2024北京重点校高一（下）期末数学汇编：向量的数量积（人教B版）

2024北京重点校高一（下）期末数学汇编

向量的数量积（人教B版）

一、单选题

1.（2024北京海淀高一下期末）已知向量。=（0,1）,心曰1,则cos（a»=（）

A.。B.1C."D.?

2.（2024北京怀柔高一下期末）设非零向量2B,贝广,+万-5）”是“商=坂或"-『'的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

3.（2024北京通州高一下期末）3知向量2=（-1,2）,a1b，那么向量石可以是（）

A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(1,-2)

4.（2024北京丰台高一下期末）八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、

水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点。为该正八

边形的中心，设|次|=1,点P是正八边形ABCDEFGH边上任一点，下列结论中正确的个数是（）

①m与丽的夹角为

4

②向一困考百；

③m在历上的投影向量为-变工（其中工为与历同向的单位向量）；

2

®/,.l­/7/PC_+p户P(丁'_的取值范围是[12+2®,16].

A.1B.2C.3D.4

5.（2024北京石景山高一下期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形

记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中。4=2,则下列命题：

FE

图1

®OBOE=-42;

@OA+OC=~y/2OF;

③次在而上的投影向量为日丽；

④若点尸为正八边形边上的一个动点，则荏的最大值为4.

其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

6.(2024北京北师大附中高一下期末)已知向量西，石满足5=(-1,0),且|Z-26|=1,则公

()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

7.(2024北京怀柔高一下期末)已知向量Z=(2,)B=(1,-2),若£,万，则实数/()

A.-1B.1C.-4D.4

8.(2024北京大兴高一下期末)已知平面向量Z=(l,l),,=(-3,4),则下列说法错误的是()

A.cos(d,b\=^~

\/10

B.坂在公方向上的投影向量为(-襄袅

c.与B垂直的单位向量的坐标为41)或(H)

D.若向量£+"与非零向量共线，贝12=0

9.(2024北京顺义高一下期末)已知VABC,且丽.衣=0.点P是VABC所在平面内的动点，满足

网=1.则国+定|+|而-配|的最小值为()

51

A.2B.-C.1D.-

22

10.(2024北京西城高一下期末)平面向量。石在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形

的边长均为1,则无征=()

A.-2B.0C.1D.2

11.（2024北京清华附中高一下期末）若向量商=（2,5）,3=（1—九,2+x）,",贝”=（）

A.-B.--C.4D.-4

77

____,UUUI

12.（2024北京延庆高一下期末）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，OP=（l,-2）,。。=（3,4）,则

cosZPOQ=（）

A.好B.@C.一旦D.-好

3535

13.（2024北京海淀高一下期末）定义域为［。、切的函数y=/（尤）的图象的两个端点分别为

AQ"a））,8（氏/（»）.点M（x,y）是y=〃x）的图象上的任意一点，其中x=Xa+（l-几屹（0<4<1）,点N

满足向量而=力西+（1-4）砺，点。为坐标原点.若不等式|加上左恒成立，则称函数y=在卜回

上为上函数.已知函数/（%）=-f+2x在［0,1］上为左函数，则实数4的取值范围是（）

1

A.(0,+oo)B.-,+ooC.D.[L+8)

4

14.（2024北京海淀高一下期末）已知£石是非零向量，贝『工,行”是“对于任意的4$R,都有

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2024北京东城高一下期末）设£，B为非零向量，下列结论中正确的是（）

A.Q+B>\a-b\B.\a+b\>〃一区

C.(2a)b=a(2b)D.{a•bf-a•

16.（2024北京朝阳高一下期末）已知向量商=(1,5),5=(0,3),则5()

A.73B.V5C.3D.5

17.（2024北京第八中学高一下期末）若单位向量九b，"满足。/=—彳，b-c=,则7"()

22

D.0或-立

A.0BC.0或——

-I22

18.（2024北京西城高一下期末）已知方=（1,2）,5=（x,4）,若@，则实数x=（）

A.8B.-2C.2D.-8

19.（2024北京东城高一下期末）向量8,方在正方形网格中的位置如图所示，则（万，b）=（）

A.45°B.60°

C.120°D.135°

二、填空题

20.（2024北京北师大附中高一下期末）已知点A,3,C是半径为3的圆上三点，3c=2,点。是BC的垂

直平分线上任意一点，则通.方的最小值为.

21.（2024北京石景山高一下期末）已知向量％区"在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方

形的边长为1,则乙k-5）=.

22.（2024北京顺义高一下期末）在长方形ABCD中，AB=2*,AO=1,点尸满足而=g瓶+A方，则

|A?|=，PAPC=.

23.（2024北京延庆高一下期末）已知长方形ABCD中，AB=2AD=2,点尸为CD上的动点，则

ABAC=;而•丽的取值范围是.

24.（2024北京东城高一下期末）赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦

图”.下图是某同学绘制的赵爽弦图，其中AD=ED=2,点P,Q分别是正方形ABC。和正方形EFGH上

的动点，给出下列四个结论：

②匹卜2®

③设而与屋的夹角为。，贝!Band的值为3；

④丽•诙的最大值为12.

其中所有正确结论的序号是.

JT

25.（2024北京海淀高一下期末）在VABC中，ZC=-,CA=CB=2,尸满足屈=29-丽，则

CPCB=.

26.（2024北京东城高一下期末）已知向量乙=（x+l,2）,5=（2,-3）,若£与石垂直，则实数x的值

为.

27.（2024北京房山高一下期末）已知向量2=（3,4）,ab=O,且欠=1，则向量B的坐标为.

28.（2024北京昌平高一下期末）己知菱形MCO的边长为2,ZBAD=6QP,BC=2BP,则

APBD^.

29.（2024北京朝阳高一下期末）已知向量£,B在正方形网格中的位置如图所示，向量）满足同=1,且

a-c=b-c.若网格纸上小正方形的边长为1,则（"孙（万+可=

30.（2024北京西城高一下期末）在VABC中，^A=60°,AC=6,AB=4,则/.湿=,

|CA+CB|=.

31.（2024北京第八中学高一下期末）已知向量2=（-1,2）,B=（〃Z,1）,若向量Z+石与£垂直,则

m-

三、解答题

32.（2024北京丰台高一下期末）设平面向量£=（1,0）,由=2,且|3+昨3.

⑴求23的值；

（2）判断日与坂是否平行，并说明理由；

（3）若（笳+办0+杨=12,求实数2的值.

33.（2024北京顺义高一下期末）己知「，公是两个单位向量，其夹角为120。，%=21-最，

b=3el+2e2.

⑴求同，M；

（2）求a与B的夹角.

34.（2024北京怀柔高一下期末）已知向量商=（2,2）石=（1,〃。

⑴若机=2,求及卜+同的值；

⑵若20+5与B平行，求实数加的值；

（3）若A与方的夹角为45。，求实数加的值.

35.（2024北京海淀高一下期末）己知砺=£,而=瓦忖=也『1,伍?=（.

⑴求卜-2可；

（2）若丽=/函，求通•（函-砺）的最小值.

36.（2024北京昌平高一下期末）已知向量Z=（3,-l）,b={l,m）.

（1）若2_1_（根£一石），求实数加的值；

（2）若m=-2,求£与B夹角的大小.

37.（2024北京大兴高一■下期末）已知。=34-2e?E=4e[+e.,其中.=（1,0）,e?.=（（）,1）.

⑴求a-B,\a+b|；

⑵求Z+B与1方夹角。的余弦值.

38.（2024北京东城高一下期末）如图，设3,Oy是平面内相交成60。角的两条数轴，£区分别是与》

轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量方=无1+、£,则把有序数对a,y）叫做向量赤在坐标系。町中

的坐标.设而=23+3弓，

⑴求I历I的模长;

（2）设诙=，+嬉，若丽//诙，求实数机的值;

(3)若次=玉［+乂晟，OB=x^+y^,有同学认为“市上访"的充要条件是“占%+%%=。''，你认为是

否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由.

39.(2024北京顺义高一下期末)对于数集*={-1,不々「、毛}，其中0<占</<…<%，定义

向量集¥={同值=(s，：)，seX,止X}.若对于任意《>丫，存在％一，使得还％=0,则称X具有性质P.

⑴已知数集Xj={-1,1,2},请你写出数集X1对应的向量集匕，X1是否具有性质产？

(2)若x>2,且乂2={-1,1,2,无}具有性质P,求x的值；

(3)若X具有性质P,求证：leX,且当无“>1时，玉=1.

参考答案

1.B

【分析】根据向量坐标公式求夹角余弦值即可.

__BOx^+lx-

【详解】由题设cosR,51=||=2向~.

ab3

\W\lxj+i2

\44

故选：B

2.B

【分析】结合向量的运算，根据充分条件和必要条件的定义即可判断

【详解】因为（商+山"方）

所以（五十1）・（互_石）=0oa2—b2=0<=>a2=b2<=>同=|^|,

又同=忖不能推出万=B或G=—b;

但若“日=B或之=一5”,则一定有同=忖，

所以9M万-5卜是％=石或"工”的必要不充分条件，

故选：B.

3.A

【分析】由可得7B=o,逐个验证即可.

【详解】因为aJ_B，所以。/=0，

对于A,若B=（2,l）,贝立・力=-2+2=0，所以A正确,

对于B,若办=（2,-1）,则。）=一2_2片0，所以B错误，

对于C,若石=（一2,1）,则：.力=2+2*0,所以C错误，

对于D,若办=（1,一2）,则>力=_1_4片0,所以D错误.

故选：A

4.C

【分析】根据平面向量夹角的定义即可判断①；根据正八面体的结构特征结合向量减法法则即可判断②；

根据投影向量的定义即可判断③；以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，由正八面体的对称性，不妨设

点尸在边上，再根据坐标公式计算即可判断④.

7T

【详解】对于①，由题意=

4

则西与前的夹角为3斗I，T故①错误；

4

对于②，由正八面体的结构特征得AC=0,£>H=2,

叫方-碇卜同=亨西，故②正确；

对于③，ZAOD=^37r,即丽与丽的夹角为3：7r，

44

所以向量函在向量而上的投影向量为11次卜。$竽＞=-¥。，故③正确;

—►\2/»2»2►

)Aj=dOB+OA-208”方=也_J

1：角坐标系，

E边A3上，设尸(x,0),xe0,72-72

尸it与"

GNA^D

ABx

故选：C.

【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略：

(1)字母表示下的运算：利用容=同二将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；

(2)坐标表示下的运算：若M=(x,y),则商也=容=|同2=/+y2,于是有同=)示+产

5.C

【分析】正八边形ABCDEFG8中，每个边所对的角都是45。，中心到各顶点的距离为2,然后再由数量积

的运算判断①②,由投影向量和投影数量判断③④得答案.

【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是45。，中心到各顶点的距离为2,

对于①，OBOE=\OB\\OE\xcosZBOE=2x2xcosl35=-2版，故①错误；

对于②，NAOC=90。，则以。4,OC为邻边的对角线长是IOAI的也倍，

可得次+反=逝砺=-0赤，故②正确；

__,OA-OB2x2cos45°

对于③，砺在砺上的投影向量为病二°8=-4—T-故③正确；

对于④，设Q,荏的夹角为8,则Q•阳=|A5||/cos。，其中|1?卜。$0表示而在而上的投影数量,

易知OC，AB，延长DC交AB延长线于。，当P在线段DC上运动,投影数量最大，

1cn°—45°

易知AQAC为等腰直角三角形，S.ZOAB=^43=67.5°,

2

则在RUCAQ中，AQ=ACcosZCAQ=ACcos(67.5°-45°)=ACcos22.5°,

在等腰三角形Q4B中A3=2OAsin22.5。，

则(而・丽)=ACcos22.5°x2OAsin22.5°

=ACOAsin45。=2应x2x-=4.故④正确.

2

则正确的个数共有3个.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题问题④的关键是利用数量积的几何意义确定窈在而上的投影的最大值.

6.B

【分析】设Z=(x,y),利用向量的坐标运算，及模的坐标表示列出方程组求解即得.

【详解】设。=(x,y),而¥=(-1,0),则£-2万=(x+2,y),又|£-2昨1且|a|=l,

尤2+—1

因此<oJn解得—a"

所以£=(-1,0).

故选：B

7.B

【分析】根据向量垂直的坐标运算可得答案.

【详解】若"_1_1，则2x1—2r=0,解得f=l.

故选：B.

8.B

【分析】根据夹角公式即可求解A,根据投影向量的计算公式即可求解B,根据向量垂直以及模长的坐标

公式，即可求解C,根据向量共线定理即可求解D.

【详解】由题意可得万名=1,同=0,忖=5,

a-b_1_A/2

对于A,cosa,b=同同=迈=而'A正确，

对于B,区在％方向上的投影向量为色卜056,5卜力=2+R='x'_1_

a=—a=,B错误;

214

44

X=一x=—

-3x+4y=05,,

对于c,设与B垂直的单位向量的坐标为^=(%/)，所以解得3，故

fx2+y2=l

y=一

5

"=或)=(-1厂I),C正确,

对于D,若向量£+二与非零向量14共线，则存在％eR,使得

o+九5=左(商一26)=>(%—1)。=(%+,由于6,a不共线，所以后一1=0且2+左2=0,故4=0,D正

确，

故选：B

9.A

【分析】由福•而=0可得|通-*|=|通+/I，再利用向量的线性运算及向量的三角不等式求出最小

值.

【详解】在VA5c中，由丽.衣=0,得"宿=屈+/2=|南+记,

因止匕|方+无|+|而-定|=|南+正-2衣|+|通-才。

=\AB+AC-2AP\+\AB+AC\>\AB+AC-2AP-(AB+AC)\=2\AP\=2,

当且仅当福+北与2丽同向，且I通+才e区2时取等号，

所以|而+无|+|而-无|的最小值为2.

故选：A

10.C

【分析】根据数量积的几何意义即可求解.

【详解】由图可知：苕在B方向上的投影为5,故方石=12=1，

故选：C

11.D

【分析】依题意可得a0=o,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为方=(2,5),b=(l-x,2+x),alb，

所以益」=2(1—x)+5(2+x)=0,解得x=-4.

故选：D

12.D

【分析】由向量夹角的余弦的坐标公式直接计算即可得解.

UUUUUU_

【详解】cosZPOQ=cos(/UOtmP,uouieflx)=OPOO3-8J5

故选：D.

13.B

【分析】先求出两个端点A(0,0),8(l,l),设M的横坐标为占=1T,纵坐标为必=-分+1,进一步确定

两=a-九1一孙从而求出加=仅,万一孙求出।颉卜忙_鼻=卜一、K得到答案.

【详解】“力=一炉+2%在［0』上的两个端点分别为4(0,0),3(1,1),

设M的横坐标为3，纵坐标为必，贝|%=0-4+1-2=1-2，

=-^+2^=-(l-A)2+2(l-2)=-l+2A-A2+2-2A=-Z2+l,

OZV=ZOA+(l-/l)OB=/l(0,0)+(l-/l)(l,l)=(l-/l,l-2),

故MN=(1--4)-(1-4,-力2+1)=(0,%_力)，0WXW1,

所以W叫=*-4=

当彳=；时，等号成立，

故实数上的取值范围为\+②]

故选：B

14.C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.

【详解】因为£石是非零向量，

若〃_1石,贝I〃1=()'

所以卜+泅=+=y/a2+2Aa-b+

口一昨M研=4a-2Aa-b+^b=y/a+A2b，

所以对于任意的;leR,都有口+/IB卜归-彳目成立，故充分性成立；

若对于任意的/LeR,都有|£+花卜归-幽成立，

则口+与[=口一可，BPa+2Aa-b+=a-2Aa-b+A2b'

所以2几£%=0,所以£Z=O,所以故必要性成立；

所以"Z’B"是''对于任意的XeR，都有卜+44=归-24成立”的充要条件.

故选：C

15.C

【分析】根据线性运算判断AB；根据数量积的运算律判断CD.

【详解】当Z'B时，|2+4=忖-4，故A错；

当Z与办反向共线时，且同＞|@时，曰+q=忖-忖，故B错；

故选：C.

16.B

【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得.

【详解】向量次=(1,5),b=(0,3),则£-加=(1,2),

所以旧-5|=JT+22=5

故选：B

17.D

【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求得他耳二g,(瓦进而伍©=］或g,结合数量

积的定义计算即可求解.

【详解】由题意知，7石=丽8$(26,尻可附COS(反。,

又卜了)、(瓦司£［0,兀］,所以,,4g,(瓦,=£,

则依c)=］或g,

故^^=0或商•(?=|a||c|cos^a,c^=lxlxcos1=-f,

故选：D

18.D

【分析】根据平面向量垂直的充要条件即可求解.

【详解】因为卸=(1,2),方=(%,4),且■_/.方,

所以五石=%+8=0，解得：％=-8,

故选：D.

19.D

【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】设小正方形的边长为1,

建立如图所示的平面直角坐标系，

因为OwR,b)<7T,所以R,5)=135°.

故选：D

20.-6

【分析】根据向量的坐标运算即可求解.

【详解】

以圆心o为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线作为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设

A（a,b）,D（0,c）,

根据题意得AD=（-a,c-b）,CB=（-2,0）,

所以诟•丽=2a,

因为-3WaW3,所以当。=-3时，而•丽取得最小值为-6,

故答案为：-6.

21.-1

【分析】建立如图所示坐标系，由图可得2及的坐标表示，后由数量积的坐标形式下的计算公式可得

答案.

【详解】由图及网格纸上小正方形的边长为1,

可得E（0,l）,F（2,2）,G（2,3）,H（3,0）.

贝|忑=丽=（2,1）,a-b=GH=（1,-3）.

贝°守•（乙-B）=2_3=_l.

故答案为：-1.

OHx

22.2-3

【分析】如图，以A为原点，所在的直线分别为XD轴建立平面直坐标系，然后结合已知条件可求

出点尸的坐标，进而可求得答案.

【详解】如图，以A为原点，4氏/⑦所在的直线分别为羽丫轴建立平面直坐标系,

则A(0,0),B(273,0),C(2V3,1),£»(0,1),

所以通=(2y/3,0),AD=(0,1),

因为Q=g通+正，所以Q=g荏+而=g(2相,0)+(0,1)=(后,1),

所以网=反1=2,P(V3,1),

所以西=(-石，-1),PC=(73,0),

所以西•无=-3.

故答案为：2,-3

23.4[-1,0]

【分析】利用向量的线性运算，再利用向量的数量积运算即可求出结果.

【详解】

①由已知长方形ABC。，AB=2AD^2,AB-AC=AB-^AB+BC]=AB2+AB-BC=4+Q=4,

②因为点P为CD上的动点，可设丽=2方心，/te[0,l],则正=(1-2)加,

所以Q.闻=(而+次)(定+闻)=(而+20).[(1_/1)成+函]

=(l-2)A5-DC+A5-CB+2(l-2)ZjC2+2Z)C-CB=0-l+4/l(l-2)+0

=-4A2+42-l=-(2/l-l)2,

因为2e[0,1],所以一(24-1)2e[-1,0],

故丽•丽的取值范围是[一1,0].

故答案为：①4；②[—1,0].

24.②③

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标运算判断①，利用向量模的坐标运算结合不等式的性质

判断②，利用向量夹角的坐标求法结合同角三角函数的基本关系判断③，举反例判断④即可.

【详解】因为AD=ED=2,正方形ABCD和正方形，

所以ED=4,由勾股定理得PE=2行，故HE=2旧,CH=2,

CE=4=2DE,故得。是CE的中点，且作CTLEH,

由等面积公式得2x4=2也xCT,

解得CT=^,由勾股定理得=8叵

55

如图，以E为原点，以E”为x轴，以跖为y轴建立平面直角坐标系,

所以E（0,0）,F（0,2布）,c（W，孚），。（苧，半），

对于①，故丽=（0,2后），丽=（-

故函.丽=（一亭）x2岔+0=一4,故①错误，

对于②，设Q（x,y）,因为。是正方形跳上的动点，

故xe[t）,2问,ye[（）,2⑸，JfjJx2e[0,20],y1e[0,20],

故x?+y?e[0,40],J厂+e^0,2-\/10],

由题意得园=（尤,y）,故■卜G+y2平,2啊,

故|阿卜2M成立，可得②正确,

对于③，作ASLGF,由等面积公式得2x4=2宕xAS,

解得AS=迪，由勾股定理得尸5=马叵，故GS=^^,

555

故A(,而AG=2AB,故8是AG的中点,

而G（2乔,2行），故8（等,空）,

所以而=（0,-2遥），

而丽与丽的夹角为。，

0+(-2A/5)X(-)

4iVio

故cos0=

2A/5X2A/2V10-10

而，«0,可，故sin6>0,可得（叵y+sin。6=1,

_3®

解得sin。=也（负根舍去），得至口2皿=吗=2=3,故③正确,

10cos。y/10

lo-

对于④，假设。运动到H（26,0）,P运动到

此时Q（2如,0）,，故再=（

西=(2技0),故而质=0+半x26=16>12,

故丽•诙的最大值不为12,则④错误.

故答案为：②③

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，结合等面积法求出各个点的

坐标，然后把动点视作特殊定点，利用向量积的坐标运算求值，否定给定的命题即可.

25.0

【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.

22

【详解】由题意可知，CPCB=(2CA-CB)CB=2CA.CB-CB=2x2x2xcos60°-2=0.

故答案为：0

26.2

【分析】根据日与B垂直，数量积求解参数x的值.

【详解】由1=（x+l,2）石=（2,—3）,若乙与石垂直，则2（x+l）-2x3=0,解得x=2.

故答案为：2.

【分析】设向量6的坐标为（x,y）,由向量数量积的坐标公式、模的计算公式列式即可求解.

4f4

3x+4y=0—x=—

【详解】设向量5的坐标为（尤,y）,由题意，解得5或者§

所以向量5的坐标为

434_3

故答案为:或

5555，-5

28.-1

uunuuniuum

【分析】利用向量的线性运算得到+BD=AD-AB＞再利用数量积的定义及运算，即可

求出结果.

【详解】因为就=2而，所以衣=血+而=病+；而，又而=而_超，

所以Q・丽=(荏•(莅_荏)=；砺•砺—砺2+；而2,

-----1711

又菱形ABCD的边长为2,ZBAD=6(T9所以AP-5D=—x2x2cos2—4+—x4=—1,

232

故答案为：-1.

29.02也,或-2及

【分析】建立平面直角坐标系得到入刃的坐标可得("孙(日+内设i=(x,y),根据同=1,且

a-c=b-c.建立关于x，y的方程组求出x，y可得"的坐标，再由7"的坐标运算可得答案.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则1=。,3),3=(3,1),

所以("孙,+5)=(-2,2).(4,4)=-8+8=0；

22

设忑=(x,y),则X+y=1,

Aa-c=b-c，所以且x+3y=3x+y,

亚

x=---x=

；：：；：「'，解得，22

由或＜

6V2

y=

2

,或「

所以五

Iz

所以藐=*+3x?=2Z或a—专一3x与=一2形.

故答案为：①0;②20,或-20.

30.124近

【分析】(1)根据数量积的定义求解即可；

(2)利用向量的减法运算化简，再由数量积的运算法则求模即可.

【详解】由已知可得互•丽=|园同cos60°=6x4xg=12,

|CA+CB|=|C4+AB-AC|=|AB-2困=J(屈-2AC)2

=\lAB2+4AC2-4AB-AC=742+4x62-4x4x6xcos60°=4币-

故答案为：12；4手

31.7

【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量1=(—1,2)石=(%1),可得Z+B=(-1+"Z,2+1)=(〃L1⑶

因为Z+否与Z垂直，可得(Z+B>£=(机一l)x(-l)+3x2=0,解得m=7.

故答案为：7.

32.(1)2

(2)平行，理由见解析

⑶2

【分析】⑴由已知，得@+方=9,即a+2—B+埠=9,代入|；|=1,山=2,即可得到的值；

(2)法1,设£与坂的夹角为。，由cos6=l,可得。=。，则£与坂平行；法2,由|“+。区|。|+|力|,当且

仅当£与另共线时等号成立，又|%+昨3,|G|+1|=3,所以£与否平行；

(3)法1,由(2)及已知条件得：b=2a>由(兄a+B)・(a+B)=12,可得3(2+2)=12,即可求得2的

值；法2,由(花+B).(£+5=12,得如。沈.石+£%+B2=12，则4+24+2+4=12,即可求得几的值.

【详解】(1)因为£=(1,0),所以|；|=1,

因为|£+'=3,|笳=2,所以(Z+杨2=9,

所以/+2/+片=9,所以a+27B+埠=9,

所以1+223+4=9，所以79=2.

(2)平行，理由如下:

解法1：设£与坂的夹角为。，cose==*=J；=i,

\a\-\b\1x2

因为8£[0,兀],所以6=。，则£与(平行.

解法2：因为|；+沁山+山，当且仅当々与各共线时等号成立，

又因为|2+昨3,g+1昨3,所以7与％共线,即£与B平行.

(3)解法1：由(2)及已知条件得：b=2a，

因为(2°+3).(0+石)=12,|a|=1,

所以(几£+2力•(2+2力=3(2+2)/=3(4+2)=12，

所以2=2.

解法2：因为(彳。+石).(a+B)=12,

所以A,a+Aa-b+a-b+b=12，

因为|a|=l，|b|=2,a-b=2

所以彳+2彳+2+4=12,所以2=2.

33.⑴团=|昨a；

一一71

(2)〈a,6〉=§.

【分析】(1)根据给定条件，利用数量积的定义、数量积的运算律求解即可.

(2)利用向量的运算律求出小6,再利用夹角公式计算即得.

【详解】(1)单位向量可的夹角为年，则/工=|引lB|cosg=-g,

所以除|=/丁+zL4冢g=,4+1+2=近，

\b|=J%?+4r+121.最=V9+4-6=布.

—»—»—►—»—»—»2—*2—►—►]7

(2)由(1)知，。心=(2,—g),(3,+24)=6,—2^+,.e2=6-2-万=万,

7

因此COS&,B〉=a-b_21,而0〈〈〃,石〉工兀

1。11很1A/7xV72

所以五与5的夹角值,历=三.

34.(1)Q./?=6，+。卜5

(2)m=1

(3)m=0

【分析】(1)直接利用数量积的坐标运算求解3B，先求出Z+B的坐标，再求其模;

(2)先求出20+5的坐标，再由两向量平行列方程求解；

（3）利用向量的夹角公式直接列方程求解即可.

【详解】（1）当〃=2时，5=（1,2）,

所以〃.石=2*1+2、2=6,〃+6=（3,4）,

所以卜+*，?彳=5；

（2）因为H=（2,2）,石=（1,m），所以2日+5=（5,4+加），

因为2打十方与5平行，所以5根=4+机，解得机=1；

（3）因为五与5的夹角为45°,1=（2,2）,5=（1,根）,

/一八。•石2+2mV2

所以=第=20xE=y'

所以4+4m=4\/1+7〃2，解得加=0.

35.（1）72;

【分析】（1）先求ZZ，然后直接求忖-2可的平方即可得解；

（2）利用向量的运算律，将醺•（丽-丽）转化为关于f的二次函数，然后求出最值即可.

【详解】⑴因为同=点，忖=1,6,5=：,

a-b=|fl[-|z?|cosa,b=42xlxcos=1,

因为归一2同2=（万一25）2=/-415+4^=（0）2—4x1+4x12=2

所以卜-2M=夜，

（2）由（1）知，OA-OB=ab=l，

因为而•（而一瓦）=（而一9）•（而—说）=卜函一次）•,为一通）

=^t2-t）OA-（t-l）OAOB

=2（r2-r）-（r-l）

=2产一3/+1

』一耳」」

I88

所以当t=:时，湎♦（诙-砺）的最小值为-g

36.（D（

【分析】（1）根据坐标运算得到〃1-力，然后根据垂直列方程，解方程即可;

（2）利用数量积的公式求夹角即可.

【详解】（1）ma-b=（3m-l,-2m）,

因为a_1_（机〃一万），所以Q•（机〃一》）=3（3加一1）—（-2加）=0,

3

解得机=行.

（2）若根=一2,贝=-2）,

/r八a-b5^2

所以3（仍）=陋=而花=可,

因为cos(a®£[0,兀],所以cos卜,®=:.

37.(l)a-S=10,|<2+Z?|=5A/2

(2)-2/

25

【分析】（1）根据向量的坐标运算可得％=（3厂2）石=（4,1）,即可由数量积的坐标运算以及模长根式求解,

（2）根据夹角根式即可求解.

【详解】（1）由2=3,-2或/=4冢+蜻，1=（1,0）环=（0,1）可得

a=（3,-2）,^=（4,1）,a+B=（7,—1）

所以。.万=12-2=10,卜+©=，2+(—1)2=5^2

(2)a—b=(-1,-3),k_石|=J(—+(_3)2,

〃_(a+勾•(a-勾_a"-b