广东省惠州市五校2024-2025学年高一年级下册第二次联考数学试卷（解析）

广东省惠州市五校2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试卷

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数z=-7—6i（i是虚数单位）的虚部为（）

A.-7B.6C.-6D.-6i

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合复数的概念，即可求解.

【详解】根据复数的概念得，复数z=—7—6i的虚部为-6.

故选：C.

2.如图，是一个平面图形的直观图，其中一。AZ'是直角三角形，ZOAB=90°，

o'A=、/5，则原图形的面积是（）

B五

C.2应D.8A/2

4

【答案】C

【解析】

【分析】还原△QW,求出其边长即可求解直角三角形的面积.

【详解】如图，△OAB的直观图是O'AB',则。4=ON'=0,08=20®=4,

则△。钻的面积为工。4•。3=2J5.

3.在VABC中,点E在AB边上，且满足AE=5E,则CE=(

1-1-11_1_-1_

A.-CB+CAB.——CB——CAC.-CB+-CAD.-CB+-CA

222222

【答案】C

【解析】

【分析】根据比例关系可得=再以为基底表示出向量CE即可.

—1-

【详解】由AE=5E可得AE=—AB，

2

所以CE=CA+AE=6+工AB=C4+L(C3—CA)=+.

22、>22

故选：C.

4.VABC中，已知45=30=3,4。=2,贝|cos3=()

7878

A.-B.-C.——D.一一

9999

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理求解.

【详解】因为在VA3C中，已知45=30=3,AC=2,

砂+3。2一AC?32+32-22_7

所以cosB=

2BABC2x3x3~9

故选：A.

5.一个圆台的母线长为曲，上、下底面的半径分别为2,5,则圆台的体积为（）

A.26兀B.C.78兀D.86兀

【答案】A

【解析】

【分析】先由勾股定理求出圆台的高，然后由圆台的体积公式即可求解.

【详解】圆台高为“3—（5—2）2=2,所以圆台的体积为gx2兀x（22+52+2x5）=26限

故选：A.

6.一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔8在南偏东30°，行驶1小时后，船到

达C处看到灯塔8在南偏西60°，此时测得船与灯塔的距离为3oGkm，则X的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得三角形ABC为直角三角形，然后由正弦定理可得AC=60,据此可得答案.

【详解】如图，由题意知，在三角形ABC中N84C=90°—30°=60°,NAC3=90°—60°=30°,

则ZABC=180°-ZACB-ABAC=90°.所以三角形ABC为直角三角形，

又3C=30百，AC=———=30省=60,故》=g=3（小时）.

sinABACsin6020

7.设“，w是两条不同的直线，。，分是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若直线S不平行于平面e,则a内不存在与加平行的直线B.若加//",〃z//tz,则〃//a

C.若mua,nu/3,则相，“是异面直线D.若m//a,mL/3,则

【答案】D

【解析】

【分析】对于ABC举反例即可判断；对于D,由线面平行的性质、面面垂直的判定即可判断.

【详解】对于A,若mua,满足直线加不平行于平面a,但此时a内存在无数条与机平行直线，故

A错误；

对于B,若mlIn,mlla,则〃//a或〃ua,故B错误；

对于C,若mua,nu/3,al/,则相，”是异面直线或者平行直线，

若mua,nu/3,a/3=1,贝。〃，”是异面直线或者平行直线或者相交直线，故C错误；

对于D,若mJ/a,则存在/ua,使得机///,因为m_L〃，所以/_L£,

因为/ua,所以tz_L〃，故D正确.

故选：D.

8.已知VA3C是边长为2g的正三角形，EE为VA3C的外接圆。的一条直径，M为VA3C的边上的

动点，则ME.的最大值为()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律由|加。|表示再求出最大值.

126、

【详解】如图，所为VABC外接圆。的直径，。为的中点，则外接圆半径为2G，

则MEI"=—ME.Mk=-(A/0+0E).(M0—0E)=—(|"0|2-|OE|2)=4—|MO|2,

当河为正VA3C边的中点时，|AfO1mhi=1,所以建.月0的最大值为3.

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是()

A.若Z为纯虚数，则z2是实数

B.若i为虚数单位，贝Uj23=i

C.复数-2-i在复平面内对应的点位于第三象限

D.复数学一的共辗复数为2+i

2-1

【答案】AC

【解析】

【分析】利用复数的运算与复数的概念可判断A选项；利用复数的乘方法则可判断B选项；利用复数的几

何意义可判断C选项；利用复数的除法与共轨复数的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，若z为纯虚数，设2=山(。€区,。#0),故z2=一片为实数，A对；

对于B选项，若i为虚数单位，则i23=(i4)5.i3=i3=—i,B错；

对于C选项，复数-2-i在复平面内对应的点的坐标为(-2,-1),位于第三象限，C对；

55(2+i)

对于D选项，—=,\J=2+1,其共软复数为2—i，D错.

2-i(2-i)(2+i)

故选：AC.

10.已知平面向量a=(3,4)力=(7,1),则下列结论正确的是()

A.a+6=(10,5)B.\b\=10\d\

C.al(a-b)D.。与6的夹角为45。

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,a+6=(3,4)+(7,1)=(10,5),A正确,

对于B,同="+4?=5利=々+12=50,故B错误，

对于C,a-(d-b)=a2-d-b=25-(21+4)=0,故a_L(a-6),C正确，

/7\a-b21+4A/2

对于D,COS"/)=H^=5X5应=7，故a与b的夹角为45。，故D正确，

故选：ACD

UL1UULU1UUU1

11.已知正方体43。。一4月£。1的棱长为1,E为线段AA］的中点，AP=AAB+juAD^其中

4,[0,1],则下列选项正确的是（）

A.〃=5时，4P_LED[

B.X='时，4P+PO的最小值为史

42

C./1=〃时，三棱锥R-EBP的体积为定值

D.彳+〃=1时，直线AP与面片2E的交点轨迹长度为也

4

【答案】ABC

【解析】

【分析】取M,N为的中点，当〃=；时，得到点尸在线段上运动，证得和

D.E1＞证得平面44M0,可判定A正确；取得AG=DH=L,连接GH,得到当

4

彳=工时，得到点P在GH上运动，沿G”将平面31CHG旋转到与平面A3CD重合，可判定B正确；

4

取CG的中点E,当4=〃时，得到点P在线段AC上运动，结合力LEBP=%-B*，可判定c正确；连

接5。,454。，交于点K和点L，

当九+〃=1时，得到点尸在线段上运动，证得5。//平面用QE,得到平面用2E1平面

ABD=KL,求得KL的长度，可判定D不正确.

ULUULU1UUU1

【详解】由题意，正方体ABCD—A旦GA的棱长为1，E为线段AAI的中点，且AP=/L4B+〃AQ,

其中4〃e[0,1],

对于A中，取M,N分别为的中点，当〃=工时，可得点尸在线段上运动，

2

如图（1）所示，在正方形ADD14中，因为的中点，可得，

又由A4，平面AD2A，。山匚平面4。24,所以。田工村用，

因为所以2E，平面A31NM,

又因为[Pu平面A31M0,所以4尸，成＞「所以A正确.

对于B中，在4瓦。上分别取点6和点”，使得47=。"=!，连接G3,当

4

当2=1■时，可得点尸在线段GH上运动，

4

直角中，BB[=1,BG=：,可得B[G=dBB；+BG2=:,

如图（2）所示，沿GH将平面与G"G旋转到与平面ABCD重合，得到平面A32c2。，

连接不。，则B?D=QAB；+>£>2=Jg+；产+俨=平,

即87+尸。的最小值为巫，所以B正确.

2

对于C中，如图（3）所示，取CG的中点/，分别连接EEBFIA.AC,

当4=〃时，可得点尸在线段AC上运动，

由AC//EF且AC仁平面BFD[E,所以AC//平面BFDXE,

所以点p到平面BFD.E的距离为定值，即三棱锥尸-的高〃为定值,

又由A3股的面积为定值’所以％~=%*=京四"（定值），所以C正确.

对于D中，如图（4）所示，连接3。，4民4。，交4E2E于点K和点力，

当4+〃=1时，可得点尸在线段上运动，

因为BDH且瓦）.平面BRE,所以5。//平面BRE,

又因为平面耳2E「1平面A5D=KL,所以KL//BD,

由.AEK与，相似，且相似比为1：2,

所以KL=LBD=^,即直线AP与面用2E的交点轨迹长度为变，所以D不正确.

333

综上可得，选项正确的是ABC.

故答案为：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在正方体ABCD—AgCQj中，直线84与直线AC所成角的大小为.

兀

【答案】60°##y

【解析】

【分析】将异面直线所成角转化为相交直线所成角，即可求解.

【详解】因为AC//AG，所以直线34与直线AC所成角为直线34与直线4G所成角,

即/网£或其补角，VA3C］是等边三角形，所以NBAC=60,

所以直线BA与直线AC所成角的大小为60°.

故答案为：60°

13.若圆锥的表面积为16兀，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为.

【答案】区区兀

3

【解析】

【分析】根据圆锥的表面积公式列出方程组，求解出圆锥底面半径『和母线长/,再利用圆锥的高、底面半

径和母线构成直角三角形，通过勾股定理求出圆锥的高〃，最后根据圆锥体积公式计算出圆锥体积.

【详解】设圆锥的底面半径为广，母线长为/,

-兀r+兀/7=16兀,

依题意得〈，解得、r=2

l=3r1=6

设圆锥的高为〃，所以其=J/2_户=,36—4=4近，

..1271.nz16^/2

%锥=§.兀厂.丸=§.4兀•4A,2=--—n-

故答案为：竺亚7r

3

14.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为8cm的正四面体魔方设计一款正方体的

包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最小值为cm.

【答案】476

【解析】

【分析】依题意，若要使正四面体能自由转动，则正方体必须能装下正四面体的外接球，即正方体的最短

棱长就是外接球的直径，作图，根据正四面体的边长求出正四面体的高及外接球的半径，即可得解.

【详解】如图，A—BCD是棱长为8cm的正四面体，

由题意，AD=BD=DC=8cm,设8C的中点为河，底面△BCD的重心为G,

。为外接球的球心，则有底面5CD,

MD=BDC=4百,CG=DG=-MD=—,OA=OC=是外接球半径，

233

在Rt—AG。中，GA=S/AD2-DG2=，

3

在RtzVXTC中，0G=J。。?—GC?=小斤-F，OG+Q4=G4,所以「2_三+。=空,

解得R=2y/6(cm),即正方体的最短棱长为2R=4痴(cm).

故答案为：4^6

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.己知向量。与b的夹角为：，且付=2，W=J5.

(1)求a2的值；

(2)求卜一目的值；

(3)求向量〃与向量。的夹角.

【答案】(1)2

(2)V2

⑶-

4

【解析】

【分析】(1)根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；

(2)根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解；

(3)根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解.

【小问1详解】

因为向量。与人的夹角为，且同=2，W=J5,

则a"=|a||z?|cosa,Z2=2x^2x^-=2-

【小问2详解】

因为向量。与b的夹角为2，且同=2，M=J5,且a.6=2.

可得。卜J(a—b)2=\/a2+b2-2a-b=J|«|2+1^|—2a，b=14+2-4=拒.

【小问3详解】

设向量b与向量。的夹角为。，

(d-b)-aa~-d-b\a[-a-b4-2亚

JT77

因为。6[0,兀],可得e=W，所以向量a—b与向量a的夹角为彳.

16.如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面A8CD为平行四边形，点M、N、。分别是B4、BD、PQ的中

点.求证：

(1)〃平面PC。；

(2)平面昭V。〃平面P8C.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)利用三角形中位线证明MN〃PC即可；

(2)利用中位线证明NQ//PB,结合(1)中结论即可证明.

【小问1详解】

由题意，四棱锥P—ABCD的底面ABC。为平行四边形，点M、N、0分别是以、BD、尸。的中点，

是AC的中点，，儿W〃尸C,

•/PCu平面PCD,W平面PCD,

，MV〃平面PCD；

【小问2详解】

由(1)知上W〃PC,PCu平面P8C,上平面P8C,

〃平面PBC,

为平行四边形，是3。中点，又：。是尸。中点，

...在△尸8。中，NQ//PB,

平面尸BC,NQ<Z平面P8C,二"。〃平面PBC,

■:MNCNQ=N,MN、NQu平面MN。，

/.平面MNQ//平面PBC.

17.如图，在VABC中，NB=30°,D为BC边上一点,豆cosNADC=^~,AD=币.

7

C

(1)求A8的长；

(2)求sinNZMB的值；

(3)若VA3C的面积为%8,求「ACD中A。边上的高.

2

【答案】(1)273

⑵立

14

⑶孚

【解析】

【分析】(1)先利用同角三角函数关系得sinNADB=叵，然后在△A3。中利用正弦定理即可求出;

7

(2)结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可；

(3)方法一：先根据三角形的面积公式求出3C,再在VA3C中，由余弦定理求出AC,再在.ACD中,

由余弦定理求出C。，即可求高；

方法二：先根据三角形的面积公式求出5C,再在△A3。中，利用正弦定理求得应＞=1，进而求得

CD,即可求高.

【小问1详解】

因为cosZADC=,ZADC+ZADB=180°,

7

所以cosZADB=-cosZADC=-

7

所以sinZADB二

AB

在△ABD中，由正弦定理得-----

sin3sinZADB

后X后

所以上r二26

sin31

2

【小问2详解】

sinZDAB=sin(Z5+ZADB)____y_______—_____

27-14

【小问3详解】

方法一：s=-ABBCsinB=—BC=—，所以3c=5,

ABC222

在VABC中，由余弦定理得AC?=AB2+5C2—2AB-5CCOS3=12+25—2x2Qx5x且=7,

2

所以AC=J7,

在，ACD中，由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC=7+CD2-2x77xCDx^^=7,

7

解得CD=4（CD=0舍去），

所以ACD中AD边上的高为CDsinNADC=生包.

7

方法二：SARC=-ABBCsinB=—BC=^，所以3c=5,

ABC222

万

V/X叵

在△ABD中，BDAD八八ADsinZDABT4,

sinZDABsin3sinBsin30

CD=BC—BD=5~L=4,

所以ACD中A£>边上的高为C£>sinNADC=拽］

7

18.如图，在多面体ABCEZ）中，VABC为等边三角形，AZ>//CE,AC，CE,AC=CE=2AD=2.点

E为8c的中点，平面人也），平面ABC

（1）求证：AF_L平面BCE；

2

（2）设点G为BE上一点，且3G=—3E,求二面角B—M—G余弦值.

3

【答案】（1）证明见解析

⑵一姮

17

【解析】

【分析】（1）先根据面面垂直的性质得出CEL平面ABC,再利用线面垂直的判定可证结论;

（2）利用垂直关系找到二面角的平面角，结合余弦定理可求答案.

【小问1详解】

证明：因为平面ACEDJ"平面ABC,且平面ACDE’〕平面ABC=AC,

AC_LCE,CEu平面ACED,

故CE_L平面ABC,

因为"u平面ABC,所以

又VA3C为等边三角形，咒为BC的中点，故

因为CEBC=C,

CE,BCu平面BCE,

故AT，平面BCE

【小问2详解】

由于”，平面5CE,bGu平面BCE,故AELEG,

因为VABC为等边三角形，E为BC的中点，故户,

所以N3FG为二面角8—A/—G的平面角.

因为56=25£=^^,5歹=,5。=1,/郎6=45°，

3