高考数学极值点偏移练习题(含答案)

高考数学极值点偏移练习题(含答案)

第I卷(选择题)

一、多选题

1.关于函数/'(%)=：+Inx,下列判断正确的是()

A.%=2是/(x)的吸大值点

B.函数y=/(X)-%有且只有1个零点

C.存在正实数k,使得/(%)>kx恒成立

D.对任意两个正实数与，且工1>不，若/(%1)=/(%2)，则+X2>4

2.关于函数/'(%)=：+Inx,下列说法正确的是

A.x=2是/(%)的极大值点

B.函数y=/(%)-%有且只有1个零点

C.存在正整数k,使得/'(%)>kx恒成立

D.对任意两个正实数必，%2»且H%2，若f(%l)=O则+%2>4

第II卷(非选择题)

二、解答题

3.已知函数f(x)=xlnx与函数g(x)=:(kER)的图像有两个不同的交点4(%i，yi),

8(42，、2)，且与〈物・

⑴求实数左的取值范围；(2)证明：

4.已知函数g(x)=e"—a%2-QN(Q£R),h(x)=ex—2x—Inx.

(1)若f(%)=/i(x)-9(%).

①讨论函数f(x)的单调性;

②若函数/•(%)有两个不同的零点，求实数。的取值范围.

2

(2)已知a>0,函数gQQ恰有两个不同的极值点均，证明：%!+x2<ln(4a).

5.已知函数/(%)=ex-ax2(aGR)有两个极值点.

(。若〃的取值范围；

(II)若函数/(%)的两个极值点为%I，X2,证明:xrx2<l.

6.已知函数/(%)=Inx-ax(aWR).

(1)若/(x)有两个零点，求实数〃的取值范围；

2

(2)当/(%)有两个零点孙如且%1<%2，求证：xt'X2>e.

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7.已知函数/(无)=一Q]nx.其中〃为常数.

(1)若函数/(x)在定义域内有且只有一个极值点，求实数。的取值范围;

(2)已知与，不是函数/(%)的两个不同的零点，求证：Xi+x2>2\[e.

8.已知函数f(x)=ae2x4-(1-2a)ex-x.

(1)当aVO时,讨论/(x)的单调性；

(2)若/(%)有两个不同零点％1，X2>证明：Q>1且为1+工2<0・

2f

9.已知函数f(x)=1A--alnx1f两个不同的零点,x2.

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明:x±+x2>2>/e.

10.已知/(x)=e，-ax,g(x)=ax2-e.

(1)若/'(x)的图象在工=1处的切线与g(x)的图象也相切，求实数”的值；

(2)若尸(靠)=/(%)-g(x)有两个不同的极值点%，%2(4iV必<求证：e*】e*2V

4a2.

11.已知函数/■(幻=口一"(%€/?).

(1)若方程f(x)+2d-3a+1=0有两个不同的根，求实数a的取值范围;

(2)如果％1工%2，且f(%l)=f(%2)，求证:%1+%2>2.

12.已知函数/(工)=1-"2(6=2.71828...)为自然对数的底数)有两个极值点无1，

(1)求〃的取值范围;

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(2)求证：%i+x2<2lna.

13.已知函数/'(x)=Inx—QX,a是常数H.QWR.

(I)若曲线y=/(1)在x=1处的切线经过点(-1,0),求a的值；

(口)若0va<：(e是自然对数的底数)，试证明：①函数/(%)有两个零点，②函

数/(幻的两个零点与、满足Xi+x2>2e.

14.已知函数/'a)=lnx—a%,a是常数月.a

(1)若曲线y=/(x)在％=1处的切线经过点(一1,0),求a的值;

(2)若Ova<3(e是自然对数的底数)，试证明：

①函数/(%)有两个零点，

②函数f(x)的两个零点满足勺+x2>2e.

选做题(在答题卡上涂选做信息点)

15.已知函数f(x)=?.

(1)若对任意％6(。+8),/(x)Vkx恒成立，求上的取值范围；

(2)若函数g(x)=/(%)+1-m有两个不同的零点%1，x2,证明：xr+x2>2.

16.已知函数/(x)=2xlnx-ax2-2x+a2(a>0)在其定义域内有两个不同的极值

点.

(1)求a的取值范围；

(2)设f(%)两个极值点分别为右，%2,证明：

17.已知函数f(x)=xlnx+/一+2(awR)有两个不同的零点必，x2-

(1)求实数。的取值范围；

(2)求证：X「％2>L

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答案和解析

1.【答案】BD

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属亍

难题.

根据极值的概念，构造函数判断单调性确定零点个数，参变分离再确定新函数的最值

以及极值点偏移逐个判断选项正误.

对选项分别进行判断，即可得出结论.

【解答】

解：「(幻=詈

・・•在(0,2)上函数单调递减，在(2,+8)上单调递增,

・•.x=2是函数的极小值点，无极大值,

故A错误,

2

y=/(x)—x=-+Inx—x,

:.y'—<0,

函数在(0,+8)上单调递减,

/(I)-1=2-1>0

/(2)-2=l+Zn2-2<0

二函数y=/(x)-%有且只有1个零点，即B正确:

/(x)>kx,可得+?，

令以盼=1+竽

-4+x-xlnx

则g'(%)=

令九(%)=-4+x—xlnx,则h'Q)=—Inx,

•••(0,1)上，函数单调递落，(1,+8)上函数单调递减,

•••h(x)<h(l)<0,

•••g'O)<o.

•••g。)=卷+等在(0,+8)上函数单调递减，函数无最小值，

•••不存在正实数上使得/(外>丘恒成立，即。不正确；

当te(0,2),则2-tw(0,2)2+t>2

22

g(C)=/(2+t)-/(2-t)=-—+ln(2+t)一——皿2-t)

Z+tL-t

4t.2+t

2-t

4(t2—4)—4t,2t2-t2-t+2+t-8t2

H--------------------------=------------<0

g⑴=e_4.2+t(2-C)2(t2一474口

g(£)在(0,2)上单调递减,g(t)<g(0)=0,x2=2-t,由fg=/(x2),%>2+

则Xi+%2>4,

当「II/y•I—,所以。正确.

故选BD.

2.【答案】BD

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的零点问题和不等式恒成立问题，考查分析

解决问题的能力，属于难题.

A选项，对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；8选项，求函数的导数，结

合函数的单调性和零点个数进行判断即可；C选项，利用参数分离，构造函数g(x)=

爰+¥，再进行求导，研究函数的单调性和极值进而判断即可;。选项为典型的极值点

偏移问题，令/(4-/)一/(x2)=/(4-/)-f(4)=^-+ln

4rlxx

"+m乎，通过令詈=t,则t>i，匕=曰原式=/《)=野+

Int,判断单调性即可.

【解答】

解：对于4,•♦/''(X)=-爰+:=爰。>0)，

令尸(%)V0,解得0VXV2,令尸(x)>0,解得x>2,

・••/(乃在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

.•・%=2是函数的极小值点，无极大值点，故A错误；

2

对于B,vy=/(%)—x=-4-Inx—x,

,21.X2-X+2,八

・•・y=一/+二1=--^<°，

该函数在(0,+8)上单调递减，

且当％=工时，y=2e-1-->0,x=e时，y=-+l—e<0,

eee

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函数y=/(X)—X有且只有1个零点，即B正确.

对于C,由/'(x)>依，月.％>0,

可得上<三+也，

xzX

令g(%)=*+野，则4(%)=土辛，

令h(x)=x-x\nx-4,则/i'Q)=-Inx,

时，/ir(x)<0,0vx<l时，"(％)>0,

M%)在[1,+8)上单调递减，“%)在(0,1)上单调递增,

:.h(x)<h(l)=-3<0,

•••g'G)vo,

•••g(x)=堞+詈在(o,+8)上函数单调递减，函数无最小值，

且％T+8时，g(x)T0,

因此，不存在正实数k,使得/(%)>依恒成V.,故C不正确.

对于。，对于任意两正实数与，x2,且与工不，

由选项A可知函数/(%)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增,

若/(%1)=/(必)，不妨设0VV2V%2,则4一%1>2，

由f(4-Xi)-f3)=f(4-Xi)-f(八)=盘+In(4-%】)一/-In必=^^4

In*

X1

令三m=1,贝%1=三，原式=r(t)==-+Int»则

,*i1+e2t

-d+2,一I

F'H)

所以F(t)=i；；IInt在(1,+8)上是减函数,

所以尸(£)<F(l)=0,所以)(4-%1)-f(x2)<0,

又因为/(x)在(2,+8)上单调递增，所以4一%1<%2，故+%2>4.所以。正确.

故选BD.

3.【答案】解：(1)根据题意，方程;^1”一'0%=i]11*(攵£/?)有两个不同的根,

设九(x)=x2\nx,则"CO=2x\nx+x,

根据九'(x)=2x\nx+x>O=>x>^=,所以/i(x)在总+8)上单调递增;

h\x)=2xlnx+%<0=>0<x<^,所以九(外在(0,9)上单调递减.

所以％时，入(幻取得极小值人、」巾

又因为XT0时，h(x)TO,/i(l)=o,作出的大致图像如图所示,

所以一丁VkV0.

(2)根据(1)可知0<x1<^<x2<lf

设W(x)=设M-/6-X)=Jinx

则/a)=2[x\nx+67)In6-%)]+亲

设m(%)=x\nx+(^-x)In(^-x),则=In%—In偿—x),

根据M(x)<0=0<%<3，则mQ)在(0$)上单调递减，所以当Ovxv专

时，m(x)>m(^)=-^,

所以以无)>0,所以枢(外在(0,2)上单调递增，

则当文€(0,弓)时,(p(x)<(p=0,即九(%)〈九偿一x),所以，(%2)=~(%1)<

(7。

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又因为M%)在(e,+8)上单调递增,所以%2<专一%],即/+第2VM.

【解析】本题考查导数在解决函数问题中的应用，属难题.

(1)函数图象有2个交点转化为方程/(幻二g(x)有2个不同的根，分离参数得到k=

x2lnx,构造函数九(%)=%2/w

利用导数研究单调性，求出极值，结合函数图象，可得到A的取值范围；

(2)由(1)得到占和X2的范围，构造函数9(%)=心)-妖专7)，由导数研究单调性•

求得火切<0,从而此。</1(卷7),由九⑴的单调性，证得结果.

4.[答案】解：(l)/(x)=/i(x)-g(x)=ex-2x-Inx-ex+ax2+ax=ax2+(a-

2)x—lnx(x>0),

©f(x)=2ax+(a-2)-^=2Q/+(yi=也呼七/>0),

(i)当aWO时,f'(x)<0,函数f(%)在(0,+8)上递减;

(ii)当a>0时，令「(x)>0,解得x>与令/''(%)<(),解得0<%<，

••・函数/(%)在(0,；)递喊，在弓,+8)递增；

综上，当aWO时，函数/'(%)在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，函数/(%)在(03)上单调递减，在(，+8)上单调递增；

②由①知，若。30,函数f(%)在(0,+8)上单调递减，不可能有两个不同的零点，故

a>0；

且当XT0时，八%)T+8；当XT+8时，f(Y)T+8：

故要使函数/(%)有两个不同的零点，只需/(x)mE=/(;)=Q♦(62+?一]n；<0,

LtpIna—+1V09

a

又函数y=-：+1在(0,+8)上为增函数，K/nl-1+1=0,故hia-}+1<0的

解集为(0,1).

故实数〃的取值范围为(0,1)：

(2)证明：g，M=ex-2ax-a,依题意，『二寒;二：二由两式相减得，2a=

(无1<%2)，

町1T2

要证》1+g<ln(4a2),即证鬻<"2册即证。窘<器?，

两边同除以短2,即证区-a。中>ef_1，

c

令£=%1—x2(t<0),即证te：-e+1>0»

令人(t)=tez—ef+l(t<0)，则九'(t)=-e司e?—(g+1)卜

令p(£)=eW-G+1)，则p'(t)=|(ei-1),

当£<0时，p'(£)<0,p(£)在(一8,0)上递减,

p(t)>p(0)=0,

・•.h'(t)<0,

h(t)在(-8,0)上递减，

•••h(t')>/?.(0)=0.即湛—ec+1>0,故篇1+与Vln(4o2).

【解析】(1)①求出/(为并求导，解关r导函数的不等式即可得到单调区间；②显然

Q>0,分析可知只需人%)的最小值小于0即可满足条件，进而得解；

(2)依题意，将所证不等式转化为证明(右—不)。宁〉靖「小一1，再通过换元构造新

函数即可得证.

本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查极值点偏移问题，考查

转化思想，换元思想及化简运算能力，逻辑推理能力，属于中档题.

5.【答案】解：(I)设g(x)=/'(X)=e*-2a%,则与，无?是方程。(无)=。的两个

根.g'(x)=ex-2a

当Q40时，g'(x)>0恒成立，g(x)单调递增，方程g[x)=0不可能有两个根：

当Q>0时，由g'(x)=0,得％=In2a,

当x6(一8,n2a)时,gf(x)<0,g(x)单调递减，

当xe(n2a,+8)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

又因为工团一8时，9。)团+8：工团+8时，g(x)团+8,

••・当且仅当<。时，方程g(x)=0才有两个根，

:.g(x)7nin=9(m2。)=2a-2aln2a<0,

令力(t)=t—tbit,(t>0),hz(t)=—Int,

可得£6(1,+8)时，九⑴递减,

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且£e(0,e)时,l-Znt>0,/i(t)=t(l-/nt)>0,/i(e)=0

t>e时，h(t)<0

••.Q的取值范围：

(II)不妨设由(I)知必,外是方程e*-2ax=0的两个根,

e"i=2axi(xr=lnxr+ln2axx-x2

亦可得0<<x2,

e*2=2ax2\x2=lnx2+ln2ainxx-inx2

令6"t:g[t)=l+/一：=(卜1)220,

则£>1时，g(t)>g(l)=o.

:.t>1时，6、")-《

：,xt-x2<1.

【解析】本题考查了导数与函数极值，关键步骤的证明颇有技巧性，属于难题.

(I)设。(%)=/'(%)，贝!%1，M是方程g(%)=o的两个根，求导数可得g'(%)，若awo

时，不合题意，若Q>0时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于〃的不

等式，解之可得.

(II)不妨设由(I)知力，不是方程靖一2ax=0的两个根，即可得

eXl=2ax(x=lnx+ln2a

xrxX]T2=1,

6*2=2axlx=lnx+ln2a

222lnxx-lnx2

通过证明不等式>后石,即可证明.•必<L

6.【答案】解：(1)/(%)有两个零点=关于x的方程e"二x有两个相异实根，由e^>

0,知%>0

二/(%)有两个零点=。=号有两个相异实根.令G(x)=竽，则G'(x)=

由G'(x)>0得：0<%<e,由G'(x)<0得：3>e,G(x)在(0,e)单调递增，在

(e,+8)单调递减，

G(x)max=G(e)=又6(1)=0,

当0VXV1时，G(x)V0,当x>l时，G(x)>0

当％-+8时，G(X)TO,•••/(X)有两个零点时，实数。的取值范围为(01).

(2)由题意得｛:二二::%>0,%2>°A般~蹩:，工认/+%2)=*+

Inx2①

a（x2-％i）=lnx2-Inxxxx<x2,

2

•••a=,要证：Xi-x2>e,只需证In无i+lnr2>2

由①知：1监+lnx2=a（%i+x2）=E：普•Gi+电）=（叁）”嗤

•・・0〈/<孙・>1,令£=§,t>l,

xlX1

••・只需证（黑）“nt>2

vt>1—>0,

t-1

••・只需证：hu>舒，令F（t）=hu-繇Q>1）

•."'©=3一品=黯>°，二尸«）在（1，+8）递增，‘尸（£）>°，，1很>舒

2

即In%]+\nx2>2,BPxj-x2>e.

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考杳不等式的证明，考

查逻辑推理能力及运算求解能力，属于常规题目.

(1)/(幻有两个零点0Q=等有两个相异实根，令G(x)=等，根据G(x)的最值确定。

的取值范围；

(2)利用处理极值点偏移问题的常见解法求解即可

7.【答案】解：(1)/zfx)=x—^=(%>0)»

当QW0时，f(x)>0,外外在(0,+8)上单调递增，不符合题意，

当a>0时，令f'(x)=0,得％=Va，

当%6(0,⑷时,f(x)<0,/(x)单调递减，

当％e(VH,+8)时，f(x)>o,汽幻单调递增，

•••a>0；

证明：(2)由(D知:

当QW0时，/''(%)>0,/(幻在(0,+8)上单调递增，函数/'(x)至多有一个零点，不符

合题意，

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当a>0时，令f'(x)=0,得x=VH,

当％e(o,时，fix')<o,f(%)单调递减,

当xE(后,+8)时，/(%)>0,/(%)单调递增，

故当％=五时，函数/"(T)取得最小值f(G)=-Ina),

当OvaVe时，l—lna>0,/(x/a)>0»函数/'(x)无零点，不合题意，

当a=e时，1-Ina=0,/(x/a)=0,函数/(%)仅有一个零点，不合题意,

当a>e时，1-Ina<0,/(Va)<0,

又/(I)=1>0,所以f(x)在36(0,8)上只有一个零点，

令p(%)=lnx-x+1,则p'(x)=[-1，

故当OVxVl时，p'(%)>0,p(%)单调递增,

当%>1时，pz(x)<0,p(x)单调递减，

所以p(%)Wp(l)=O即InxWx-l,所以ln2aW2a-l,

所以/'(2Q)=2a2-a\n2a>2a2-a(2a-1)=a>0,

又2Q>所以/1(%)在xE(涯,+8)上只有一个零点.

所以a>e满足题意.

e

不妨设<孙，则W(0,Va),x2(VS,+8),

令g(x)=f(拈+x)-/(6一%)(ow工工Va)»

则g(x)=2\[ax-aln(Va4-x)4-aln(4a-x)7

9口)=26-++3=分，

Va+xx-Vaxz-a

当0cx<伞时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,6)上单调递减,

所以当%G(0,时，g(x)<g(0)=0,即f(Va+x)<f(Va-x)»

因为e(0,Va)，所以Va-xte(0,呵,

所以f(>2)=fM=/[Va-(Va-%1)]>/[Va+(Va-xJ]=f(26—力)，

又文2€(口,+8),2Va-G(Va,+oo),且f(x)在(疯+8)上单调递增，

所以外>2x/a—%)，故+x2>2\/a>2五得证.

【解析】本题考查利用导数研究函数的极值点，考查不等式的证明，考查逻辑推理能

力及运算求解能力，属于难题.

(1)//(x)=x-^=^(x>0),讨论QW0和Q>0,即可得到结果；

(2)先对函数/(%)求导，分a£0,a>0可判断函数/(x)在Xe(0,VH)上有一个零点，

在％e(莉,+8)上有一个零点，月.a>e,再设/<M，则M€(0,Va),x2£

(y/a,+oo),构造函数g(x)=/(VH+%)--x)(0W%W利用极值点偏移的

解决方法求证即可.

8.【答案】解：(l)f(x)=2ae2x+(1-2a)ex-1=(ex-l)(2aex+1),

因为aV0,由f'(x)=0得.x=0或x=ln(—卜).

i)ln(--<0即Q<一决寸，〃为在(-8,皿一点))单调递减,在。n(一点),0)单调递增,

在(0,+8)单调递减；

ii)ln(-^)=0即Q=一泄，f(%)在(-8,+8)单调递减;

iii)ln(-^)>0即一(VaV。时,/(%)在(一8,0)单调递减,在(0,In(一苏))单调递增,

在(In(一4),+8)单调递减;

(2)由⑴知，av-婀/(%)的极小值为/'(皿一专))二1一专一皿一点)>1>0；

-1<a<0时，/(%)的极小值为/(0)=l-a>1>0；

。=一3时，f(%)在(-8,+8)单调递减，故aV0时，/(%)至多有一个零点，

当Q>。时，由广(%)=2ae2x+(1-2d)ex-1=(ex-l)(2aex+1),/。)在(一8,0)

单调递减，在(0,+co)单调递增.

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要使/(%)有两个零点，则f(0)VO得Q+l-2a<0,即

令FQ)=/•(%)-/(-%)，(%>0),

则/'(％)=f'(x)+/(一%)=[2ae2x+(1-2a')ex-1]+[2ae~2x+(1—2a)e~x-1]=

2cz(ex+e~x+l)(ex4-e~x-2)4-(ex+e~x)—2>0,

所以F(x)在x>0时单调递增，F(x)>F(0)=0,/(x)>/(-%),

X

不妨设<x2»则VO，2>O»-X2<0，/Ol)=/(无2)>/(一无2)，

由/(x)在(一8,0)单调递减，得%1<一%2，即无1+x2<0,

故Q>1且必+%2V。，原命题得证.

【解析】(1)对/■(%)求导，根据。对函数的单调性进行讨论；

(2)根据(1)的/1(%)在Q<0的单调性，根据题意得Q20，令尸(X)=/■(X)-/'(-X),

(x>0),利用极值点偏移的方法证明即可.

考查含参函数导数法判断单调性，导数法证明极值点偏移问题，利用了分类讨论思

想，构造函数法等，难度较大.

9.【答案】(1)解：•.•函数/•(%)=[——Qlnx的定义域为(0,+8),

且「(%)=%/=宁,

.•.若Q40,尸(幻>0恒成立，这时函数/(X)在(0,+8)内单调递增，函数/(%)至有多一

个零点，不合条件；

若a>0,令f'(x)=0,得％=Va,

当％《(0,依)时,f(x)<0,函数/(%)单调递减，

当%G(疯+8)时,，(K)>0,函数/(%)单调递增,

这时函数/(口有最小值，且/(x)min=/(而)=久1-Ina).

・•,函数/(%)=[/-alnx的定义域(0,+8)内有两个零点，

二首先必须满足条件：/(x)min=/(VH)=^(l-lna)<0,解之，得：a>e.

在此条件下，・・•/(l)=g>0,/(府)<0,又函数f。)在(0,«)内单调递减，

・•・函数/■(%)在(0,依)内有且仅有一个零点；

令九(%)=x-l-lnx,•••1(%)=1-1=”，

当0VxV1时，hfM<0,九(切单调递减，当x>l时,h'M>0,九(x)单调递增，

•••h(x)>/i(l)=0,即％-1-Inx>0,A2Q-1-In2a>0,In2a<2a-1

于是/1(2a)=2Q2-aln2a>2a2—a(2a-1)=a>0.

又2a>迎，/(Va)<0,函数/'(%)在(VS,+8)内单调递增，

・••函数/(无)在(VH,+8)内也有且仅有•个零点.

可见a>e符合条件.

综上所述，实数。的取值范围是(e,+8).

(2)证明：不妨设无1V%2，则与€(。,历)，，.」\"'I，

令g(x)=/(Va+X)-/(Va-x)(0<X<呵,

则g'(x)=[f(Va+x)-f[4a-x)]/=2Va-焉+焉=

当0<x<V5时，g'M<0,g(x)在(0,正)内单调递减，

这时g(%)<g(0)=0,f(y/a+x)-f[y[a-x)<0,f(Va-%)>/(Va+x).

vG(0,Va),Ayfa—xxE(0,6)，

而/'3)=fGi)=f[Va-(Va-xJ]>f[4a+(Va-%i)]=f(2>fa一看)，

又42£(G,十8)，2\fa—xxe(Va,+co),函数/'(x)在(VH,十8)内单调递增，

x2>2y/a-x1»即与+&>2孤>2便成立，问题得证.

【解析】本题考查利用导数研究含参数的函数的零点个数以及零点的性质问题，考查

分类讨论思想，考查构造法的运用，属于难题.

(1)探究函数的单调性与最值，对参数分离讨论，问题可解决：

(2)依(1)的认知，先证%+%2>2g，采用极值点偏移法，构造困数g。)=

/(VH+x)-/(VH-x)(0<x<6)即可证明.然后放缩即可得出结论.

1().【答案】(1)解：因为f(x)=/—QX,所以f'(x)=/—Q所以/•(l)=e—a,

/⑴=e-a,

所以/(%)的图象在x=1处的切线方程为y-(e-a)=(e-a)(x-1),

即y=(e—a)x,与g(x)=ax2—e联立得，ax?-(e-a)%—e=0,

因为直线y=(e-a)x与g(%)的图象相切，所以aH0且(e-a)?+4ea=0,解得a=

-e.

(2)证明：F(x)=/(x)-g(x)=ex-ax2-QX+e,F'(无)=ex-lax-a,

若QWO,〃(x)是增函数，F'Q)=O最多有一个实根，户(%)最多有一个极值点，不满

足题意，

xx

所以Q>0,此时设%1，x2(i<%2)是F'(x)=e-2ax-Q的两个变号零点，

pX\^pX2

由题意知e'i-2a%i-a=0,eX2-2ax-a=0,两式相减得2Q=---—,

z41一%2

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X1+X2e*i-ex2XiF*i-X2-i

由6必6孙<4a2<=>e2<2a<=>e2<-----<=>e2<-e-----

-Vl--*2*l-*2

设弩=3则”0,要证…”43即证£<°时,宇恒成立,

即IV勺二恒成立，即e'-eT-2tV0恒成立，设八(£)=/一6-，一23

则"(£)=ef+e-c-2>0,所以九⑴在(-8,0)上是增函数,

所以九(£)<九(0)=0,

所以tV0时,e’一e」一2£V0恒成立,d^eXleX2<4a2.

【解析】本题考查了导数的几何意义、函数的恒成立问题，极值点偏移问题的处理技

巧，属于中档题.

(1)利用/"(1)=e-a，/(I)=e-a,求得/(x)的图象在x=1处的切线方程y=(e-

a)x»与g(x)=Q/-e联立得，Q/—(e—a)x—e=0,结合4=(e—Q)2+4ea=

0,解得a.

x2x

(2)F(x)=/(x)一g(x)=e-ax-ax+e,F'(x)=e-2ax-a,可得Q>0,此

时设%i，%2(%i<%2)是产'(%)=靖一2ax-a的两个变号零点，由题意知2axi-

2

Q=0,。必-2ax-a=0,两式相减得2a=-----,由e%ie*2<4aoe~~2~~<

2xl-x2

{

2aaJ；'?v四靖2oJ2*2<£2_2zl,设立卢=£,则£<o,即证t<0时，e<

xx-x22

一恒成立，设九«)二，一。一「一23利用导数即可证明.

11.【答案】解:(1)因为fG)=%e-J所以/■'(>)=(l—x)L,.

可得函数/(x)=xer在(_8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

函数/'(%)=xe-x在％=1处取得最大值,

/Wmax=fW=

所以函数/co的图象大致如下:

易知函数/(、)=xer的值域为(-8+1

因为方程/•(%)+2a2-3a+1=0有两个不同的根,

所以-2Q2+3a—16

即一2a2+3a-1>0,-2a2+3a-1<士解得；<a<1.

e2

即实数〃的取值范围为停,1).

(2)证明:由/(%1)=f(.Q)，(1注％2,不妨设%1<%2,

构造函数F(幻=f(1+r)-/(I-x),xG(0,1],

则/(%)=f(l+%)+/'(I-x)=^7(e2x-l)>0,

所以产(%)在％G(0,1]上单调递增,F(x)>F(0)=0,

也即f(l+x)>/(I-x)对%e(0,1]恒成立.

由0<%1<1<》2，贝Ui一与£(0,1],

所以/'(1+(1-%1))=f(2-x,)>/(1-(1-%!))=/■(%!)=/(%2),

即/1(2-％1)>—

又因为2-巧，乃6(1，十8)，且汽方)在(1,+8)上单调递减，

所以2—与<x2»即+x2>2.

【解析】本题考查了函数的单调性和导数的恒成立问题和导数的不等式问题，属于口

档题题.

(1)求解方程的实根问题可以转化为函数的零点或图象的交点问题.

(2)本小题属极值点偏移问题，构造函数F(x)=r(l+x)-r(l-x),X6(0,1],根据

/。)的单调性证明/(2-%)>/(小)即可完成本题证明.

12.【答案】解：(1)由已知得/•'(%)=姨一心，

因为函数/(%)有两个极臂点与，x2,

x

所以方程f'(x)=e-ax=0有两个不相等的根工1，x2

设g(x)=r(x)=ex-ax,则g'(x)=ex-a

①当a<0时，g'M=ex—a>0,

所以g(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意

②当a>0时，由g'(x)=ex—a=0得X=Ina.

当％6(—8,]na)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减；

当xe(Ina,+8)时，gXx)>0,函数g(x)单调递增.

所以g(x)min=g(1na)=a-a\na<0,即a>e,

令(p(a)=a—21na(a>0),则<p'(a)=1—^=

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当QE(0,2)时，"(a)VO,@(a)为减函数；

当aw(2,+8)时，"(a)>0,8(a)为增函数；

所以g(a)min=8(2)=2-21n2=2(1-In2)>0

所以©(a)>0,即a>21ncz,

从而Ina<^<a,ea>小所以g(a)=ea—a2>0,

又因为g(0)=1>0,

所以gO)在区间(0,Ina)和(Ina,a)上各有一个零点，符合题意，

综上，实数。的取值范围为(e,+8).

(2)不妨设必<x2t则修£(-co,Ina),x2G(Ina,+8),

所以%i<Ina<x2

设p(x)=g(x)—g(21na—x)=ex—ax—[e2,na-x—a(21na—x)]

=ex—a2e~x—2ax4-2alna,

则p'(x)=ex十a2e~x-2a>2\/exxa2e~x-2a=2a—2a=0，

当且仅当e"=。20一"，即％=Ina时，等号成立.

所以函数p(x)在R上单调递增.

由M>Ina,可得p(%2)>p(lna)=0,

即g(%2)-g(21na-x2)>

又因为%】，不为函数。(工)的两个零点，

所以g(%J=g(%2)，所以gQi)>gQina-x2)»

又g>Ina,所以21na-％2VIna,

又函数g(x)在(-8,Ina)上单调递减，

所以/V21na—应,即/+%2V21na.

【解析】本题考查利用导数研究函数的极值和极值点偏移的相关知识点，属于比较难

的知识点.

(1)由己知得，(%)=〃-ax,因为函数/"(X)有两个极值点与，&，所以方程;

e"-ar=0有两个不相等的根%1，%2»设9(%)=/'(%)=e"-3则g'(x)=靖一

Q，对。进行分类讨论，从而算出答案.

(2)设工1〈无2，则与E(-8/na),x2G(Ina,4-oo),所以4Vina〈小，设P(%)=

zx2x

g(x)-g(21nQ-x),则p(x)=e+ae~-2a>0,当且仅当e*=标。-",即

x=lna时，等号成立.函数p(x)在R上单调递增，由冷>Ina,可得以小)一

g(2\na-x2)>0,g(X)>g(21na-必)，从而得证.

13.【答案】(I)解：因为f,(x)=^-a(x>0),

所以切线的斜率k=f'(1)=1—a,

又因为f(l)=-a,

所以切线方程为y+a=(1-a)(x-1),

将(-1,0)代入，得Q=-2(1-Q),解得a=2；

(H)①解/\x)=l-a=0,得％=5

当时，f>0；

当%>，时,f'(%)<0.

所以/(%)在x='处取得最大值/(；)=-Ina-1,

因为/(1)=一。<0，

因为0<Q<%所以/(》=-Ina-1>0,f(%)在区间(13)有零点，

因为/(%)在区间(03)单调递增，所以，/(%)在区间(0、)有唯一零点，

由甯函数与对数函数单调性比较及;'(乃的单调性知，

/(%)在区间弓,+8)有唯一零点，从而函数/'(%)有两个零点；

②证明：不妨设0<M<}<%2，作函数FQ)=/(%)-/(：-%),0V%<：，

则F(》=0,F'(')=筌翳》0,所以函数尸(%)在区间(0,；)上单调递增，

所以F(%i)<F(》=0,即/(右)-f(l-xt)<0,

/(；一与)>/(与)，又/(与)=/。2)，所以/《一巧)〉/(必)

因为所以:一％1，小€(：，+8),因为/(X)在区间(，+8)单调递减,

所以3—<x2,%!+A2>又0VaV3>e,

所以%i+x2>2e.

【解析】本道试题主要是考杳了导数在函数的单调性，极值中的应用，还考查了函数

零点的应用.

(I)导数求出切线的斜率，进而求出切线方程，再将点(-1,0)代入切线方程，就可以

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求出a的值;

(口)①由函数零点存在性定理可知/(x)在区间(0,6有唯一零点，由幕函数与对数函

数单调性比较及/'(%)的单调性知，/'(X)在区间(%+8)有唯•零点,从而函数/•(%)有两

个零点；

②应用函数的单调性即可证明.

14.【答案】(I)解：因为/<%)=：-a。>0),

X

所以切线的斜率k=f<1)=1-a,

又因为/(I)=一a，

所以切线方程为y+Q=(1-a)(x-1),

将(一1,0)代入，得Q=-2(1—Q),解得Q=2：

(口)①解/,(x)=i-a=0,得x

当0<xv：时，fz(xi>0；

当%>3时，f'(x)V0.

所以在％=：处取得最大值/《)=-Ina-1,

因为f(l)=-a<0,

因为0VaV%所以/&)=Tn。-1>。，/(%)在区间(L》有零点，

因为/(%)在区间(03)单调递增，所以，/(%)在区间(0,今有唯一零点，

由暴函数与对数函数单调性比较及f(x)的单调性知，

/(%)在区间(，+8)有唯一零点，从而函数/'(%)有两个零点；

②证明：不妨设0V/V5V%2，作函数尸(X)=/(工)一/弓一x),oVX<京

则产(9=0,F'(乃=黑翳30,所以函数尸(X)在区间(。,今上单调递增，

所以尸(打)<尸(》=o,即/'(/)一/'。一/)<0,

/。一与)>/(右)，又/(%】)=/(%2)，所以/■。一与)〉/(%2)

因为OVX1V、V%2，所以:一无1，岂2€弓,+8),因为/■(%)在区间弓,+8)单调递减,

所以:-xx<x2,%i+又0vQv>e,

所以+x2>2e.

【解析】本道试题主要是考查了导数在函数的单调性，极值中的应用，还考查了函数

零点的应用.

(I)导数求出切线的斜率，进而求出切线方程，再将点(-1,0)代入切线方程，就可以

求出。的值；

(口)①由函数零点存在性定理可知/•(%)在区间(0,6有唯一零点，由辕函数与对数函

数单调性比较及f(x)的冬调性知，/(%)在区间(，,+8)有唯一零点，从而函数〃幻有两

个零点；

②应用函数的单调性即可证明.

15.【答案】解：(1)由/(%)<人对任意%G(0,+8)恒成立,

得k>，对任意工€(0,+8)恒成立，

令九(%)=詈，则〃(幻=^^

令"(x)=0,则x=在，

在(0,通)上,九'0)>0：/i(%)单调递增;

在(遍+8)上,hr(x)<0,九(%)单调递减;

故M»max=九(五)=p

则k>《即4的取值范围为+8)；

(2)证明：设与<%2，9(幻=史受一小，

则g'G)=-詈，

在(0,1)上，g\x)>0,g(x)单调递增；

在(1,+8)上，g”)V0,g(%)单调递减;

=l-m,g(：)=Tn,

当％->+8时，g(x)>-m,且g(x)t-m,

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0<771<1,-<%1<1<X2,

要证/+%2>2,即证<2>2-,

,.,工2>1，2-Xi>1,g(x)在(1,+8)上单调递减,

•♦.只需证明g(%2)Vg(2-盟),

由g(%i)=g(X2)，只需证明9(勺)<g(2一无J,

令m(x)=g(x)-g(2-x),xe

)nxln(2-x)

m'M=一哀一(2r)2

-Inx>0,x2<(2-x)2,

-lnx-ln(2-x)_ln[x(2-x)]

m'M>—(2r)2-=--

・•・771(外在G，l)上单调递增,

•••m(