高等流体力学-习题集

高等流体力学-习题集

高等流体力学

一、流体的运动用

b+cb—c.b+cb—c

x=a,y=4-,z=ec------e2~

表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。

解：由题可知速度分量为：

dx八

u=—=0

dt

dy匕+cb-c

v=—=et---e—=z

dt22

dzb+c,b-c

w=—=et---Fe—二y

dt22,

则速度的拉格朗日描述：

—tb—c「匕+cb—c\

e匕——eL——+ec——

2t22/

速度的欧拉描述：V=(O,z,y)

二、速度场由卜=(/［，丫己⑼给出，当£=1时求质点p(l,3,2)的速度及

加速度。

解：

U=X2t4-

2

由方=可得速度分量式为：v=yt

=XZ

则当U7时，质点p(132)的速度为：方=(132)；

du,du,du.du

CL〃W—

X=TdTt+7d-x1-U-d-ybdz

dv,dv,dv,dv

加速度为

沙dtoxdydz

dw,dw,dw.dw

a=—+u—+v—+w—

zdtdxdydz

一共一*一页，第一*一页

222

ax=x+xt-2xt+yt-0+%z-0

222

ay=2yt+xtB0+yt-t+xz-0

2・2

{az=0+xtz+yt-0+xz-x

(CLX=14-2+0+0=3

==6+04-3+0=8,即加速度为：a=

(ciz=0+2+0+2=4

(394)

三、速度场由方=(仇％+/邛丫-产,0)给出，求速度及加速度的拉格朗日

表不。

解：一

由题可得速度场U=(%%w)=(a%+t2,3y-

u=—dx=ax+t2(-d——xax=2

dtdt

dy

t2；0),则由〈v=祟=Sy_/得＜-ay=-t2解

dt9

dz八

IV=—=0—=0

dtdt

2

x—ceat-t2

raaza3

微分方程得+#+舒+台即为流体质

y=c2e^

Z=C3

点运动的拉格朗日表达式，其中CL②。3为任意常数。

/3%rf2,2

(u=—=caeaL——t——r

Idl1a

则

"祟=C2£M—/一后9

w=c3

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d2x22

=ca£eaccct——

dx2Aa

d2y=c/?2e^-1

dy22

Iaz=0

at

得速度的拉格朗日表达式为：V=^C1ae-lt

总。2陞例谒〜看,C3)

2at

得加速度的拉格朗日表达式为：7=^C1ae

3c2俨幽一50)

四、已知质点的位置表示如下：

x=a,y=b+a(e~2t—]),z=c+a(e-3t—1)

求：(1)速度的欧拉表示；

(2)加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求(x,y,z)=(LO,O)及

(Q,瓦c)=(1,0,0)的值;

(3)过点(1,0,0)的流线及「=0在(Q,4c)=(1,1,1)这一质点的迹线；

(4)散度、旋度及涡线；

(5)应变率张量及旋转张量。

解：

x=aa=x

由y=b+a(e-2t-1)得b=y-x(e~2t-1)

、z=c+a(e~3t—1)[c=z—x^e~3t-1)

由题得《u=萼=—2ae~2t=—2xe~2t，则速度的

ot

w=萼=—3ae~3t=—3xe~3t

Idt

欧拉表示为V=(0,—2xe~2t,—3xe-3t)

⑵加速度分量为

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du.du.du,du八

=—+u—+v—+w—=0

dtdxdydz

dv.dv.dv,dv一2t一2t

a=—+u—+v—+w—=4xeA"=4aeA"

yvdtoxoyoz

dw,dw,dw,dw小c

a=—+u—+v—+w—=9xe=9ae”

<z7dtdxdydz

则加速度的欧拉表示为五=(0,4xe—2t,9xe-3t)；

则加速度的拉格朗日表示为五=

9ae-3t)；

当(x*z)=(1。0)及(a,b,c)=(1,0,0)时，a=

(0,4?-2\9?-3£)

(3)流线微分方程式为生=包=竺，因为〃=0所以,

UVW

流线微分方程转化为:号=二餐，消去中间变

-2xezc-3xe3c

f

量积分得y=|ez+又因为x=a9当x=l,y=

z=0时，得到0=0,a=19即过点(1,0,0)的流线为

(x=1

[y=|e「z

x=a

y=b+Q—),将£=0,

{z=c+a(e-3t—1)

x=1

@b,c)=(LL1)代入得质点轨迹方程为jy

_________________________Lz

(4)散度diuV=黑+*+%=0+0+0=0

dxoyoz

旋度丁”=偌-豺+线-豹，+史

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知k=Oi+3e~3tjH——2e~2tk

涡线微分方程畸d畸又因为畋=0,

微分方程转化为告=普x=const,即

3_七.

涡线方程为y=——ez+。2

x=c3

Vu

⑸速度梯度W=Vv

.Vw.

rdududu-\

dxdydz

00o-

dvdvdv

2t

dxdydz=-2e~00,

dwdwdw.33-3to0.

-dxdydz-

，应变率张量

3

u—e——e

2

—e-2t00

_九一3七o0

2

工旋转张量

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五、已知拉格朗日描述为

(1)问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场;

(2)求t=l时在点(1,1,1)的加速度；

(3)求过点(1,1,1)的流线。

/trr*

六、已知〃=x+l,v=x,w=09求

(1)速度的拉格朗日描述；

(2)质点加速度；

(3)散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压;

(4)迹线及流线。

解：

(1)由〃=笑=%+1得％=Ci--1,又由U=?=

otot

%=Ci3—1得丫=qe*—t+C2,由w=q=0得

z=c3o再由初始条件t=0,(x,y,z)=(见瓦c)得

cr=a+1,c2=b-a-1,c3=c,则速度的拉格朗

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(〃=(a+l)ef

日描述为\=(a+l)ef—1

(w=0

(du

a=—=e

xrdt

质点加速度为4的=*=/

⑵，ut

dw

1&=旋=0n

散度divV=^+M+要=l+0+0=l

⑶oxoyoz

旋度rotv=馈-知+绘-豹，+

(dv_du\

kIk

\3xdyj

因为旋度不为0,故为有旋运动

因为散度不为0,故流体为可压缩流体

(4)由(1)可得迹线方程为

x=(a+—1

y=(a+1)+—t+b—a—

z=c

流线微分方程把=也=丝，又因为w=0,所以

uVw

流线微分方程转化为黑一,解之得y=%-

ln(x+1)+c4,由初始条件t=0,(%z)=

(a,b,c)得C4=b—a+ln(a+1)

所以流线方程为

y=x—In(%+1)+b—Q+ln(a+1)

、z=c

七、一水箱尺寸如图所示，箱外大气压Pag=1.013x105Pa,计算下列

两种情况下地窗口AB两侧所受的流体合力。(a)水面上方气体压力p<=

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5

Patmi(b)pA=1.255x10Pa

解：

(a)不妨设AB两侧所受的流体合力为心

贝(jFa=y水&A=9807x(3+|x1.5x

sin30°)x(1.5x3)=1.489x10$N

s

(b)•:pA=1.255x10Pa>patm=1-013x

105Pa,需重新设立水平面，不妨设新的水平面距

离原先水平面为h,由PA=Pag+Y水八得八=

2.468m

贝(jFb=y水(h+hc)A=9807x(3+2.468+

|x1.5xsin30°)x(1.5x3)=2.579x105/V

八、如图的微测压计用来测量两容器E和B中的气体压强差。试用

6,d,pi，P2表示PE・PB,并说明当横截面积a«A,而且两种溶液密度，pi和P2相

近时，很小的PE・PB就能引起很大的液面高度差d,从而提高测量精度。

解:

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根据流体静力学规律知PE+PI6I=PB+

Pig(h-d+5)+p2gd,

即PE-PB=P19S+(p2-Pi)gd

又由图可知，A8=adi所以6=

A

又有题可知a«A,即5=三八3：.PE-PB=

3-pi)gd

•△_PE-PB

一(P2-Pi)g

故当两种两种溶液密度相近时，很小的4-PB

就能引起河很大的液面高度差do

九、图为装在做水平匀加速运动物体上的u型管式加速度测量器，已测

得两管耶中得液面差h=4cm,两管相距L=20cm,求该物体加速度的大小和方

向。

解：

选坐标系。孙,。点置于U型管左侧的自由液面

上，。%轴向右，Oy轴向上。

质量力人=-a,fy=-g,将其代入dp=

p(fxdx+与dy)并积分得p=-p^ax+gy)+c

由边界条件1=0,y=0,p=。得c=0o另外由

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x=L,y=h,p=。得a=一华

综上所得可知该物体加速度的大小为半，方向往

L/

左。

十、如图一圆柱形容器，其顶盖中心装有一敞口的测压器，容器装满水,

测压管中的水面比顶盖高h,圆柱形容器直径为D,当它绕其竖直轴以角速

度。旋转时，顶盖受到多大的液体向上的总压力？

解：_

如图建立Oxyz坐标系，对dp=p^fxdx+

22

fydy+fzdz)=p{a)xdx+a)ydy—gdz)积分

得p=p(亭—gz)+c,则有边界调节》=

0,y=0,z=h,p=。得c=pgh,即得压强的公

式为p=(察_z+故在顶盖处的压强为

p=pg则顶盖受到的向上的力为

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F=pdA

D

2

(a)2r

+h2nrdr

P9\f2g

o

npa)2D4TcpghD2

64+4~~

十一、一个充满水的密闭容器，以等角速度3绕一水平轴旋转。试证明它

的等压面为圆柱面，且该圆柱面的轴线平行于转动轴，并比转动轴呜。

解：

_以Z轴为水平轴，y轴垂直向上建立空间直角坐

标系。

2

对dp=p（fxdx+fydy+fzdz）=p｛（x）xdx+

32ydy-gdy）,又因为等压面dp=0,令dp=0再对

22

上式积分得"六一gy=。，又；「二。时，y=o得c=o,

22

于是等压面方程为气-=gy

?=gy转化为竺用Ugy,即为/+

22

（y-青）=（亳），该式表明等压面为圆柱面，半径

为W，中心位于（0，.），即等压面的中心轴比容器

的鬟动轴高号3

3乙

十二、试求图中窗口所受内外流体作用力合力的大小和位置，窗口外为

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大气。

解：

窗口所受合力为F=Pc4=(690000+9807X

1.5—9807x3-9807x1.5-101300)x2.5x3=

41.95x105/V

十三、如图所示圆柱型堰，直径2R=3m,长L=6m,试求两侧静止流体

解:

(1)堰的左侧

水平方向分力的大小：％=y^O£=9807x

3

-X3X6=264789N

2

铅垂方向分力的大小：F=y^D2L=9807%

LJyO

-x32x6-207965/V

8

⑵堰的右侧

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水平方向分力的大小：FRx=Y^H2L=9807x

33

-4x-2x6=66197.25N

2

铅垂方向分力的大小：FRy=Y^DL=S807x

2

-8x3x6=103982.5N

故堰上总压力水平分力的大小为

FX=FLX-FRX=198591.75N

铅垂分力的大小为

%=/0+尸咫=311947.5N

故总压力为

F=J刍2+%2=369797.1416N

0=tan-1£=57.52°

Fx

所以合力的方向与%轴成0角。合力的作用线通过

（招y）点：%=-Rxcos57.52°=-0.806m,y=R—

Rxsin57.52=0.235m

十四、与水平面成45°的斜壁上有一半径为R的圆孔，孔心的深度为H,

现用以半球面堵住孔，如图所示，试求半球面所受液体压强合力F的大小和

方向（不计大气压强的作用）

解：半球面的水平投影是椭圆:

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在此处键入公式。

十五、曲面形状为3/4个圆柱，半径为r=0.8m,宽度为1m,其中心线沿

水平方向，位于水面下h=2.4m深处，求曲面所受液体总压力。

9、曲面形状为3/4个圆柱，半径r=1m,宽度为B=1m,位于水面下力=

3m深处，求曲面所受的液体总压力。

解।根据对称性，be和cd曲面受水平分力相

抵消，整个曲面abed受水平分力大小等于

ab曲面所受的水平分力，即：

4=应4=/|0-；,夕

（1

=9800x3-X1X1

9

一/

=24500（N）―►

整个曲面所受垂直分力：

P.-Yh-r-B+-7D:B|

<4）

=9800z|3xlxl+-^xl2xl

I4

（）

=52479N|19

・•・凡="；”；=V245002+524792=57916.3（N）

尸怠过圆柱轴心且与垂直线的夹角为:

八巴24500~八

6=arctan—=arctan--------=25.02

P.52479

十六、已知平面流动的速度分布为〃=%?+2%-6y,u=-2xy-2yo试

确定流动：（1）是否满足连续性方程？（2）是否有旋？（3）如存在速度势

和流函数，求出（p和2。

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<▼TMT©

解（1）由dje是否为零，得

案+老=»2r卜2~匕-2=0

故满是连续性方程C

⑵由一维流动的m忖,得

<?7>r）U-

石一石-2v-（-4）#O

故流动右旋。

心）此流场为不可用缩流动的有加:维流动，存在流函数我而速度势夕不存在，

CA

得

—u=Jr24—4v

3、“

将上式根分，得Q=/y+2.。-2y2+JJ）

空=—u=2ry+2y

r）.r

2jy+2y+fr<T）=2xy+2y

/'（I）=0,/（,r）=C

故3=产了+$—2十（常数可以作为零）

十七、如图所示，水从密闭容器中恒定流出，经一变截面管而流入大气

222

中，已知H=5m,p=0.5at,A}=/l3=50cm,A2=100cm,A4=25cmo若不计

流动损失，试求：（1）各截面上的流速、流经管路的体积流量；（2）各截面

上的总水头。（lat=98000Pa）

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即试=⑷_-

-2X9.807=此

投据连续性原理,由于儿=4

故V1=

乂由尸A»V|—A«u

故5・再“二死X"=7m*

由于八八、«*As

故RN和■福XM-3.5m/«

流经管路的体积流量

Q-A,5=25X10'XH=0.035tn'/s

（2）以营口为基准.该处总水头等于10E.由于不计都性损失.因此各截面上总

水头均等于10me

十八、已知流动的速度分布为卜其中〃为常数。

试求流

v=ax（y-x~）

线方程；（2）判断湿线是否有旋，若无旋，则求速度势0。

解对于二维流动的流线微分方程为

虫〜依

—.rJ）ux（y-x1）

消去u（V-—）•得rdr-ydy

将卜式根分，得#="p+c

或/一丁=C

若C取一系列不同的数值，可得到流线族一双

曲线族.它m的渐近找为）=4如习题3.22图所示.

有关微线的指向,可由血速分布来确定：

{u=uyi.yr-jr）

Iv=arfy2—T2）

时于）>0,当1了I>|T|时,“>0

当IyKIx|时,“VO

对于y<0•当IJ'I>IrI时,“V。

当IAIV|『I时,

•29•

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据此可画出流线的方向.

判别流动是否有旋，只要判别rot号是否为零即行.

殳一阴=-一.r)]

J/dyrfx<fy

=u(y2-M)—2ur?—一，)一2uy2

=；-2uz2—2ay^H0

所以流动是有旋的.不存在速度淤.

十九设一虹吸管。=2〃7,〃=6帆，管直径d=15皿。试求：（1）管内的流

量；（2）管内最高点S的压强。

碑0）以水触底由为单准,对自由液面1T上的

点和虹吸管下缩出LI处2-2建立1-2灌线伯努利

方程.剜

&+y+2/;，+>2R

箕中tj=&+》•

p、=Pi=0.

Ui=0

则S=及处="X9.81X6=10.85m/\

管内体积潦0Q-S号才〜10.85X彳X0.15r-0.）92m"\

44

（?）以管口2-2处为基淮.对自由港面1•I处及管内最高点S列l・l—S端战

伯努利方程.明

八十乡十方=啊十夕+亚

其中引=力.0=&+".

Pi-0.vi=0.

t\™*iisx#10.85m/H

即用=/{—«—汨*9807X（-2-J：•蔡］7&46kPa

故S点的真空性强

A.-78.46kPa

（3）当A不变・S点“增大时，当S点的压强网等于水的汽化乐强时,此时S点

发生水的汽化,管内的流动卬中止.宣亮可知，在常温下（】5t）水的汽化压售为

1697PM绝对压强）,以管口2・2为基松，列出5-2-2点的伯努利方程，

拈十起十达-2.+曲+武

sr2g九十y七房

其中Zx=h4-<4•«S=0

Vsrs

八一1697Pa,0：=10J325Pa（大气绝对压聋）

即a-纥公-h«=划嗑J飒-6=10.16-6=4.16m

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二十、在相距l.2mm的两平行板之间充有某种黏性液体，当其中一板以

•s的速度相对于另一板作等速移动时，作用于板上的切应力为3500Pao

试求该液体的黏度。

[1.11]在相距1mm的两平否平板之间充有某种黏性液体，当其中一板以l.2m/s的速度用

对于另一板作等速移动时，作用于板上的切应力为3500Pa,试求该液体的黏度.

解：由力，

dy1x10-，

〃・r------3500x--------------■2.9I7Pa«s

二十一、无粘性不可压缩流体作平面无旋流动，若流场的复势是

卬=6(2>0),在原点处的压强为〃。，试求：上半平面的流动图案。

【例1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是

卬二代2(〃>0)，在原点处压强为Po，试求：

(D上半平面的速度分布；

(2)绘制上半平面的流线图；

(3)沿x轴的压强分布.

--✓J

(2)由复势

W=az2=a(x+iy)2=a(x2-y2)+i2axy