第1章 平行线（类型）-浙教版七年级数学下册考点复习

第i章平行线

3M

优质类型

【类型覆盖】

类型一、平移的性质求阴影

【解惑】如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（）

A.5B.25C.50D.以上都不对

【答案】B

【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可.

【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一

个完整的正方形，

所以阴影部分的面积=5?=25.

故选：B.

【融会贯通】

1.如图，两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置,

?B90?,AB=1,DH=2,阴影部分的面积为18,则平移距离为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的

线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键.由平移可得推出

SfH=S«KABEH，求出BE,即可解决问题.

【详解】解：由平移可得：DE=AB=7,SAABC=S^EDF,

S阴+SHEC=S梯形ABEH+SHEC,

..5网=S梯形14sEH,

DH=2,

HE=DE—DH=1—2=5,

S阴==—（HE+AB）-BE,

Bp1x（5+7）-B£=18,

:.BE=3,即平移距离为3,

故选：B.

2.如图，把直角三角形A3C沿48所在直线平移到三角形DEF的位置,若EF=8cm,CG=3cm,GF=2cm,

则图中阴影部分的面积是—cm2.

A

【答案】13

【分析】本题考查了平移的基本性质，根据平移的性质得到BC//EF,BC=EF=8cm,SABC=SDEF,再

证明S阴影=SmFE,据此根据梯形面积计算公式求解即可.

【详解】解：由平移的性质可得3C〃£F,3C=£F=8cm,SABC=SDEF

0CG=3cm，

BlBG=BC-CG=5cm,

0SABC-$BDG=SDEF-SBDG，

5+8

-

团S阴影=S梯形BGFE=x2=13cm

故答案为：13.

3.如图，VABC的边长AB=4cm,BC=6cm,AC=3cm,将VABC沿BC方向平移acm[a<6cm),得到DEF，

连接AD,则阴影部分的周长为cm.

【答案】13

【分析】本题考查平移的基本性质，掌握平移的性质是解题的关键.根据平移的性质，求解即可.

【详解】解：■将VA5C沿3C方向平移acm(a<6cm),得到..DEF,

:.AD=BE,AB=DE,AC=DF,

,阴影部分的周长=AD+EC+DE+AC=5E+EC+AC+AB=AB+AC+3C=4+3+6=13cm.

故答案为：13.

类型二、三角板旋转平行

【解惑】如图，直线现将一个含30。角的直角三角板的锐角顶点8放在直线4上，将三角板绕点8旋

转，使直角顶点C落在4与4之间的区域，边AC与直线4相交于点。，若4=35。，则图中的N2的值为()

D

A.65°B.75°C.85°D.80°

【答案】A

【分析】过A作CE〃//,得至IJCE〃//〃/2,根据平行线的性质得出团3,进而求得团4,再根据平行线的性质可

求出答案.

【详解】解：过。作CE〃//,

M〃/2,

^\CE//11//hf

酿3二团1二35°,

酿4=90°-回3=55°,

团团2=180°-回4-妫8。=180°-55°-60°=65°.

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键.

【融会贯通】

1.已知一副三角板按如图方式摆放，其中〃/)E,那么NCBb=()度.

0

A.30B.45C.60D.75

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，熟记三角板的各内角的度数是解题的关键.

根据两直线平行，内错角相等可得ZABD=ND=30。，再利用平角等于180。列式计算即可得解.

【详解】解：^\AB//DE

0ZABD=Z£>=3O°

0NCBF=180°—ZABD-ZABC=180°-30°-90°=60°.

故选：C.

2.如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45。和30。的两个角顶点O重合在一起.三角

板COD保持不动，将三角板AO3绕点。顺时针方向旋转一周的过程中，若OB〃CD,则—AOC的大小

【分析】本题考查了平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.分两种情况进行讨论：当

点B在OC上方时，当点B在OC下方时，分别画出图形求出结果即可.

【详解】解：当点8在OC上方时，如图所示:

团NBOC=180°-ZC=90°,

0ZAOB=45°,

0ZAOC=Z.BOC-ZAOB=45°；

当点2在OC下方时，如图所示:

SOB//CD,

ElZBOC=ZC=90°,

[3/3Q4=45°,

ElZAOC=ZBOC+ZAOB=135°；

综上，—49C的度数为45。或135。.

故答案为：45。或135。.

3.在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，£在AC上，ZC=ZDAE=90°,

ZB=60°,NO=45。.小明将VAZ)E从图中位置开始，绕点A按每秒15。的速度顺时针旋转一周，在旋转过

程中，第秒时，边AB与边平行.

【答案】5或17

【分析】本题考查了平行线的判定和性质.分两种情况：①DE在A5上方；②DE在A8下方，画出相应

的图形，利用平行线的性质即可求得答案.

【详解】解：①当OE在上方，

E

B

D

^ZC=ZDAE=9009ZB=60°,ZD=45°,

[3ZBAC=30°,NE=45。,

^\AB//DE,

0ZBAE=ZE=45°,

^ZCAE=ZBAC-hZBAE=75°,

75°

团旋转时间为：—=5（秒）；

②当。石在A5下方，

回NC=NDAE=90。,ZB=60°,ZD=45°,

[aZBAC=30°,NE=45。,

^\AB//DE,

0ZBAE+ZE=18O°,

团NA4E=180。—N石=135。，

[?1ZC4E=Z^AE-ZBAC=1050,

回旋转角度为：360°-ZG4E=255°,

255°

回旋转时间为：声=17（秒），

综上所述：在旋转过程中，第5或17秒时，边A3与边。E平行,

故答案为：5或17.

类型三、平行的性质与判定证明依据

【解惑】在下列解答中，填空（理由或数学式）.如图，已知直线b〃c,Zl=116°,Z3=Z4.

⑴求NAOB的度数;

解：Zl=116°(已知)，且N1=N2(),

.-22=116。()

b//c(己知),

:.ZAOB=Z2（）.

:.ZAOB=（等量代换）.

（2）求证：直线4〃C.

证明：//3=/4（）,

（）.

又•.b//c（已知），

；.a〃c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

【答案】（1）对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116。

⑵已知；a//b；内错角相等，两直线平行

【分析】本题考查平行线的判定和性质:

（1）根据平行线的性质定理，结合已知求解过程逐步推导即可得出答案;

（2）根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可得出答案.

【详解】（1）解：4=116。（已知），且N1=N2（对顶角相等），

二.N2=116。（等量代换）

b//c（已知），

:.ZAOB=Z2（两直线平行，同位角相等）.

:.ZAOB=116°（等量代换）.

（2）证明：./3=/4（已知），

■-a//b（内错角相等，两直线平行）.

又、、b"c（已知），

，a〃c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

【融会贯通】

1.如图，已知/A=110。，ZABC=10°,BD上CD于点、D,EF上CD于点、F,试说明4=N2.请补全说

理过程，即在横线处填上结论或理由.

解：0ZA=11O°,ZABC=70°,

.-.Z>1+^4BC=18O°,

AD①一，（②_）,

:.Z\=Z3（③_）,

又，,BD1CD,EFJ.CD（已知），

：.BDEF（④_）,

二/2=/3（⑤_）,

.-.Z1=Z2（等量代换）.

【答案】①BC；②同旁内角互补，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同一平面内，垂直于

同一条直线的两条直线互相平行；⑤两直线平行，同位角相等.

【分析】根据平行线的判定可得AO〃3C,BD//EF,再根据平行线的性质可得N1=N3,N2=N3,再

等量代换即可得N1=N2.

本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：回/A=110°,ZAfiC=70°,

:.ZA+ZABC=180P,

:.AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），

=/1=/3（两直线平行，内错角相等），

又：BDLCD,EF1CD（已知），

■BDEF（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）,

.'.Z2=Z3（两直线平行，同位角相等），

ZX-Z2（等量代换）.

2.把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整.

如图，AD//BC,/1=NB,=N3.

（2）推导证明AF与。C的位置关系.

解：（1）^\AD//BC（己知）

Z1=N（）

又;N1=NB（已知）

ZB=Z________（）

AB//DE（）

（2）SAB//DE（已知）

0Z2=Z_______（）

又0/2=/3（已知）

0Z=Z（等量代换）

SAFDC

【答案】（1）DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；同位角相等，两直线平行；（2）AGD；

两直线平行，内错角相等；AGD-,3；//

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键.

（1）根据平行线的判定与性质解答即可；

（2）根据平行线的判定与性质解答即可.

【详解】解：⑴^AD//BC（已知）

Z1=ZDEC（两直线平行，内错角相等）

又，Z1=ZB（已知）

ZB=ZDEC（等量代换）

AB//DE（同位角相等，两直线平行）

(2)^\AB//DE(已知)

S\Z2=ZAGD（两直线平行，内错角相等）

又回/2=/3（已知）

EIZAGD=Z3（等量代换）

0AFDC.

3.如图，已知AD1BC,EF1BC,垂足分别为。、F,Z2+Z3=180°.试说明：/GDC=/B,在下

列解答中，在横线填空（理由或数学式）.

解：回EFJ.BC（）,

==90°（）

SEF//AD（）

0+Z2=180°（）

又回/2+/3=180。（）,

EIZ1=Z3（）

EIAB/7（）

azGr）c=ZB（）

【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；Z1；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的

补角相等；DG-,内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等

【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，同角的补角相等.根据相关知识点逐一判断填空

即可.

【详解】解：SAD^BC,EF1BC（已知），

SZADB=ZEFB=90°（垂直的定义）

SEF//AD（同位角相等，两直线平行）

0Z1+Z2=18O°（两直线平行，同旁内角互补）

又回N2+N3=180。（已知）,

fflZl=Z3（同角的补角相等）

^AB//DG（内错角相等，两直线平行）

回NGDC=NB（两直线平行，同位角相等）

类型四、作图（最短）

【解惑】如图，某护城河在CC'处直角转弯，河宽均为5m,A,8到外河岸的距离都为5m,从A处到达8

处，需经两座桥：DD',EE'（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从A

处到B处所走的路程最短？

4

八Cr--------------------------

北

B.

【答案】见解析

【分析】本题属于最短路径问题，分析题意，利用平移河宽，将折线问题转化为直线是解题关键；过点A作

AF垂直于河岸，,等于河宽；过点B作垂直于河岸，连接GP,分别与河岸相交于点笈，讯接下

来再过E',。'作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置.

【详解】解：如图所示，作法如下：

（1）过点A作AF垂直于河岸，,等于河宽；过点3作BG垂直于河岸，（则A尸=3G=河宽，即相当于将

桥平移到AF,BG的位置）.

（2）连接G尸，分别与河岸相交于点讯

（3）过点露作ZXD垂直于河岸于点。，过点E'作E'E垂直于河岸于点E,

由作图可知AZ）+DO'+D'E'+EE+跖=AF+ED'+DE'+GE+5G,

国最短路径为FG+AF+BG,

SD'D,E'E即为两座桥的位置.

A

【融会贯通】

1.作图题

⑴如图，要把河中的水引到水池P,在河岸AB的什台地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，

并说明理由.

答：在开始挖掘理由：.

⑵在正方形网格中，小正方形的顶点称为"格点"，每个小正方形的边长均为1,VABC的三个顶点均在“格

点”处.

①在给定方格纸中，平移VA2C,使点B与点?对应，请画出平移后的AB'C；

②线段A4'与线段CC'的关系是.

【答案】⑴点垂线段最短

(2)①见解析；②平行且相等

【分析】(1)过点P作刊fLAB于点根据垂线段相等，得到点》即为开挖点；

(2)①找到点A、C平移后的对称点A、C,顺次连接A'、B\C,即可得到AB'C；

②根据平移的性质即可得到线段A4'与线段CC'的关系.

【详解】(1)解：如图所示，过点尸作尸〃LAB于点H,在点X开始挖掘，理由是垂线段最短，

A

故答案为：点”，垂线段最短

(2)①如图所示，A9C即为所求,

②根据平移的性质可知，线段AA与线段CC'的关系是平行且相等，

故答案为：平行且相等

【点睛】此题考查了垂线段最短、平移的作图与性质等知识，熟练掌握平移的作图和性质是解题的关键.

2.［应用意识］如图，P,。两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直.设两条河的宽度相同且

保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？(保留作图痕迹，不写作法)

.P

______________h

【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可.

【详解】解：如图所示：

p

(1)过点P作尸垂足为A,过点。作QB-L3垂足为8；

(2)分别在上4和上截取尸C=0D=河的宽度；

(3)连接CD,分别交6和4于点E和M；

(4)过点E和M分别作4和％的垂线段，垂足分别为尸和N；

(5)连接尸尸和QN.则桥建在EE和"N处才能使两村之间的路程最短.

【点睛】本题考查最短路径问题.解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解.

(1)①如图①由点A到河边/的最短路线的依据是.

②如果从点A经过点B再到河边/,要使路程最短，在图中画出行走路线.

(2)如图②，—403内有一点P.过点尸作尸C〃OB交Q4于点C,PD〃OA交OB于点、D.

【答案】⑴①垂线段最短②见解析

⑵见解析

【分析】(1)①根据"点到直线的距离，垂线段最短"即可得到答案；②先连接力B,再过点2作直线/的垂

线段，A-3-C即为所求；

(2)利用平移的作法作出两条已知射线的平行线即可.

【详解】(1)解：①由点A到河边/的最短路线的依据是：垂线段最短，

故答案为：垂线段最短；

②如图，A-3-C即为所求作:

类型五、平行的折线模型

【解惑】(1)如图①，AB//CD,试问/2与N1+N3的关系是什么？并说明理由；

(2)如图②，AB//CD,试问N2+N4与N1+N3+N5的关系是什么？请直接写出结论；

(3)如图③，AB//CD,试问N2+N4+N6与N1+N3+N5+N7的关系是什么？请直接写出结论.

图①图②图③

【答案】(1)Z2=Z1+Z3,见解析；(2)Z2+Z4=Z1+Z3+Z5；(3)Z2+Z4+Z6=Z1+Z3+Z5+Z7

【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

(1)过点E作即〃AB,从而推出AB//EF//CD,根据两直线平行，内错角相等，可知/1=NBE/，

Z3=ZCEF,从而推出N2与4+N3的关系；

(2)分别过点E,G,M,作GH//AB,MN//AB,从而推出〃防〃〃肱V,根

据两直线平行，内错角相等，可推出N2+N4与N1+N3+N5的关系；

(3)分别过点E,G,M,K,P,作EF〃AB,GH//AB,MN//AB,KL//AB,PQ//AB,从而知

AB//CD//EF//GH//MN//KL//PQ,根据两直线平行，内错角相等，可推出N2+N4+N6与

N1+N3+N5+N7的关系.

【详解】解：（1）N2=/l+N3,理由如下:

如图，过点E作石厂〃AB,

AB//EF//CD,

,\Z1=ZBEF,N3=NCEF,

.•.N2=N1+N3；

(2)同理(1)得：N2+N4=Z1+N3+N5,理由如下：

分别过点E,G,M,作EF〃AB,GH//AB,MN//AB,

/.AB//CD//EF//GH//MN

;.Z1=ZBEF,/FEG=/EGH,ZHGM=ZGMN,ZCMN=Z5

/.N2+N4=ZBEF+ZFEG+ZGMN+ZCMN=Zl+ZEGH+ZMGH+Z5=Z1+Z3+Z5

(3)同理(1)得：N2+N4+N6=N1+N3+N5+N7.

理由如下：分别过点E,G,M,K,P,作跖〃AB,GH//AB,MN//AB,KL//AB,PQ//AB,

AB//CD//EF//GH//MN//KL//PQ,

.\Z1=ZBEF,/FEG=/EGH,/HGM=NGMN,ZKMN=ZLKM,/LKP=/KPQ,NQPC=N7,

/.Z2+Z4+Z6=Z1+Z3+Z5+Z7.

【融会贯通】

1.应用意识:

小明到工厂参加社会实践活动时，发现工人师傅测量一块木板的两边48与CD是否平行时，将某测量工具

(NMFN=90。)按如下图所示的方式放置，MF交AB于点、E,NF交C。于点G,测得

4=140。，N2=50。.小明马上用所学的数学知识帮师傅进行了说明，请你帮小明写出规范的说明过程.

【答案】见解析

【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，过尸在尸左边作用〃相，即可得至U/MFP=N2=50°,

再由/MfN=90。可得4FG=40。，得至1」/1+4¥6=40。+140。=180。，根据同旁内角互补，两直线平行

可得判定FP〃CD,即可得到AB〃CD.

【详解】解：如图，过尸在尸左边作打〃4?.

因为/2=50。，

所以NMFP=/2=50。，

因为/M7W=90。，

所以ZPFG=ZMFN-ZMFP=90°-50°=40°,

因为Nl=140。，

所以/I+NPFG=40°+140°=180。，

所以FP〃CD,

所以AB〃CD.

2.阅读下列材料：

已知:如图1,直线AB〃CD,点E是A3、CD之间的一点，连接3区£)E得到求证：NBED=NB+ND.小

冰是这样做的：证明：过点E作郎〃AB,则有

ZBEF=NB.AB〃CD,:.EF〃CD.:./FED=ND.:./BEF+/FED=NB+/D.图1即ZBED=NB+ZD.

请利用材料中的结论，完成下面的问题：

已知：直线43〃CD,直线"N分别与AB、CD交于点E、F.

(1)如图2,ZBEF和/EED的平分线交于点G.猜想NG的度数，并证明你的猜想;

⑵如图3,EQ和EG?为ZBEF内满足/1=/2的两条线，分别与NEED的平分线交于点G1和G,.求证:

ZFG^+ZG,=180°.

【答案】⑴90。,见解析

⑵见解析

【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，作出辅助线构造平行线是解题的关键.

对于(1),先由材料中的结论得/EGF=/3EG+NGED,再根据平行线的定义得

ZBEF=2NBEG,ZEFD=2ZGFD,然后根据平行线的性质得+NEED=180。，最后代入整理可得结

论；

对于(2),作G"〃AB,可得G理〃CD,由上述可得NG2=N1+N3,AEG.F=ABEG{+AG.FD,及

Z3=ZG2FD,再根据平行线的性质得/4=/5尸£>,即可得NG2=N2+/4,进而得出

ZEG}F+ZG2=ZBEF+ZEFD,最后根据平行线的性质得出结论.

【详解】(1)解：如图2所示，猜想：NEGF=90°.

证明：由材料中的结论得

EIEG、FG分别平分ZBEF和/EFD,

aNBEF=2NBEG,ZEFD=2ZGFD.

^BE//CF,

ZBEF+ZEFD=180°,

团2ZBEG+2/GFD=180°,

国ZBEG+NGFD=90"

团ZEGF=/BEG+ZGFD,

团NEGF=90。；

图2

(2)证明：如图3,过点G]作G|H〃A5,

团AB〃m

出G]H〃CD,

由结论可得NG2=N1+N3,/EG,F=/BEG/NG】FD,

^Z3=ZG2FD.

回FG2平分/£FD,

^Z4=ZG2FD,

团4=N2,

团NG2=N2+N4.

团NEG/=ZBEG,+/G1FD,

】

回/EGF+ZG2=Z2+Z4+ZBEG}+NG】FD=ZBEF+ZEFD.

0AB//CD,

0ZBEF+ZEFD=180。,

团NEG1产+NG2=180。.

M

B

3.生活情境•山路"公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数

学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：

在图2中，AB//CD,/3=125。，ZPQC=65°,ZC=145°,求—BP。的度数.

图1

【答案】85°

【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点尸向左作9〃的，过点。向右作由平行线的判

定方法得A5〃P河〃QN〃。，由平行线的性质得皿修=55。，NCQN=35。,由角的和差得

ZPQN=ZPQC-ZCQN,即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键.

【详解】解：如图，过点尸向左作尸河〃AB,过点Q向右作QV〃48,

则〃尸M〃QN〃CD,

:.ZABP+ZBPM=180°,

ZDCQ+ZCQN=1SO°,

ZMPQ=ZPQN,

NB=125°,C=145°,

...ZBPM=180°—125°=55°,

NCQN=180°-145°=35°,

APQC=65°,

ZPQN=APQC-ZCQN

=65°-35°=30°,

ZQPM=ZPQN=3Q°,

NBPQ=ZBPM+ZQPM

=55°+30°=85°.

类型六、平行线中的角平分线

【解惑】问题情境：如图，AB//CD,定点E,尸分别在直线AB,CD±,在平行线AB,CO之间有一个

动点尸，满足0。＜4?尸＜180。.求Z.EPF,/PFC满足的数量关系.

思路点拨：由于点P是平行线A8,。之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点尸作钙的

平行线，通过平行线的性质推出NAEP,ZEPF,NPBC的数量关系.

图1图2

图3图4

⑴问题解决：如图1,当点P在所的左侧时，写出NAEP,ZEPF,/PfC满足的数量关系；如图2,

当点P在砂的右侧时，写出N4EP,ZEPF,/PFC满足的数量关系.

⑵问题迁移：如图3,QE、。尸分别平分NPEB和ZPFD,且点尸在E尸左侧.

①若/EPF=80°,则NEQF的度数为；

②猜想NEP尸与NEQ尸的数量关系，并说明理由；

⑶问题拓展：如图4,若NBEQ与NO内。的角平分线交于点0,NBEQ与/。尸Q的角平分线交于点2,

NBEQ与ZDFQ2的角平分线交于点Q3,以此类推，直接写出ZEPF与"Q。。#满足的数量关系.

【答案】⑴NEPF=ZAEP+NCFP,ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°

(2)①140°②NEPF+2ZEQF=360°

2025

⑶ZEPF+2NEQ2024P=360°

【分析】本题考查了平行线的判定及性质；

(1)当点尸在EF的左侧时，过点尸作〃/由平行线的判定方法得AB〃CD〃PH,由平行线的性

质得ZAEP=NEPH,NFPH=NCFP,即可求解；当点P在跖的右侧时，同理可求解；

(2)①由(1)知NPE4+NP尸C=NEPF=80。，ZEQF=ZBEQ+ZDFQ,即可求解；②QE,。尸分别

平分NPEB和NPFD,设：NBEQ=NQEP=a,ZQFD=ZPFQ=/3,即可求解；

11/1、皿-

(3)同理可得/Q=](a+4),Ze2=-(a+^),可得2024P=忖(a+4)，即可求解;

掌握查了平行线的判定及性质，能根据题意进行分类讨论是解题的关键.

【详解】(1)解：当点尸在所的左侧时，

如图，过点尸作PH〃AB,

AB//CD,

\AB//CD//PH,

:.ZAEP=AEPH,

ZFPH=ZCFP,

ZEPF=NEPH+4FPH

=ZAEP+ZCFPi

当点尸在E尸的右侧时，

如图，过点尸作PM〃AB,

AB//CD

AB//CD//PM,

.-.ZAEP+ZEPAf=180°,

ZPFC+ZAZPF=180°,

/.ZAEP+ZEPM+APFC+ZMPF=360°,

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360。；

故答案为：ZEPF=ZAEP+ZCFP,

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；

(2)解：①由(1)知尸C=N£PF=80。，

ZEQF=ZBEQ+ZDFQ,

QE,。尸分别平分NPEB和NPED,

ZPFC+2ZDFQ=180。，

ZPE4+2ZBE2=180°,

/./PEA+2ZBEQ+/PFC+2ZDFQ=360°,

ZBEQ+ZDFQ=140°,

ZE。/=140。，

故答案为140。；

②如图3,QE,。b分别平分4EB和NPFD,

设：ZBEQ=ZQEP=af

ZQFD=ZPFQ=/3f

贝UNP=180。一2a+180。一24

=360。一2(a+0,

4Q=a+/3,

即：ZEPF+2ZEQF=360°；

(3)解：同理可得NO=g(a+/?),

N&=；(&+£)，

Y024

.•.ZEe2024F=^-J(0+尸),

2025

故：NEPF+2ZEe2024F=360°.

【融会贯通】

1.如图，直线AB、C。被DQ所截，AB//CD,N3DC=50。，点E是直线CO上的动点(点E与点。不

重合)，连结8E,作NABE的角平分线交直线C。于点尸.

⑴如图1,点E在点。左侧，若ND3E=20。，求NEB尸的度数；

(2)射线BG平分NEBQ.

①如图2,点E在点。左侧，求NEBG的度数.

②若尸，是正反向延长线上的一点，请直接写出ZFBG的度数.

【答案】⑴55。；

(2)①25°；②155°或25°.

【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以角的计算，熟练掌握平行线的性质、角平分线的

定义以及角的和差倍分的计算是解决本题的关键.

(1)首先推导出ZABD=130°,进而得到ZABE=ZABD-ZDBE=110°.由BF平分NABE,得到NEBF=55。；

(2)①由跳'平分NABE,WZEBF=|ZABE=1(130°-ZDBE).由BG平分NE3。，得

ZGBE=|ZQBE=1(180°-ZDBE),进而求得ZFBG=NGBE-ZEBF=25°；

②分两种情况讨论：当点E位于。点左侧时，当点E位于。点右侧时，分别解答即可.

【详解】(1)解：AB//CD,ZBDC=50°,

:.ZABD+ZBDC=180°,

ZABD=180°-ZBDC=180°-50°=130°,

ZABE=ZABD-ZDBE=130°-20°=110°,

又：BF平分■NABE,

ZEBF=-ZABE=-xlW°=55°；

22

(2)解：①由(1)知：ZABD=130°,

ZABE=ZABD-ZDBE=1300-ZDBE,

又一BF平分/ABE,

ZEBF=|ZABE=1(1300-ZDBE),

3G平分NEBQ,

NGBE=gNQBE=1(1800-ZDBE),

NFBG=NGBE-NEBF

=1(1800-ZDBE)-1(130°-NDBE)

=25°；

②当点E位于。点左侧时，如图2.

图2

由①得："BG=25。,

ZF'BG=180°-ZFBG=180°-25°=155°,

当点E位于。点右侧时，如图3,

图3

由题意可得ZABE=130°+ZDBE,NQBE=180°-ZDBE,

又BF平分/ABE,BG平分NEBQ,

:.NFBE=1(130°+ZDBE),NGBE=1(180°-ZDBE),

NF'BG=180°-1(l30°+ZDBE)-1(180°-ZDBE)=25°,

综上，ZFBG为155。或25。.

2.已知：AB//CD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，N1=N2.

图1图2

(1)如图1,求证：EF//GH；

(2)如图2,过/点作交GH延长线于点M,作ZBEF、NDFM的角平分线交于点N,EN交GH

于点尸，求NN的度数.

【答案】⑴证明见解析

(2)45°

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：

(1)由平行线的性质得/1=/3,再由内错角相等得出EF〃GH；

(2)过点、N作NK〃CD,则侬〃CD〃钻，由平行线的性质得到NKVE=N4,Z6=Z7,

设N4=x,N7=y,由角平分线的定义得到ZE%=Z5=N4=x,N6=N8=N7=y,再由平行线的性质得到

ZEFD=1800-2x；证明RW_LEF得到NEFM=90°,贝I]180°-2x+2y=9。°,可得x-y=45°,贝!]

NENF=NENK-N6=x-y=45。.

【详解】(1)证明：AB//CD,

.-.Z2=Z3,

又•,4=N2,

二/1=/3,

:.EF//GH；

(2)解；如图，过点N作砥〃CD,

^AB//CD,

KN//CD//AB,

■.ZKNE=Z4,Z6=Z7,

设N4=x,N7=y,

.EN、FN分别平分ZBEF、ZDFM,

:.ZENK=Z5=Z4=x,Z6=Z8=Z7=y,

又1AB//CD,

ZEFD=180°-(Z4+Z5)=180°-2x,

X-FMLGH,EF//GH,

^FMLEF

.-.ZEFM=90°,

.-.180°-2x+2y=90o,

/.x-y=45°,

:.ZENF=ZENK-Z6=x-y=45°,

3.已知直线AB〃CD,点P为平面上一点，连接BP与OP.

⑴如图①，点尸在直线A3、C。之间，说明：ZBPD=ZB+ZD；

(2)如图②，点尸在直线A3、CD之间，/4BP与/CDP的平分线相交于点Q,利用(1)中的结论，写出

N5尸口与NBQD之间的数量关系，并说明理由；

⑶如图③，点尸落在AB与C。外，NAB尸与NCDP的角平分线相交于点Q,.)中/BPD与N8QD之间

的数量关系是否仍然成立？并说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)ZBQD=-ZBPD；理由见解析

2

⑶成立；理由见解析

【分析】本题主要考查平行的性质，角之间的关系，角平分线的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键.

(1)过点P作PQ〃AB,根据平行的性质得到=+即可证明结论；

(2)根据3。，。。分别平分/ABP,ZCDP,得到NABQ+NQDC=；(NABP+NCOP)即可证明.

(3)分别过点尸，。作尸M〃C2QN〃C。，根据平行的性质得到NABQ=NBQV,角平分线的性质得到

ZABQ-ZCDQ=-(ZABP-ZCDP),即可得至IJ答案.

2

【详解】(I)说明：过点尸作PQ〃AB,

AB//CD,

PQ//CD,

...ZQPD=ZPDCf

PQ//AB,

?ABP?BPQ,

NBPD=ZBPQ+ZQPD,

・•.ZBPD=ZB+ZD；

C

(2)解：ZBQD=-ZBPD

2

说明：由(1)知，^BQD=ZABQ+ZQDC,ZBPD=ZABP+ZCDP,

BQ,。。分别平分/ABP,/CDP,

11

?.ZABQ=-ZABP,ZQDC=-ZCDP,

ZABQ+ZQDC=1(/ABP+ZCDP),

即ZBQD=-ZBPD；

2

(3)解：成立

说明：分别过点P,。作PM〃CD,QV〃CD,

AB//CD,

PM//CD,QN//CD,

ZCDP=NDPM,ZCDQ=ZDQN,

PM//AB,

ZABP=ZBPM,

QN//ABf

ZABQ=ZBQN,

ZBQD=ZBQN-ZDQN=ZABQ-ZCDQ,

ZBPD=ZBPM-ZDPM=ZABP-ZCDP,

又——ABP与NCD尸的角平分线相交于点。,

?.ZABQ=^ZABP,ZCDQ=^ZCDP,

ZABQ-ZCDQ=-(ZABP-ZCDP),

-2

即ZBQD=-ZBPD.

2

类型七、平行线中的数量关系

【解惑】综合与实践

(1)如图1,AB〃C。，点尸在45,CO之间，NAMP=32o,ZDNP=128。，求/MPN的度数.

图1

(2)如图2,若AB〃C。，点P在。的下方，则NAMRNCNRNMPN之间有何数量关系？并说明理由.

AMB

图2

（3）如图3,在（2）的条件下，/〃/3=£,乙即的平分线和n。\?的平分线交于点£,求/MEN的度

数.（结果用含a的式子表示）

【答案】（1）84°；（2）ZAMP=ZMPN+ZCNP,理由见解析；（3）-a

2

【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行

线的性质.

（1）过点P作PEAB,根据平行线的性质得出NMPE=NAMP=32。，

NEPN=180°-ZDNP=180°-128°=52°,最后求出结果即可；

（2）过点P作PQ〃C。，根据平行公理得出AB〃CD〃尸。，根据平行线的性质得出/CNP=/NP。,

ZAMP=NMPQ,最后求出结果即可；

（3）过点E作所〃8,根据平行线公理得出AB〃CD〃耳'，根据平行线的性质得出

ZNEF=ZCNE,ZAME=NMEF,根据角平分线定义得出

ZAME=NMEF=工NAMP,NCNE=NNEF=工NCNP,根据解析（2）,得出NAMP=4ffW+NCNP,最

22^

后得出结果即可.

【详解】解：（1）如图1,过点尸作尸石AB,

PE//AB,

图1

ZMPE=ZAMP=32°.

^AB//CD,

:.CD//PE,

...ZEPN=180。一ZDNP=180。-128°=52°,

/.ZMPN=AMPE+ZEPN=320+52°=84°.

(2)ZAMP=AMPN+ACNP.

理由：如图2,过点尸作PQ〃C。，

图2

⑦AB〃CD,

AB//CD//PQ,

NCNP=/NPQ,

ZMPQ=ZMPN+ZNPQ,

/.ZMPQ=ZMPN+ZCNP,

PQ//AB,

:.ZAMP=ZMPQf

ZAMP=ZMPN+ACNP.

(3)如图3,过点E作£F〃CD,

..AB//CD//EF,

/.ZNEF=ZCNE,ZAME=/MEF,

・・・NAMP的平分线和ZCNP的平分线交于点E.

11

/AME=ZMEF=-ZAMP.ZCNE=/NEF=-ZCNP,

由⑵得NAMP=NMPN+NCNP,

Z.MPN=a,

,MEF=NAME=”PN"NWNP=*/NEF，

AMEN=NMEF-NNEF=-a+ZNEF-NNEF=-a.

22

【融会贯通】

1.(1)如图1,AB//CD,ZPAB=115°,ZPCD=125°,求NAPC的度数；

(2)如图2,A3〃CD,点尸在射线QW上运动，记=尤，ZPCD=y,当点P在2,。两点之间运

动时，请写出NAPC与尤，y之间的数量关系，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点尸在8,。两点外侧运动时(点尸与点。，B,D三点不重合)，请直接写出

—APC与x,y之间的数量关系.

【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质，应用分类讨论思想解题是解题关键

(1)通过平行线性质可得ZA+NAPE=180。，ZC+ZCPE=180°,再代入/P4B=115。，ZPCD=125°,可

求/APC即可；

(2)过尸作尸石AB交AC于E,推出AB〃PE〃OC,根据平行线的性质得出x=4尸E，y=ZCPE,即

可得出答案；

(3)分两种情况：尸在3。的延长线上；尸在。。延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出

x=ZAPE,y=ZCPE,即可得出答案.

.-.ZA+ZAPE=180°,NC+NCPE=180°,

0ZPAB=115°,ZPCD=125°,

二.NA尸£=65。，ZCPE=55°,

ZAPC=TAPE+/CPE=120°；

(2)ZAPC=x+y,

理由：如图2,过P作AB交AC于E,

AB//CD,

图2

/.ABPEDC,

/.x=/APE,y—NCPE,

/.ZAPC=ZAPE+/CPE=x+y.

(3)①如图所示，当P在3£＞的延长线上时，ZCPA=x-y；

过点尸作PECD

ABCD

国PEAB\CD,

Z.APE-x,ACPE=y,

/.ZCPA=TAPE-ZCPE=x-y;

②如图所示，当尸在05延长线上时，ZCPA=y-x-

过点尸作PECD,

AB//CD,

:.ABPEDC,

:.ZAPE=x,ZCPE=y,

ZCPA=NCPE-ZAPE=y-x.

综上所述：ZCPA=x-y^ZCPA=y-x.

2.已知直线乙〃4,直线4和直线4，A交于点C和。，点尸是直线4上一动点.

图1图2图3

⑴猜想论证：如图1,当点P在线段C。上运动时，APAC,NAPB,一尸即之间存在什么数量关系？并说

明理由.

请把下列过程补充完整：

猜想：ZAPB=ZPAC+ZPBD.

证明：过点尸作尸用〃心

4II，2，

(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).

又*PM13PMz1],

ZAPM=APAC,=NPBD().

ZAPB=ZAPM+Z.BPM,

ZAPB=ZPAC+ZPBD().

(2)类比探究：

①如图2,当点尸在线段CO的延长线上运动时，上述⑴中的结论是否成立？若不成立，请写出/PAC,

NAPB,NPBD之间的数量关系，并说明理由；

②如图3,当点尸在线段DC的延长线上运动时，请直接写出/PAC,NAPB,ZPBD之间的数量关系，

不必写理由.

【答案】⑴见解析

⑵①不成立，应为ZAPB=NPAC-NPBD,见解析；

②ZAPB=Z.PBD-APAC.

【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化

到同一个顶点的位置.

⑴过点P作尸M心根据平行线的性质可得ZAPM=/PAC,ZBPM=ZPBD,利用等量代换可得：

ZAPB=APAC+NPBD；

（2）仿照⑴的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可.

【详解】