《30.4 二次函数的应用（1）》名师训练

.4二次函数的应用（1）——二次函数与销售利润最大问题课后作业基础型自主突破1.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=__________．2.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A.B.C.D.3.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A．5元B．10元C．0元D．6元4．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为_________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．5．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？6.“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆．

（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？

（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？能力型师生共研7.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？8.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元），当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？探究型多维突破9．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）012…y11．51．8…（1）求y与x的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？10.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500.(1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？自助餐1.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为()A．B．C．D．2.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为()A．B．C．D．3．将进价为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？4.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6.九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（0≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下：时间x（天）1306090每天销售量p（件）1981408020已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大，并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．

参考答案课后作业基础型自主突破1.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=__________．【知识点】求函数解析式【解题过程】【思路点拨】仔细读题，便可得出相关解析式【答案】2.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A.B.C.D.【知识点】求函数解析式【解题过程】由题意可知，其中【思路点拨】每件服装的利润为，此时的销量为，因此可知每天的利润为。【答案】A3.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A．5元B．10元C．0元D．6元【知识点】二次函数求最大值【解题过程】设每天的利润为，每件需降价元时，利润最大。由题意可知，∵，∴当时利润最大。【思路点拨】分别表示出每件衣服的利润，再表示出销量两者相乘转化为二次函数求最值即可。【答案】A4．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为_________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．【知识点】二次函数求最大利润【解题过程】设每天的利润为，每件定价元时，利润最大。由题意可知，∵，∴当时利润最大。【思路点拨】分别表示出每件衣服的利润，再表示出销量两者相乘转化为二次函数求最值即可。【答案】225．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【知识点】求函数解析式以及利用二次函数求最大值【解题过程】（1）由题意可知，（2）∵，∴当时利润最大，最大为16000元。【思路点拨】根据题意求出利润与销售单价之间的函数关系式，进而求解。【答案】（1）（2）销售单价为时利润最大，最大为16000元6.“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆．

（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？

（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？【知识点】二次函数求最大值.【解题过程】（1）设平均增长率为x，根据题意得：

640（x+1）2=1000，

解得：x=0.25=25%或x=-2.25（不合题意，舍去），

则四月份的销量为：1000（1+25%）=1250辆，

所以，该公司4月份在深圳市新投放共享单车1250辆.

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车100-x辆，

根据题意得：500x+1000（100-x）≤70000，

解得：x≥60．

利润W=（700-500）x+（1300-1000）（100-x）=200x+300（100-x）=-100x+30000，

∵-100＜0，

∴W随着x的增大而减小．

当x=60时，利润最大=-100×60+30000=24000，

所以，为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车【思路点拨】（1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可；

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车100-x辆，根据不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，列出不等式，求出x的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可.【答案】（1）该公司4月份在深圳新投放共享单车1250辆；（2）为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.能力型师生共研7.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？【知识点】由图像求解析式，利用二次函数求最值【解题过程】（1）设由图像可知，解得（2）∵∴当时，有最大值为200【思路点拨】利用图像可求出一次函数解析式，利用二次函数可求出最值【答案】（1）（2）时，有最大值为2008.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元），当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？【知识点】由图像求解析式，利用二次函数求最值【解题过程】（1）当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元；

（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，

所以这两年获利最大为40×2=80万元，

后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x，则外地投资额为100-x，

所以表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3195万元，

故五年获利最大值为80+3195-50×2=3175万元；【思路点拨】（1）利用二次函数求最值（2）中是一个分段函数，所以需要分段来求解。【答案】（1）205万；（2）3175万元探究型多维突破9．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）012…y11．51．8…（1）求y与x的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【知识点】由表格求二次函数解析式，二次函数求最值【解题过程】（1）设二次函数的解析式为由表格可知，解得所以函数的解析式为（2）根据题意可知（3） 时，S随x的增大而增大，故当年广告费为10—25万元之间，公司获得的利润随广告费的增大而增大【思路点拨】利用表格中的三组值来求二次函数的解析式；利用二次函数求最值。【答案】（1）;（2）（3）年广告费为10—25万元之间，公司获得的利润随广告费的增大而增大.10.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500.(1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？【知识点】二次函数求最大值，已知函数值求自变量的取值范围【解题过程】(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝－10×20＋500＝300.∴政府这个月为他承担的总差价为：300×(12－10)＝300×2＝600(元)(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5000＝－10(x－30)2＋4000.∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元(3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000.解得x1＝20，x2＝40.∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，建立直角坐标系，并画出y＝－10x2＋600x－5000的函数图像．∴结合图像可知：当20≤x≤40时，w≥3000.又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，p随着x的增大而减小，∴当x＝25时，p有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元【思路点拨】利用二次函数求最值，已知函数值时利用图像法可以求解。【答案】(1)600(元)；(2)当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；(3)政府每个月为他承担的总差价最少为500元自助餐1.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为()A．B．C．D．【知识点】求二次函数解析式【解题过程】【思路点拨】仔细读题即可解决问题【答案】A2.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为()A．B．C．D．【知识点】求二次函数的解析式【解题过程】【思路点拨】分别表示出每件商品的利润，再表示出销量，两者相乘转化为二次函数即可。【答案】A3．将进价为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？【知识点】二次函数求最大值【解题过程】设利润为，每件售价元时，利益最大。由题意可知所以当时利益最大。【思路点拨】利用二次函数求最值。【答案】售价应定为57.5元4.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【知识点】二次函数求最大值【解题过程】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），由所给函数图像得解得∴函数关系式为（2）∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元。【思路点拨】把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论。【答案】（1）；（2）当售价定为140元,W最大＝16005.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？【知识点】求解析式，二次函数求最大值【解题过程】(l)由题意知：P=30+x，

(2)活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元，死蟹的销售额为200x元，∴

(3)设总利润为当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．【思路点拨】注意审题，(3)中还需要把其他费用减去。【答案】(l)P=30+x；(2)(3)当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．6.九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（0≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下：时间x（天）1306090每天销售量p（件）1981408020已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大，并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．【知识点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性