2025版《新高考你掌握了吗》数列与不等式练习

基本数列①1.[5分]新课标理4)记为等差数列的前n项和。若,,则() A. B. C.10 D.122.[5分](2015新课标II文9)已知等比数列满足,,则() A.2 B.1 C. D. 3.[5分](2009安徽理5)已知为等差数列,,,以表示的前项和,则使得达到最大值的是()。 A.21 B.20 C.19 D.18 4.[5分](2007陕西理5)各项均为正数的等比数列的前项和为,若,,则等于()。 A.16 B.26 C.30 D.80 5.[5分](2013全国I理7)设等差数列的前项和为,,,,则()。 A.3 B.4 C.5 D.66.[5](2011湖北文9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()。 A.1升 B.升 C.升 D. 7.[5分](2008安徽文15)在数列中,,,,其中为常数,则____________.8.[5分](2016新课标I理15)设等比数列满足,,则的最大值为___________.9.[5分](2016山东文19改编)已知数列的前项和,是等差数列,且,则的通项公式为____________.10.[5分](2011浙江文17)若数列中的最大项是第项,则__________.11.[5分](2010浙江文19(II))设为实数,首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足,则的取值范围为_____________.12.[5分](2016天津理18)已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等比中项。设,求证:是等差数列。13.[10分]湖北理18已知等比数列满足.(I)求数列的通项公式; (II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值,若不存在,说明理由.②1.[5分](2008四川理7已知等比数列中,,则其前3项的和的取值范围是() A. B. C. D. 2.[5分](2009海南文8等差数列的前项和为,已知,,则() A.38 B.20 C.10 D.9 3.[5分](2006天津理7已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为,且。设,则数列的前10项和等于() A.55 B.70 C.85 D.100 4.[5分]浙江理6)已知是等比数列,且,则() A. B. C. D. 5.[5分](2009全国I理14)设等差数列的前项和为,若,则___________.6.[5分](2017江苏9等比数列的各项均为实数,其前项和为,已知,则__________.7.[5分](2008宁夏理已知数列是一个等差数列,且。则的前项和取最大值时的值为_________.8.[5分](2017上海10)已知数列和,其中的项是互不相等的正整数,若对于任意的第项等于的第项,则______.9.[5分](2008湖北理14)已知函数,等差数列的公差为2。若,则_____________.10.[5分江苏14设是公比为的等比数列,,令,若数列有连续四项在集合中,则__________.11.[5分]新课标III理17)已知数列的前项和,其中。求的通项公式。12.[5分安徽文21)设是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在轴的正半轴上,且都与直线相切,对每一个正整数,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列。证明:为等比数列。13.[10分山东文22已知数列中,,中在直线上,其中。(I)令,求证:是等比数列。 (II)设分别为数列的前项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出;若不存在,则说明理由。数列通项公式1.[5分](2011四川理8)数列的首项为为等差数列且,若,则()。 A.0 B.3 C.8 D.11 2.[5分全国II理6数列的前项和为,则() A. B. C. D. 3.[5分]江苏数列满足,则数列的前项和为__________.4.[5分新课标I理17已知数列满足,则的通项公式为____________.5.[5分江西理正项数列的前项和满足,则的通项公式为____________.6.[5分]重庆理14)设,则数列的通项公式_____________.7.[5分]安徽文在等差数列中,,前项和满足条件,则的通项公式为___________.8.[5分重庆文已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,则的通项公式为____________.9.[5分](2009全国I理在数列中,,则的通项公式为____________.10.[5分](2015天津理18)已知数列满足为实数,且,且成等差数列,则___________.11.[5分]重庆理设。若,则的通项公式为______________.12.[5分]江西文已知各项均为正数的数列,满足,且,则的通项公式为_____________.②1.分江西理5在数列中,,则()。 A. B. C. D. 2.[5分]辽宁文改编已知数列与数列满足,且,则数列的通项公式为___________.3.[5分](2016全国III文)已知各项都为正数的数列满足,则的通项公式为___________.4.[5分]江西文17已知数列的前项和为常数),且,则的通项公式为____________.5.[5分](2008四川延考理20)在数列中,,则的通项公式为_______________.6.[5分]新课标理14若数列的前项和为,则数列的通项公式是____________.7.[5分]山东理设数列满足,则的通项公式为____________.8.[5分](2014安徽文18改编)数列满足,,则数列的通项公式为____________.9.[5分湖北理已知数列的前项和为正整数。则的通项公式为____________.10.[5分](2006天津理16改编数列满足且,则的通项公式为________________.11.[5分]广东文设各项均为正数的数列的前项和为,满足,且构成等比数列。则数列的通项公式为____________.12.[5分]重庆文数列满足且,记,则数列的通项公式为__________.13.[5分]广东文21设数列满足,数列满足是非零整数,且对任意的正整数和自然数,都有,则_________,_________.数列求和①1.[5分]安徽文7若数列的通项公式是,则() A.15 B.12 C. D. 2.[5分新课标II文)已知等差数列的公差不为零,,且,成等比数列,则___________.3.[10分]新课标IIIㅊ17)设数列满足。(I)求的通项公式; (II)求数列的前项和。4.[10分](2015山东文19)已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为。(I)求的通项公式; (II)设,求数列的前项和。5.[10分](2012湖北理18已知等差数列前三项的和为,前三项的积为8。(I)求等差数列的通项公式; (II)若成等比数列,求数列的前项和。②1.[5分]北京理7设,则等于() A. B. C. D. 2.[5分]全国大纲文等差数列中,。设,则数列的前项和为____________.3.[10分全国理18等差数列的前项和为,已知为整数,且。(I)求的通项公式; (II)设,求数列的前项和。4.[10分天津文18已知数列是等比数列,前项和为,且。(I)求的通项公式; (II)若对任意的是和的等差中项,求数列的前项和。5.[10分](2006全国理21)设数列的前项和为,(I)求首项与通项; (II)设,证明:。③1.[10分湖北文20)设数列的前项和为,点在函数的图像上。(I)求数列的通项公式; (II)设是数列的前项和,求使得对所有都成立的最小正整数m2.[10分](2014新课标I文17)已知数列是递增的等差数列,是方程的根。(I)求的通项公式; (II)求数列的前项和。3.[10分](2013浙江文19在公差为的等差数列中,已知,且,成等比数列。(I)求; (II)若,求。4.[10分湖南文19设数列的前项和为,已知,且(I)证明:; (II)求。5.[10分](2013江西理17正项数列的前项和满足(I)求数列的通项公式; (II)令,数列的前项和为,证明:对于任意的,都有。数列的性质①1.[5分]湖南文5已知数列满足,则()。 A.0 B. C. D. 2.[5分]郑州质检)已知,数列满足,且是递增数列,则的取值范围是()。 A. B. C. D. 3.[5分](2001全国理6)已知数列的前8项值各异,且对任意的都成立,下列数列中可取遍的前8项值的数列为()。 A. B. C. D. 4.[5分广州综合测试)等比数列前项和为,若恒成立,则实数的最大值为()。 A.3 B.4 C.5 D.6 5.[5分](2012上海文18)若,则在,中,正数的个数是()。 A.16 B.72 C.86 D.1006.分辽宁理16已知数列满足,则的最小值为_________.7.[5分](2014湖南理已知数列满足。若为递增数列,且成等差数列,则的值是____________.8.[5分]福建理已知数列满足,若,则的取值范围为___________.9.[5分]福建理14数列的通项公式,前项和为,则__________.10.[5分全国理22设为常数,且,若对任意的都有,则的取值范围为____________.放缩①1.[10分]安徽理已知的通项公式为,记,证明:。2.[10分](2010全国II理)数列的前项和。证明:对于任意的,都有。3.[10分](2013广东理19设数列的前项和为,已知(I)求数列的通项公式; (II)证明:对一切正整数,有。4.[10分](2006福建理22)已知数列满足。(I)求数列的通项公式; (II)证明:。5.[10分浙江理20已知数列满足且。(I)证明:; (II)设数列的前项和为,证明:。②1.[10分全国II理17设数列满足,,。(I)求数列的通项公式; (II)证明:对一切正整数,有。2.[10分]陕西理22已知数列的首项,(I)求数列的通项公式; (II)证明:对任意的。3.[10分](2008辽宁理21)在数列中,,且成等差数列,成等比数列。(I)求数列的通项公式; (II)证明:。4.[10分湖南文20已知的通项公式为,令,证明:。5.[10分](2011湖北理21)已知不等式对任意的恒成立,设,均为正数,证明:(I)若,则; (II)若,则均值不等式①1.分福建文7若,则的取值范围是()。 A. B. C. D. 2.[5分重庆7已知,则的最小值是()。 A.3 B.4 C. D. 3.[5分]四川文11)设,则的最小值是()。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.[5分]浙江文9若正数满足,则的最小值为()。A. B. C.5 D.6 5.[5分](2010山东14)已知,且满足,则的最大值为___________.6.[5分](2019扬州一模11)已知正实数满足,若,则的取值范围为____________.7.[5分](2015天津12已知,则当的值为__________时,取得最大值___________.8.[5分]设是满足的正数,则的最小值为___________.9.[5分]已知正实数满足,则的最小值为_____________.10.[5分](2013天津14)设,则的最小值为_______________.②1.分浙江文5已知,且,则()。 A. B. C. D. 2.[5分]陕西理9已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为()。 A.2 B.4 C.6 D.8 3.[5分]重庆文7已知,则的最小值为()。 A.2 B. C.4 D.5 4.[5分](2006重庆理12)若且,则的最小值为()。 A. B. C. D. 5.[5分]江苏11设为正实数,满足,则的最小值为___________.6.[5分]浙江15若正实数满足,则的最小值为__________.7.[5分]天津12若,则的最小值为______________.8.[5分南通三模11若正数满足,则的最小值为___________.9.[5分]已知,且,则的最小值为_____________.10.[5分浙江文16若实数满足,则的最大值为_____________.不等式的证明①1.[10分]辽宁24已知均为正数,证明:。2.[10分江苏21)设是非负实数,求证:。3.[10分](2017全国II文理23)已知,证明:(I) (II)。4.[10分]全国II理23)设均为正数,且,证明:(I) (II)。5.[10分](2019全国III理23)设,且。(I)求的最小值; (II)若成立,证明:或。绝对值不等式①1.[5分]山东理4设函数的图像关于直线对称,则的值为()。 A.3 B.2 C.1 D. 2.[5分]安徽文9若函数的最小值为3,则的值为() A.3或8 B.或5 C.或--4 D.或8 3.[5分](2015江苏21不等式的解集为__________.4.[5分](2011广东理9不等式的解集是____________.5.[5分](2012江西理15)在实数范围内,不等式的解集为_____________.6.[5分](2015福建理21)已知,函数的最小值为4,则__________.7.[5分]全国理24)设函数,其中,若不等式的解集为,则的值为____________.8.[5分]上海文14)某地街道呈现东---西、南---北向的网格状,相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点,,,,为报刊零售点。请确定一个格点(除零售点外)________为发行站,使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短。9.[10分全国III理24已知函数。(I)当时,求不等式的解集; (II)设函数,当时,,求的取值范围。10.[10分](2015全国I理24)已知函数。(I)当时,求不等式的解集; (II)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围。数列无序练习题①1.[5分大纲文6)设为等差数列的前项和,若,公差,,则() A.8 B.7 C.6 D.5 2.分辽宁理6设等比数列的前项和为,若,则() A.2 B. C. D.3 3.[5分](2012上海理18)若,在中,正数的个数是()。 A.25 B.50 C.75 D.100 4.[5分上海6)记等差数列的前项和为,若,则__________.5.[5分](2006重庆理14)在数列中,若,则该数列的通项__________.6.分北京理10若数列的前项和,则此数列的通项公式为_________;数列中数值最小的项是第___________项。7.[5分](2011福建文16商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价、最高销售限价以及常数,确定实际销售价格,这里被称为乐观系数。经验表明,最佳乐观系数恰好使得是和的等比中项,据此可得,最佳乐观系数的值等于___________.8.[5分](2015新课标II理16)设是数列的前项和,且。则_______.9.分湖北理15已知满足,,若,则所有可能的取值为___________.10.[5分]江苏14在正项等比数列中,,则满足的最大正整数的值为____________.11.[5分]山东文已知数列中,,点在直线上,其中。令,求证:是等比数列。12.[10分天津文18设是等差数列,是等比数列,公比大于0,已知。(I)求和的通项公式; (II)设数列满足,求。13.[10分]江西理19等差数列各项均为正整数,,前项和为,等比数列中,,且是公比为64的等比数列。(I)求与; (II)证明:。②1.[5分](2011天津理4)已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,为的前项和,,则的值为()。 A. B. C.90 D.110 2.[5分]海南理7已知成等差数列,成等比数列,则的最小值是()。 A.0 B.1 C.2 D.4 3.[5分四川文9数列的前项和为,若,则() A. B. C. D. 4.[5分](2006辽宁理9)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于()。 A. B. C. D. 5.[5分]北京理12若等差数列满足,则当________时,的前项和最大。6.[5分浙江文设为数列的前项和,,其中是常数。若对于任意的成等比数列,则__________.7.[5分安徽理数列的前项和为,已知,则____________.8.[5分全国I理19(I))设等比数列的公比为,前项和,则的范围为_____________.9.[5分]新课标理为数列的前项和。已知,则_______________.10.[5分](2009全国II理19(I))设数列的前项和为,已知,设,证明数列是等比数列。11.[10分]天津文19已知首项为的等比数列的前项和为,且成等差数列。(I)求数列的通项公式; (II)证明:。12.分广东文19设各项均为正数的数列的前和为,且满足(I)求数列的通项公式; (II)证明:对一切正整数,有。③1.[5分]江西文3在各项均不为零的等差数列中,若,则()。 A. B.0 C.1 D.2 2.[5分福建理8若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于()。 A.6 B.7 C.8 D.9 3.[5分辽宁8若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边与最小边长的比值为,则的范围是()。A. B. C. D. 4.[5分]福建文已知等差数列的公差为1,前项和为,若,则的取值范围为_____________.5.[5分]北京理14已知数列满足,则________;__________.6.[5分北京文设等差数列的首项及公差均为整数,前项和为。若,则_____________.7.[5分]广东文13等比数列的各项均为正数,且,则_____________.8.[5分]上海文14已知,各项均为正数的数列满足,,若,则的值是____________.9.分全国I理在数列中,,则的通项公式为______________.10.[5分](2013湖南理15)设为数列的前项和,,则(I)___________;(II)_____________.11.[5分](2004全国II理)数列的前项和为,已知。证明:数列是等比数列。12.[10分]全国文21)设正项等比数列的首项,前项和为,且(I)求的通项; (II)求的前项和。13.[10分](2012广东理19设数列的前项和为,满足,且成等差数列。(I)求数列的通项公式; (II)证明:对一切正整数,有。不等式无序练习①1.[5分](2011山东理4不等式的解集是()。 A. B. C. D. 2.[5分]天津理6)设,若是与的等比中项,则的最小值为()。 A.8 B.4 C.1 D. 3.[5分]重庆文9若,则的最小值是()。 A. B. C. D. 4.[5分](2013山东理12设正实数满足,则当取最大值时,的最大值为()。 A.0 B.1 C. D.3 5.[5分]若实数满足,且,则的最小值为___________.6.分浙江16若实数满足,则的最大值是___________.7.[5分](2016江苏南通二模13设实数满足,则的最小值为____________.8.[5分]已知是正数,且,则的最小值为____________.9.[5分天津文14设,则的最小值为_____________.10.[10分](2014全国II理24)设函数。(I)证明:; (II)若,求的取值范围。11.[10分]唐山一模理23设为正数,且,证明：(I); (II)。12.[10分]已知,证明:.综合练习①1.[5分](2017新课标II理3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加増,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层的塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯（）。 A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 2.[5分]全国理7已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则()。 A.1 B. C. D. 3.[5分湖北武汉四月质检文12)当正数变化时,则最大值为()。 A. B. C. D. 4.[5分](2013课标II理16)等差数列的前项和为,已知,则的最小值为______________.5.[5分广东理数列满足,则数列的通项公式为_____________.6.[5分]天津文12)已知,则的最小值为____________.7.[5分]成都一诊理21改编在数列中,,当时,有,则____________.8.[5分四川理已知数列满足,且对任意都有。设,证明:是等