反比例函数的图象及性质（原卷版+解析）

题型二反比例函数的图象及性质

【要点提炼】

一、【反比例函数的概念】

一般地，函数y=K（k是常数，kwo）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成

X

y=的形式。自变量x的取值范围是xWO的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

二、【反比例函数的图象】

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四

象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量XW0,函数yWO,所以，它的图象与x轴、y

轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

三、【反比例函数k的几何意义】

下列图形中反比例函数表达式为y=幺，其中涉及两个反比例函数的，较大的k用须表示，较

5=s?=S梯ADCB

差量图形

]5i

二左大一）=

s=C小k大一k小Sk大-k小

s=

2

综合图形

y

ci1v\A

四、【反比例函数的性质】

反比例

函数

k的符号k>0

①x的取值范围是xWO,①x的取值范围是xWO,

y的取值范围是yW0；V的取值范围是ywo；

性质②当k>0时，函数图象的两个分支分别②当k<o时，函数图象的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

【专题训练】

选择题（共10小题）

1.（2020•兰州）已知点A（xi,ji）,B（尤2,J2）在反比例函数y=—，的图象上，若则

下列结论正确的是（）

A.Xl<X2<0B.X2<Xl<QC.0<Xl<X2D.0<X2<Xl

2.（2020•阜新）若A（2,4）与3（-2,a）都是反比例函数y=^（50）图象上的点，则。的值

是（）

A.4B.-4C.2D.-2

3.（2020•宁夏）如图，函数yi=x+l与函数”=|的图象相交于点M（1,加），N（-2,九）.若yi

A.x＜-2或0＜尤＜1B.x＜-2或x＞l

C.-2＜尤＜0或0cxe1D.-2＜x＜0或x＞l

4.（2020•潍坊）如图，函数y=fcv+b"W0）与（相W0）的图象相交于点A（-2,3）,3（1,

-6）两点，则不等式的解集为（）

B.-2＜尤＜0或x＞l

C.x＞lD.尤＜-2或0＜尤＜1

5.（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=［（尤>0）与尸尤-1的图象交于点尸（a,b）,

11

则代数式一一三的值为（）

ab

11i1

A.-77B.一C.--rD.一

2244

6.（2020•山西）已知点A（xi,yi）,B（及，>2）,C（x3,>3）都在反比例函数y=-（fe<0）的图

象上，且xiVx2VoVx3,则yi,yz,”的大小关系是（）

A.y2>yi>y3B.y3>”>yiC.yi>y2>y3D.”>yi>y2

417

7.（2020•滨州）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线>=?上，且A8〃x轴，点C、。在x

轴上，若四边形A5CD为矩形，则它的面积为（）

A.4B.6C.8D.12

8.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形A5CD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点

E是无轴上一点，连接AE.若A。平分NOAE,反比例函数y=冷（左>0,x>0）的图象经过AE

上的两点A,F,且AF=EF,ZvlBE的面积为18,则人的值为（）

A.6B.12C.18D.24

9.（2020•黔东南州）如图，点A是反比例函数>=（（%>0）上的一点，过点A作AC_Ly轴，垂足

为点C,AC交反比例函数尸1的图象于点B,点尸是x轴上的动点，则△如B的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

10.（2020•黔西南州）如图，在菱形A50C中，AB=2,ZA=60°,菱形的一个顶点。在反比例函

数N20）的图象上，则反比例函数的解析式为（）

3V3V3「3n乃

AA.y=-------BR.y=------C.y=----D.y=—

yXJ%yXJX

二.填空题（共5小题）

11.（2020•大连）如图，在平面直角坐标系中，正方形A8C。的顶点A与。在函数尸"x>0）的

图象上，ACLx轴，垂足为C,点B的坐标为（0,2）,则上的值为.

k

12.（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数（x>。）的图象上，点8在x轴负半轴上，直线

AC1

AB交y轴于点C,若荔=AAOB的面积为6,则k的值为_______

BC2

13.（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系尤0y中，四边形048c为矩形，点A、C分别在x

轴、y轴上，点8在函数yi=g（x>0,左为常数且左>2）的图象上，边与函数（尤>0）

的图象交于点D则阴影部分8c的面积为.（结果用含左的式子表示）

14.（2020•辽阳）如图，在△ABC中，A8=AC,点A在反比例函数*>0,尤>0）的图象上，

点、B,C在％轴上，OC=歌B,延长AC交y轴于点。，连接2。，若△2C。的面积等于1,则左

的值为.

15.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形43。的边AB在y轴上，点C坐标为（2,

-2）,并且AO：BO=l：2,点。在函数y=（（x>0）的图象上，则上的值为.

16.（2020•济南）如图，矩形0ABe的顶点A,C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点3（2,2巡），

反比例函数y=（（x>0）的图象与8C,A8分别交于。，E,BD=今

（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；

（2）写出。E与AC的位置关系并说明理由；

（3）点P在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判

断点G是否在反比例函数图象上.

17.（2020•盘锦）如图，A、8两点的坐标分别为（-2,0）,（0,3）,将线段A8绕点8逆时针旋

转90。得到线段2C,过点C作。，。3,垂足为。，反比例函数y=5的图象经过点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；

（2）点尸在反比例函数y=^l勺图象上，当△PC。的面积为3时，求点P的坐标.

18.(2020•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=or-3a(a=0)与x轴、y轴分别相交于

A、3两点，与双曲线产擀(%>°)的一个交点为。，且

(1)求点A的坐标；

(2)当S“oc=3时，求〃和女的值.

19.(2020•广州)如图，平面直角坐标系九Oy中，团0A5C的边。。在工轴上，对角线AC,OB交于

点函数y=2(x>0)的图象经过点A(3,4)和点

(1)求人的值和点M的坐标；

(2)求回。42c的周长.

20.(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数

>=看的图象与性质，其探究过程如下：

(1)绘制函数图象，如图1.

列表：下表是尤与y的几组对应值，其中相

1・・・

X•••-3-2-1一5123

2

y…212442m±2・・・

33

描点：根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象.请你把图象补充完整；

(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质；

①；

②；

(3)①观察发现：如图2.若直线y=2交函数y=3的图象于A,B两点，连接0A,过点8作

\x\

0A交x轴于C.则S四边形OABC=；

②探究思考:将①中“直线y=2”改为“直线>=〃(〃>0)”,其他条件不变，则S四边形OABC=；

③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数(k>0)的图象于A,8两点，连接。4,过点B

图1图2

21.(2020•淄博)如图，在直角坐标系中，直线yi=or+b与双曲线(ZW0)分别相交于第二、

四象限内的A(m,4),B(6,n)两点，与x轴相交于C点.已知OC=3,tan/ACO=1

(1)求yi,>2对应的函数表达式；

(2)求△AOB的面积；

(3)直接写出当x<0时，不等式办+匕>5的解集.

y个

题型二反比例函数的图象及性质

【要点提炼】

一、【反比例函数的概念】

一般地，函数y=8（k是常数，kwo）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成

X

丁=心3的形式。自变量x的取值范围是XWO的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

二、【反比例函数的图象】

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四

象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量XWO,函数yWO,所以，它的图象与x轴、y

轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

四、【反比例函数k的几何意义】

下列图形中反比例函数表达式为丁=工，其中涉及两个反比例函数的，较大的k用七大表示，较

S1=S2S^AB。=S梯ADCB

差量图形

综合图形

s阴=s矩咽S=3\k\s=k±-k„

四、【反比例函数的性质】

反比例

函数y=X左。0)

k的符号k>0k<0

A

A

y

图象------------T---------------------►►

------------.C?x0------X

①x的取值范围是xWO,①x的取值范围是xWO,

y的取值范围是yWO；V的取值范围是ywo；

性质②当k>0时，函数图象的两个分支分别②当k<0时，函数图象的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y

随X的增大而减小。随X的增大而增大。

【专题训练】

选择题(共10小题)

1.(2020•兰州)已知点A(xi,yi),B(x2,y2)在反比例函数y=—亍的图象上，若则

下列结论正确的是()

A.Xl<X2<0B.X2<Al<0C.0<Xl<X2D.0<X2<Xl

【解答】解：：-3<0,

...图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随尤的增大而增大，

又,；yiVy2V0,

图象在第四象限，

.'.0<Xl<X2,

故选：C.

2.(2020•阜新)若A(2,4)与8(-2,a)都是反比例函数y=5(k/0)图象上的点，则a的值

是()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】解：:A(2,4)与5(-2,〃)都是反比例函数y=W图象上的点，

.•.Z=2X4=-2m

'.a=-4,

故选：B.

3.(2020•宁夏)如图，函数尹=无+1与函数”=］的图象相交于点M(1,比)，N(-2,n).若yi

A.x<-2或0<无<1B.x<-2或x>1

C.-2<x<0或0<x<lD.-2<x<0^x>l

【答案】D

【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时,

所对应的x的取值范围为-2（尤＜0或x＞l,

4.（2020•潍坊）如图，函数尸质+b（ZW0）与尸子（机#0）的图象相交于点A（-2,3）,B（1,

-6）两点，则不等式依+6＞与的解集为（）

B.-2<尤<0或彳>1

C.x>lD.尤<-2或0«1

【答案】D

【解析】解:•函数y=fcc+b(%W0)与y=^(m丰0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,-6)

两点,

，不等式kx+b＞号的解集为：xV-2或OVxVl,

故选：D.

5.（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（（尤＞0）与尸尤-1的图象交于点P（a,b）,

11

则代数式/萨值为（）

11

A.一:B.C.一D.-

24

【答案】C

【解析】解:

法一：由题意得,

_4

y=x，解得,（舍去）,

y=x-1

1+V17V17-1

点尸([-,-------),

2

即：呼，仁宇.

t11221

"ab~1+V17V17-1—4；

法二：由题意得，

4

函数(x>0)与y=x-1的图象交于点P(a,b),

•*ab4,b~~〃-1,

.11b-a1

9abab4

故选：C.

6.（2020•山西）已知点A（xi,yi）,B（%2,”），C（x3,>3）都在反比例函数y=-（无<0）的图

象上，且2VoVx3,则yi,”，*的大小关系是（）

A.y2>yi>y3B.”>y2>yiC.yi>y2>y3D.y3>yi>y2

【答案】A

【解析】解：•••反比例函数y=］（左<0）的图象分布在第二、四象限，

在每一象限y随x的增大而增大，

而X1<X2<0<X39

*,.^3<0<yi<y2.

即y2>yi>y3.

故选:A.

7.（2020•滨州）如图，点A在双曲线上，点8在双曲线>=竽上，且AB〃x轴,点。、。在X

轴上，若四边形A3C0为矩形，则它的面积为（）

y

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】解：延长BA交y轴于E,则轴，

•.•点A在双曲线上，

四边形AEOD的面积为4,

:点2在双曲线线尸?上，且AB〃x轴，

四边形BEOC的面积为12,

矩形ABC。的面积为12-4=8.

故选：C.

8.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形A8C。的对角线AC的中点与坐标原点重合，点

E是尤轴上一点，连接AE.若平分/OAE,反比例函数y=（（%>0,x>0）的图象经过AE

上的两点A,F,且△ABE的面积为18,则上的值为（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解:如图，连接BD,OF,过点A作⑷VLOE于M过点/作于M.

9：AN//FM,AF=FE,

:・MN=ME,

：.FM=^ANf

VA,方在反比例函数的图象上,

k

S/\AON=S/\FOM=2，

11

：.-ON*AN=

22

1

：.ON=^OM,

：.ON=MN=EM,

1

：.ME=

:•S/\FME=qS/\FOE,

*：AD平分NOAE,

：.ZOAD=ZEAD,

・・•四边形ABC。是矩形，

：.OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=NDAE,

C.AE//BD,

••S/\ABE=S/^AOEf

**•S/\AOE=18,

\UAF=EF,

.1

••SAEOF=2s△AOE=9,

.i_

••S/\FME="QS/\EOF=3,

S/\FOM=S/\FOE~S&FME=9~3=6=2,

：.k=12.

故选：B.

9.（2020•黔东南州）如图，点A是反比例函数（尤＞0）上的一点，过点A作ACLy轴，垂足

为点C,AC交反比例函数的图象于点2,点尸是x轴上的动点，则△用B的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】解：如图，连接。A、OB、PC.

VACXytt，

・11

・・S^APC=S丛AOC=2X|6|=3,S/\BPC=S/\BOC=2x|2|=1,

••S/\PAB=S/\APC~S/\BPC=2.

故选：A.

10.（2020•黔西南州）如图，在菱形ABOC中，AB=2,ZA=60°,菱形的一个顶点。在反比例函

k

数厂G（k¥0）的图象上，则反比例函数的解析式为（）

3V3V3„3„V3

AA.y=-------BR.y=------C.y=----D.y=—

JXyXJXyX

【答案】B

【解析】解：；在菱形ABOC中，ZA=60°,菱形边长为2,

AOC=2,ZCOB=6Q°,

过C作CE_LOB于E,

则NOCE=30°,

-1

：.OE=^OC^1,CE=A/3,

.,.点C的坐标为（-1,V3）,

•.•顶点c在反比例函数V的图象上，

:.痘=士,得上=一百，

即y=当，

故选：B.

二.填空题（共5小题）

11.（2020•大连）如图，在平面直角坐标系中，正方形A2C£）的顶点A与D在函数y=三（尤>0）的

图象上，轴，垂足为C,点2的坐标为（0,2）,则1的值为8.

【答案】8

【解析】解：连接80,与AC交于点。'，

:四边形ABCD是正方形，AC_Lx轴，

：.BD所在对角线平行于x轴，

,:B（0,2）,

：.O'C=2=BO'=AO'=DO',

.,.点A的坐标为（2,4）,

；.Z=2X4=8,

故答案为：8.

12.（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y=[（x>0）的图象上，点2在x轴负半轴上，直线

AC1

A8交y轴于点C,若==AAOB的面积为6,则k的值为6

BC2

【答案】6

【解析】解：过点A作ADLy轴于，则△ADCs^gOC,

.DCAC1

••OC~BC~2

4c1

—=一，/\AOB的面积为6,

BC2

•・S-oc=2^LAOB=2，

・_1_

♦・S〉ACD=qS〉AOC=1，

・•・△AOD的面积=3,

根据反比例函数上的几何意义得，||fc|=3,

・・・因=6,

Vfc>0,

・•・上=6.

故答案为：6.

13.（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系尤Oy中，四边形0nBe为矩形，点A、C分别在x

轴、y轴上，点8在函数yi=（（x>0,左为常数且左>2）的图象上，边AB与函数（（x>0）

的图象交于点。，则阴影部分。D8C的面积为k-1.（结果用含％的式子表示）

【答案1

【解析】解：•.•。是反比例函数月=［（>>0）图象上一点

1

・•・根据反比例函数k的几何意义可知：△A。。的面积为二x2=1.

2

..•点2在函数为=：（x>0,左为常数且左>2）的图象上，四边形042c为矩形，

...根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABC。的面积为k.

...阴影部分ODBC的面积=矩形ABC。的面积-△40。的面积=左-1.

故答案为：k-i.

14.（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC,点A在反比例函数尸会1>0,尤>0）的图象上，

点、B,C在％轴上，OC=匏B,延长AC交y轴于点O,连接2。，若△2。的面积等于1,则左

的值为3

【答案】3

【解析】解：作AE，3c于连接。4,

：AB=AC,

•・CE=BE,

.1

.*OC=能3,

1

•・OC=^CE,

JAE//OD,

,.△COD^ACEA,

SA.CPACErj

=(—)2=4,

S〉CODOC

1

・•/\BCD的面积等于1,OC=jOB,

・11

•S/\COD=4s/\BCD=4,

1

*.SACEA=4X=1,

7q

1

・,oc=抨，

.11

•SAAOC—2s△CEA=2，

,•S丛AOE=)+1=1，

1

SAAOE=/(%>0),

,・k=3,

故答案为3.

y

15.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形A8C。的边在y轴上，点C坐标为（2,

-2）,并且AO：BO=l：2,点。在函数y=［（尤＞0）的图象上，则:的值为2.

【解析】解：如图，：点C坐标为（2,-2）,

矩形OBCE的面积=2X2=4,

VAO：80=1：2,

矩形AOE£＞的面积=2,

•・,点。在函数（x＞0）的图象上，

:・k=2,

16.（2020•济南）如图，矩形。42c的顶点A,C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点8（2,2次）,

反比例函数y=5(x>0)的图象与8C,AB分别交于。，E,BD吟

(I)求反比例函数关系式和点E的坐标；

(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；

(3)点E在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判

断点G是否在反比例函数图象上.

【解析】解：(1),:B(2,2V3),则BC=2,

1

而BD=2»

3

：.CD=2-^=^,故点0(一，2V3),

222

将点。的坐标代入反比例函数表达式得：2V3=|,解得女=3b，

故反比例函数表达式为>=乎，

oF53A/3

当冗=2时，y=,故点E(2,-----)；

22

3广3V3「

(2)由(1)知，D2V3),点E(2,——)，点8(2,2遮),

22

则MJ空，

1V3

BD耳1EB31BD

BC~2~4AB~2^3—4一BC'

：.DE//AC；

(3)①当点/在点。的下方时，

当点G在点尸的右方时，如下图,

过点尸作轴于点H,

,/四边形BCFG为菱形，则BC=CF=FG=BG=2,

在RtZXOAC中，0A=BC=2,OC=AB=2后

则tan/OCA=器=奈=字，故NOCA=30°,

则FH=1FC=1,CH=CF・COSN0CA=2X字=百，

故点尸(1,V3),则点G(3,V3),

当x=3时，＞=学=g，故点G在反比例函数图象上；

②当点尸在点C的上方时，

同理可得，点G(1,3V3),

同理可得，点G在反比例函数图象上；

综上，点G的坐标为(3,V3)或(1,3V3)都在反比例函数图象上.

17.(2020•盘锦)如图，A、8两点的坐标分别为(-2,0),(0,3),将线段A8绕点8逆时针旋

转90°得到线段3C,过点C作垂足为D反比例函数y=［的图象经过点C.

(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；

(2)点尸在反比例函数y=^l勺图象上，当△PC。的面积为3时，求点P的坐标.

【解析】解：（I）•・•将线段A5绕点3逆时针旋转90°得到线段BC,

：.AB=BC,ZABC=90°,

'：CD±OB,

：.ZCDB=ZAOB=ZABC=90°,

AZABO+ZCBD=ZCBD+ZDCB=90°,

・•・ZABO=ZDCB,

:•△ABOm/\BCD(AAS),

:・CD=OB=3,BD=OA=2,

：.OD=3-2=1,

・・・C点的坐标为(3,1),

・••左=3X1=3,

...反比例函数的解析式为：y=p

3

(2)设P(一，m),

m

・・・CZ)_Ly轴，8=3,

1

由△PCO的面积为3得：-CD^m-1|=3,

1

x3|m-1|=3,

Am-1=±2,

，根=3或m=-1,

33

当m=3时，一=1,当m=-1时，一=—3,

mm

18.（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线>=依-3。（〃W0）与I轴、y轴分别相交于

A、8两点，与双曲线y=](x>0)的一个交点为C,MBC=|AC.

(1)求点A的坐标；

【解析】解：(1)由题意得：^y=ax-3a(〃W0)中y=0,

BPax-3a=0,解得x=3,

・••点A的坐标为(3,0),

故答案为(3,0).

(2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示:

：.ZBCM=ZBAO,S.ZABO=ZCBO,

MBCMs/\BAO,

BCCM一1CM

--=---,即：-=---，

BAAO33

：.CM=1,

又SMOC=*OZ,CN=3

rr1

即：一x3xCN=3,

2

:・CN=2,

・・・C点的坐标为（1,2）,

故反比例函数的左=1X2=2,

再将点C（1,2）代入一次函数>=依-3。（〃W0）中,

即2=〃-3m解得a=-1,

・••当SAA0C=3时，a--1,k—2.

19.(2020•广州)如图，平面直角坐标系犬Oy中，团。45C的边0。在I轴上，对角线AG05交于

点函数y=2(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M.

(1)求左的值和点M的坐标；

(2)求回。43c的周长.

:.k=n,

•.•四边形OABC是平行四边形,

：.AM=MC,

.,.点M的纵坐标为2,

•.•点M在尸竽的图象上,

：.M(6,2).

(2)'：AM=MC,A(3,4),M(6,2)

：.C(9,0),

；.0C=9,04=5/32+42=5,

平行四边形。42c的周长为2X(5+9)=28.

20.(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数

>=看的图象与性质，其探究过程如下：

(1)绘制函数图象，如图1.

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=1

1

X-3-2-1一亍12