ii)设生产的5件芯片乙中合格品有汽件，则次品有5-〃件.

依题意，得50??-10(5-72)>140,解得

所以w=4,或初=5.

设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件

则P(J)=C；(；)4x1+(2/=11............12分

4441282

【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】(本小题满分12分)

PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为

可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5口均值在35微克/立方米以下空

气质量为一级；在35微克/立方米~75亳克/立方米之间空气质最为二级；在75微克/立

方米以上空气质量为超标，

从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取1()天的数据作为

样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值

[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]

(微克/立方米)

频数311113

(1)从这10天的PM2.5口均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到

一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记f表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求

，的分布列；

(3)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年(按366天算)中

平均有多少天的空气质量达到i级或二级。（精确到整数）

解析：（I）记"从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到

一级’.为事件a,1分

4分

（II）依据条件，。服从超几何分布:其中.V=10J/=3/2=3,q的可能值为01,2,3,

其分布列为：尸（$=左）=咨一（k=0工23..6分

Go

8分

X017

■

211

P

2440120

（III）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为尸=—,

10

一年中空气质量达到一级或二级的天数为小贝IJ〃~5（366：0.7）......10分

.-.£77=366x0.7=256.2^256,

，一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级....12分

3.【陕西省宝鸡市2013届高三3月份第二次模拟考试】（本小题满分12分）

省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员。现

将这两所体校共2（）名学生的身高绘制成如下茎

叶图（单位：cm）:甲队队员乙队队员

若身高在180cm以上（包括180cm）定义为

“高个子”身高在180cm以下（不包括180cm）

定义为“非高个子二

7816689

（1）用分层抽样的方法从

“高个子”和“非高个子”中897176758

抽取5人，如果从这5人中随

机选2人，那么至少有一人是6531816

“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”01910

中随机选3名队员，用自表示

乙校中选出的“高个子”人数,

试写出g的分布列和数学期望。

解：（工）根据茎叶图可知，这20名学生中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层

_5__1

抽样的方法从中抽出5人，则每学生被抽到的概率为与一己，所以应从“高个子”中抽

Ov1—7乂R

；一,人，从“非高个子”中抽■人.（3分）

用事件A表示“至少有一名'高个子'被选中”，则它的对立事件N表示“没有一名‘高

个子'被选中"，则P（A）=LP（N）=I-殳二卜二_二二，因此至少有1人是“高个子”的概

C；1010

率是10;（6分）

（II）依题意知，从乙校中选“高个子”的人数8的所有可能为0,1,2,3.

p（l=O）=£±=lfP（l=l）=^^=!,P（^=2）=与之P（^=3）=^4-=—

Cl14Cl7C/7Cl14

因此，马的分布列如下：

0123

■

1■1

P■■

1414

（10分）

所以马的数学期望EV=oxA+1X2+2X2+3XA=-.（12分）

1477142

4.【河北省唐山市20/2—2〃/3学年度高三年级第一次模拟考试】某公司共仃职工8000名,

从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，•得下表•:

所用时间（分钟）[0.20)[20,40)[40,60)[60,80)[80.100)

人数25501555

公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y（元）与乘市时间

t（分钟）的关系是），=2OO+4O［《］,其中［4］表示不超过［，］的最大整数.以样本频

率为概率：

（I）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；

(II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少有两名路途补贴超过300元的概

率.

解：

(I)记一名职工所享受的路途补贴为X(元).

X的可能值为200,24C,283,320,360.X的分布列为

X200240280320360

P0.250.50.150.050.05

X的均值为

E(Xl=200X0.25+240X0.5+280X0.154-(320+360)X0.05=246.…5分

该公司每月用于路途补贴的费用，皂额约为

E(8000X1=8000£(Xl=1968300(元)・…7分

(II)依题意，当6CWtW100时，y>300.

1名职工中路途补贴超过300元的概率p=P(60WtW100)=0.1,…8分

记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为4则

P(4)=CiX0.12X0.924-CiX0.13X0.9+0.14=0.0523.

5.12013年砌揖高中毕业蝮习教学质圜飙(二)]

某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，。随机抽取了部分学生的成绩,

得到如图所示的成绩频率分布直方图.

(I)估计全市学生综合素质成绩的平均值；

(II)若评定成绩不低于8o分为优秀.视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看作有

放回的抽样)，变量J表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量J的分布列及期望七(9

(I)依题意可知

55x0.12+65x0.18+75x0.40+85xO.22+95x0.08...................3分

=74.6

所以综合素质成绩的的平均值为74.6....................5分

(H)由频率分布直方图知优秀率为10式0.008-0.022)=0.3,

由题意知4二3(3,5),=产

故其分布列为

P0123

34344118927

产

1000100010001000

9分

39

E(a=3x—=—12分

1010

6.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,

每次命中的概率为二3，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次,命中的概率为

4

2

-,命中得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三

3

次射击.

(D求该射手恰好命中两次的概率;

(II)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX;

(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

解3记：“该射手恰好命中两次”为事件“该射手第一次射击甲耙命中”为事件8,“该

射手第二次射击甲靶命中”为事件C,“该射手射击乙靶命中”为事件0.

由题意知,PiB)=PIC)=:PiD)=£

所以PU)=P\BCDVP\BCD\^P(BCDI

=Pl^lPlClP0i+P(B'\P{C\P(D)+P\B\P\C\P\D\

…I3j4V4；3I4；43

4分

16

何根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

1

RX=。)㈤瓯=?-1HTHT4

RK=2I=PIBC))+P(5CD)=2.X1X!1-4!+l-^x^l-2^x.1=Al.

RX=3)=尸①E)+H耳—•1]*±+(1—]卜9><:=;,

??。？

P(A^=4)=P(BCD)=-X-X-=-,

4438

故X的分布列是

X01234

1112_3

P

4S14S7

.........................................8分

[1[[1c]7

fiSl^£Y=Ox—+lx-+2x—+3x±+4x-=—...........................