流体力学习题及答案第二章

第二章流体静力学

2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa,求距地面100m和1000m高空处的压力。

答：取空气密度为，并注意到。

(1)100米高空处：

p=p()-pgh=1.01325x10、(P〃)一1.226仅g/9.81(/??/52)x100(〃7)

=101325(&)-1203(&)=1.0()122xIO5(Pa)

(2)1000米高空处：

p=Po-P^h=1.01325x105{Pci)-1.226(^//n3)x9.81(〃"/卜1()00(〃2)

=101325(Ptz)-12027(Pa)=0.89298x105(Pa)

2-2如果海面压力为一个工程大气压，求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m时所承

受海水的压力分别为多少？

答：取海水密度为，并注意到所求压力为相对压力。

(1)当水深为50米时：

p=pgh=1.025xlO3(kg/m3)x9.8l(w/?)x50(m)=5.028xl05(Pa)o

(2)当水深为500米时：

〃=eg/r=1.025乂103(依/苏卜9.81(血$2卜500M=5028x106(.).

(3)当水深为5000米时：

〃=可力=1.025XIO,(2g/〃打x9.81(〃//)x5000(相)=5.028X(&)。

2・3试决定图示装置中A,B两点间的压力差。己知：，，，，；酒精重度，水银

重度，水的重度。

答：设A,B两点的压力分别为和，1,2,3,4各个点处的压力分别为，，和。根据

各个等压面的关系有：

PLPB+M%-%）；

整理得到：

PA~PR=一％〃3+%（〃2+%）+九仇一4一九）

=-7848x0.15+133400x（0.25+0.2）+9810x（0.4-0.25-0.5）

=55419.3（Pt7）

2・4有闸门如图所示，其圆心角，转轴位于水面上。已知闸门宽度为B,半径为R,试求闸

门受到的合力及合力与自由面的夹角。

答：（1）求水平分力

由于，则：。因此：O

（2）求垂向分力£=/W

其中：，

因此因=y.V=y.一——A%=（0.523—0.217）加*=0.3064总。

I68）

（3）求合力P

合力大小：；

合力方向：，。

2・5设水深为，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长度水坝的作用力。

（1）抛物线：，（为常数）；

（2）正弦曲线：，（，，为常数）。

答：（1）,为常数。

水平分力：；

其中，；因此。

垂直分力：；

其中，而，并注意到，于是得到：

因此，。

(2)（,,为常数）。

水平分力：。

垂直分力：；

其中，而，并注意到，于是得到:

h

V=xh'h一『asinbxdx=/•/?+?cosZ?^=xhh+j-cosbxh-*

=%csinXc*1.h\a

­—arcsin—~b

bab<ba.

h.h1

=—arcsin—+—

bab~b

因此,O

2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。已知水的重度（Mm3）水渠左

壁为的直线，右壁为的抛物线。

答：（1）水渠左壁面受力

①采用平板公式计算

作用力大小：；

作用力方向：垂直作用于平板OA,并指向0A。

作用点：

，其中，，。

因此，；。

②采用柱面公式计算

水平分力：；

垂直分力：；

合力：。

（2）水渠右壁面受力

水平分力：；

垂直分力：；

而，；

2

因此R=/-V=9810x1=6540（/V）o

合力：。

2-7一圆筒形容器的半径R,所盛水的高度H。若该容器以等角速度绕其中心轴转动,

设r=0,z=h点的压力为pO,试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转

时水不会流出）。

答：（1）作用于筒内流体的质量力包括两项:

第一顶：与坐标方向相反的重力，重力加速度为；

第二项：沿坐标方向的离心力，离心加速度为。

因此单位质量力为:

,其中：、分别为、方向的单位向量。

（2）对于静止流体微分方程：，其中压力梯度：；

将质量力和压力梯度代入，则得到:

,一一op一ep一

pco~r02-e=---eH----e

rzdrrrdz4

比较方程两端，则得到：

（3）压力的全微分：，将和代入其中，有：

dp=pct）2rdr-pgdz:

将上式两端同时积分、得到:

,其中为常数。

将条件、时代入上式，则得到：

C=〃。+加。

即流体内部的压力分布为：

1）=!词/—P^z-Po+P8h=Po+P8（h_z）+；pa）2,；

又由于在自由表面上：，代入到上述压力分布式中，则得到：

—pco2r2+p^（h-z）=0；

2

该式便是筒内流体的自由面方程。

2-8底面积aXa=200X200mm2的正方形容器的质量为ml=4kg,水的高度为h=150mm,容

器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13,

试求不使水溢出的最小高度H。

答：（1）求水平加速度：

建立如图所示坐标系、且设倾斜后不使水溢出的最小高度为。

设容器内水的质量为,容器和水的总质量为.则：

(kg)

"2=町+川=4+6=10（kg）o

由牛顿第二定律：

其中为摩擦系数，则水平加速度为：

ax=---（吗一刖）g=-（25-0.13x1（））g=0.667g

m+"435

（2）求作用于流体上的单位质量力：

单位质量力为：。代入到静止流体平衡微分方程中，有:

一0/一/」伴;+誓）；

pyoxdz>

比较方程两端，可以得到：

（3）求自由表面方程

压力的全微分为：。

在自由液面上，，。代入到上式中得到：。对其进行积分，得到自由表面方程:

axx+gz=C

其中C为常数。

***（确定常数和高度）：

由于自由表面方程通过两点：、，代入到自由面方程中，则有：

0ax+gH=C（1）

a-ax+gh}=C（2）

将（1）代入到（2）中，得到：

aax+gh]=gH⑶

又由于倾斜前后，水体积（质量）保持不变，则有：

22

ah=^a（H+h}）

整理得到：（4）

将（4）代入（3）中，得到：

整理得到:

(m),

即不使水溢出的最小高度为0.218m0

2-9一物体位于互不相容的两种液体的交界处。若两液体的重度分别为，(>),物

体浸入液体中的体积为VI,浸入液体中的体积为V2,求物体的浮力。

答：设微元面积上的压力为，其单位外法向量为，则作用于上的流体静力为。

沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为。

设部分的表面积为，设部分的表面积为，两种液体交界面处物体的截面积为，交界

面处的压力为。

并建立下述坐标系，即取交界面为平面，轴垂直向上为正，液体深度向下为正，显然。

因此户=一gpndS=-口pndS-JJpndS。

s$s>

在上，在上；代入到上式中得到：

p=-]J(PO_/1Z)元ds-JJ(Po-y2z)ndS

5,§2

=-JfP.dS+JJ伉z)万dS-JJp^ndS+

S]S[Sys]

/\/\/\

=-Jjp(/dS