广东省茂名市高州市2025届高三高考适应性考试数学试卷（含答案解析）

广东省茂名市高州市2025届高三高考适应性考试数学试卷

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一、单选题

1.已知集合河=&€冲]》区2},、={-3,-2,-1,0,1,2,3},则()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.[-2,2]D.{152}

2.随机变量J~N(4,2),若尸偌>2。-1)=尸©<a),则实数。的值为()

5

A.2B.-C.3D.4

2

3.已知圆C:f+/=1,直线x+y-"7=0(〃zeR),若圆C上有且仅有一点到直线/的距离

为1,则"7=()

A.2B.272C.±2D.+272

4.已知向量1=（尤,3）,否=（3,-6）,且£在各方向上的投影向量为百人则工=（）

A.V3B.2#>C.573D.473

tanccH—H------7-------v=3rt

5.右v8）.（।兀），贝ijsin4a=（）

'/tana+—

I8j

6.已知函数/(x)=L，+wl),若则a的取值范围是()

[logflx+2^,x>l2

7.已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为

()

A.—B.；C.—D.-

3233

8.已知函数/(X)满足/(x+l)=2〃x),/(1)=1,设或=棚(”)，S"为数列也｝的前〃项

和，则使得S〃>2024成立的最小整数〃为()

A.8B.9C.10D.11

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知z=2+i为关于x的方程f一°x+5=0（aeR）在复数范围内的一个根，则（）

A.|Z2|=5B.a=4

C.9+2为纯虚数D.2-i为关于x的方程尤2一"+5=o的另一

Z

个根

10.已知随机事件A,3满足P（N）=0.4,尸（8）=0.5,则下列说法正确的是（）

A.若A,3相互独立，则尸（NB）=0.2B.若A,3相互独立，则尸（叫/）=0.4

C.若/=贝"（4忸）=*D.若尸（司/）=0.25,则尸（，刁=g

11.抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光

线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.

如图，已知抛物线C：V=2pMp>0）,一束光线从A点出发平行于x轴射入抛物线，经过

两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为P,。，O为坐标原点，过P,。分别

作乙4尸0,2时尸的角平分线交于点已知|尸。|的最小值为2,则下列说法正确的是（）

A.p=iB.若|/8|=2后，则直线尸0的斜率为±1

C.存在直线尸。，使得O,P,Q,M四点共圆D.面积的最小值为1

三、填空题

12.已知函数/（x）在R上单调递增，函数gj）是定义在R上的奇函数，且/（无）+g（x）=x,

则g（x）可以是.（写出一个满足条件的函数即可）

试卷第2页，共4页

22

13.已知《，月为椭圆C：T+}=l(a>0,6>0)的左、右焦点，点A,8在C上，若等边

三角形/5月的重心为月，则C的离心率为.

14.两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球(除颜色外，质地大小均相

同)，从两个袋子中同时取出1个球(取出的球不放回袋中)，若两球颜色相同，则记1分，

否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为.

四、解答题

15.记V/BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且6FCOSC+ZCCOS%.

⑴求A；

(2)若。=2,且8c边上的高为求V/BC的周长.

16.已知函数/(x)=lnx-q,aeR.

⑴若a=2,求f(x)图象在点处的切线方程；

⑵若函数/⑺在(l,e)上的最小值是:，求。的值.

17.如图，在多面体48C-481cl中，V/8C是边长为2的等边三角形，平面/3C,

AXAHBXB,QC//B.B,44=254=4,Cq=3,设O为4月的中点.

(1)证明：G。，平面

(2)设。为棱4G上的动点，求8Q与平面48G所成角的正弦值的最大值.

18.已知双曲线，=1(。>0,6>0)的实轴长为26，离心率为半.

⑴求双曲线C的标准方程：

试卷第3页，共4页

⑵过点。(1,0)的直线/与C的左、右两支分别交于A,B两点，点直线8M与直

线x=3交于点N.

(i)证明：直线ZN的斜率为定值；

(ii)记B，$2分别为AQBW,A/BN的面积，求*的取值范围.

19.若对于任意整数i,J,均有为+,＜%+%,则称数列｛%｝为/-数列.

(1)设各项均为正整数且公差不为0的等差数列｛2｝为/-数列，4=2,求〃；

⑵证明：当0〈人＜1时，数列｛""｝为N-数列；

(3)证明：若数列｛%｝的各项均为正数，当始1时(其中左＞1,左为常数)，数列｛6｝不

是/-数列.

试卷第4页，共4页

《广东省茂名市高州市2025届高三高考适应性考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ACDCCBABABDACD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】先解绝对值不等式，再用交集定义即可求得.

【详解】由可得-2V尤V2,则可="€2|》区2}={0,1.2},

因N={-3,-2,-1,0,1,2,3},则McN={0,1,2}.

故选：A.

2.C

【分析】根据正态曲线的对称性可求解.

【详解】因为J~N（4,2）,所以随机变量J的正态曲线关于x=4对称,

,,2a—1+a

故一--=4,贝1Ja=3.

故选：C.

3.D

【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由题意有：圆心（0,0）到直线》+>-/=0的距离为2,

所以占总=*2制"=2血

=>m=±2\/-2,

故选：D.

4.C

【分析】利用向量的坐标运算求得7B=3x-3百，W=2®,利用投影向量的意义可得

主二生8=6,求解即可.

12

【详解】因为向量3=（尤,3）,刃=（3,-6），

所以a/=（x,3>（3,-百）=3x-3百，恸="+（-®了=,

所以£在■方向上的投影向量为仟-b=回,

\b\

答案第1页，共14页

所以3X-38=G，解得X=5VL

12

故选：C.

5.C

【分析】利用切化弦可求得sin（2a+；］=：,利用诱导化式与二倍角的余弦公式可求sin4a

的值.

【详解】因为匕11

，所以sin

所以sin

所以sin4tz=-cos212a+；］=-1+2sin^^2a+-^-j=-l+—.

故选：C.

6.B

【分析】先讨论当x<l时，不等式转化为x2+2ax+gz0,确定函数>=/+2Q+：在x<l

时的单调性得最值即可得此时。的取值范围，再根据此范围确定当x21时，函数

/（尤）=log.x+2a的单调性，从而得最值得。的取值范围，综合可得结论.

331

【详解】当了<1时，不等式/（X）（5为一一2。％+1<5,BPx*I2+2ax+—>0,

因为。>0,awl,所以函数V=—+2"+；在（-8,-q］上单调递减，在上单调递增，

所以％n=上+2亦+（］=-a2+1>0,所以0<a4正；

I2篙22

由于0<0《浮，则当x21时，函数/（切=1。8才+2。在［1,+8）上单调递减，

所以/（x）ma、=/（l）=bg0l+2a=2a4；,解得所以0<°W注；

242

综上，。的取值范围是0,彳.

7.A

【分析】设圆锥的底面半径为「，母线为机，求出圆锥的高以及圆锥的体积/=:兀,后彳,

答案第2页，共14页

通过对r求导判断其单调性，可求得体积最大值及此时厂=如机，即可求出答案.

3

【详解】如图，设圆锥的底面半径为「，母线为加，则圆锥的高为力=府二3,

则圆锥的体积为忆=—TIT2/Z=—w2ylm2-r2,记/(r)=—7Tr2Vm2-r2,

333

贝Uf'W)=|兀(2厂ylm2-r2+r2-*?)=,T，

32y/m2-r37m?-户

由/(尸)〉o可得0<尸<“^加，由/(尸)<0，可得，加，

33

即函数/⑺在(0,9间上单调递增，在(g机,+00)上单调递减，

故当厂时，/⑺取得最大值，即圆锥的体积最大，

3

此时，母线与底面所成的角即/E4O,其余弦值为cos/以。=c=包.

m3

故选：A.

【分析】由题意可得｛/(〃)｝是以/(1)=1为首项，2为公比的等比数列，从而可得”=止27,

利用错位相减法可求得y=("-1>2"+1,可求解.

【详解】因为〃x+l)=2/(x),所以〃"+l)=2/("),又"1)=1,所以〃")片0,

所以勺［=2,所以"(〃)｝是以/⑴=1为首项，2为公比的等比数列，

所以/(»)=1X2'1=2-1,所以，=相(〃)=〃.2-1,

所以S),=1x2°+2x2^+3x2?+••.+〃・2"T

所以2s“=1X21+2X22+3X23+...+(〃-1).2"T+“-2”,

1x(1-2")

所以一s=1X2°+1X21+1X22+---+1X2,-'-n--------n2,

"1-2

答案第3页，共14页

9

所以又1=（8-1>28+1=1793,S9=（9-l）-2+1=4097,

所以使得S.>2024成立的最小整数"为9.

故选：B.

9.ABD

【分析】根据复数乘法、除法运算法则及模长公式，可确定AC选项，再利用复数范围内的

求根公式可知复数z是方程的根，则彳也是方程的根可确定D选项，再利用韦达定理确定B

选项.

【详解】对A,-.-z=2+i,.-.|z2|=|（2+i）2|=|3+4^=5,故A正确；

对C,-+2=-^+2=4-i,故C错误；

z2+1

对D,又z=2+i为关于x的方程，-ax+5=0（a€R）,所以彳=2-i也是方程的根，故D

正确；

对B,z+z=4=a,故B正确；

故选：ABD

10.ACD

【分析】利用独立事件的乘法公式尸（/8）=尸（⑷尸（8）,条件概率公式可解AB选项，在

/=8的条件下，利用尸（Z3）=P（Z）可求C选项，再利用全概率公式及对立事件概率公式

可确定D选项.

【详解】对于AB选项，因为A,8相互独立，

贝1」尸（/3）=2（/）尸（3）=0.4、0.5=0.2,P（a/）=P（8）=0.5,故A正确，B错误；

对于C选项，若4=P（AB）=P（A）=0.4,=故C正确；

r{D}U.J3

z.\P（AB\P（AB}../_\

对于D选项P（a力）=育才==0.25=P（/B）=0.1,则以皿=0.5-0.1=0.4,

所以尸（8m=怨?=?!=:,故D正确;

'7PMI0.63

故选：ACD.

11.ABD

答案第4页，共14页

【分析】A选项，设直线尸0：x=〃o+],联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得

22

\PQ\=2p（l+m）＞2p,从而得到A正确；B选项，|/切=切—y2\=2yjl+m=23,从而

解得加=±1,故B正确；C选项，先得到/尸加。=90°,若点0,P,Q,"四点共圆，则

ZPOQ=90°f利用向量数量积公式得到因为0P。。=-故C错误，D选项，作出辅

113

助线，得到皿//x轴，\RM\=-\PQ\f得到‘心。=3氏14卜-为1=（1+/）"求出最小值.

22

【详解】A选项，由题意得直线尸。过焦点尸设直线？。"=叼+5,

联立直线尸0:x=叼+]与抛物线方程可得/-2pmy-p2=O.

设尸（否,必）,0（%2必），

贝加，%为=一。2，

所以再+x?=加（必+%）+0=2°加2+。，

则|尸0|=再+勺苫2+片2°（1+疗”2°,当且仅当%=0时，等号成立，

故2P=2,.3=1,故A正确；

B选项，由A知，乂+y2=2m,yly2=-1,

则=|必_刃=J（M+%）~—4%了2="〃尸+4=2,1+加*=2-^2,

解得冽=±1,故B正确；

C选项，APUBQ,ZAPQ+ZPQB=\SO0,

所以ZPMQ=180°-；（乙4尸0+ZPQB）=90°,

如果点O,P,Q,M四点共圆，则〃。0=90°,

C:y2=2x,

—►―►13

因为0尸+y1y2=--1=--^0,故C错误，

D选项，过点M分别作MEJ_/P于点E,MHLQB于点H,MG,尸。于点G,

因为N4P。，N8QP的角平分线交于点M,所以ME=MG,MH=MG,

故ME=MH,

答案第5页，共14页

设尺为P0的中点，连接羽？，则M7?//x轴,

因为/PMQ=90°,所以|出/|=：忸。|,

2

由A知，|尸。|=2(1+川)，由B知，\yi-y2\=2yll+m,

S.MPQ=-j\RMW\-y^\=jp。|-2」l+m2=U<2(l+m2)2J+加?=1+机2)2,

3

显然，当m=0时，S.,“=(1+/F取得最小值，最小值为1,D正确，

故选：ABD

12.答案不唯一)

【分析】根据题意只要函数/(x)是R上单调递增的奇函数即可符合题意.

【详解】根据题意只要函数/(x)是R上单调递增的奇函数即可符合题意，所以/(x)=无3,

即g(x)可以是I,

故答案为：x-V(答案不唯一).

13.^1

2

【分析】不妨设焦点在五轴上，由题意可得42两点关于无轴对称，由重心坐标公式可得

一'+；+/=c,进而可求得A的坐标，进而可得闻=2gc,以阊=2c,可求离心率.

【详解】不妨设焦点在x轴上，故片，鸟的坐标分别为(-c,0),(c,0),

因为三角形々是等边三角形，所以4?两点关于x轴对称，所以乙=%，

因为三角形4的重心为耳，所以Y+'+X-,所以盯=2c,

又N4F\F、=30°,所以B^=tanN/《G=tan3(r=—,

xA+c3

答案第6页，共14页

所以”=氐，所以|/£|=2Gc,用=2c,

所以M用+M周=2e+2c=2?,

所以矢Wr与

故答案为：H

14.—/0.3

10

【分析】先固定一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑，再分得3分，4分，5分时第二外袋

子的每种排列数可求概率.

【详解】不妨先固定其中一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑,

则另一个袋子的取球可能总数为C；C；=30,

得分为3分的情况为：红白黑黑白，其中第2,3位可交换顺序，

第4,5位可以交换顺序，所以总数为A；A；=4,

黑白白黑红，其中第4,5位可以交换顺序，白白黑黑红，其中第2,3位可交换顺序且黑白

可以交换顺序，所以总数为A：A：=4,

得分为4分的情况不存在，得分为5分的情况为：红白白黑黑，1种情况，

所以总得分大于2的概率为二匚=本

3

故答案为：

15.⑴建鸿

(2)6

【分析】(1)由正弦定理边化角，结合诱导公式及两角和的正弦公式即可求解；

(2)分类讨论，利用等面积法及余弦定理即可求解.

【详解】(1)b=acosC+2ccos2A^>sinB=sinAcosC+2sinCcos2A>

答案第7页，共14页

又sinB=sin(%+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sin4cosC+cos/sinC=sinAcosC+2sinCcos2AncosAsinC=2sinCcos2A

又sinCwO,所以2cos2Z—cos4=0,解得cos4=0或

所以/=；或^.

23

(2)若4=工，—bcsin—=,仓征行❷6c4,

3232

22

由余弦定理得，cosDH/C=b+c——L=b+c-----4+c=8，

2bc82

所以6+C=“2+02+2仆J8+2,4=4，所以V4BC的周长为。+6+。=6；

若4=^,V/BC为直角三角形，斜边上的高为VL

由斜边中线长为斜边一半，则斜边BC上的中线为1<6，则该三角形不存在，

故V48。的周长为6.

16.⑴3x-歹-5=0

(2)a=-y/e

【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；

(2)求导，分。<0结合区间(Le)讨论函数的单调性，进而即可.

、2

【详解】(1)当。=2时，/(x)=lnx一一,

则/，⑺=1+；,则/⑴=3,又〃1)=-2,

所以函数/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y+2=3(x-l),

即3x-y-5=0.

(2)由/(x)=lnx-色，x>0,

则/'(》)=:+7=丁,

答案第8页，共14页

当时，r(x)>0,则函数/(X)在(0,m)上单调递增，

此时函数/(X)在(l,e)上没有最小值，不符合题意；

当.<0时，由/'(x)>0,得x>-a,由得0<x<_q,

所以函数/(x)在(0,-。)上单调递减，在(-。,+s)上单调递增，

若-a>e,即a<-e时，函数/(x)在(l,e)上单调递减，

此时函数/(x)在(l,e)上没有最小值，不符合题意；

若-"1,即-1<a<0时，函数/(x)在(l,e)上单调递增，

此时函数/(x)在(Le)上没有最小值，不符合题意；

若14一a<e,即一eWaK—1时，

函数/(无)在上单调递减，在(-。⑼上单调递增，

则/(x)min=/(-«)=ln(-«)+l=-,解得a=_加.

综上所述，a=$

17.(1)证明见详解

严

8

【分析】(1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到向量坐标，利用空间向量的数量积

为0,证明线线垂直，从而得到线面垂直.

(2)设出动点坐标得到线的方向向量，设平面法向量，由法向量垂直平面内任意两个相交

向量求出一个法向量坐标，然后由线的方向向量和面的法向量表示出线面角的正弦值.对于

表达式进行整理化简，构造函数通过二次函数对称轴求函数的最大值.

【详解】(1)如图，在平面/8C内过点A作直线NNL/C,

：4/_1平面/8。，NCu平面AXA1AN,AXA±AC,

...以A为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系/-个，

答案第9页，共14页

则8便,1,0b4(0,0,4),尾(百,1,2),G(0,2,3),

为44的中点，二。^-,-,3,

.••西=卜[,|,0,1B=(AI,O),M=(0,0,4),

f—►—►33

22,即DC；_L45,OG

OC^AA^O

又ABu平面ABBXAX,AAXu平面ABBXAX,ABc\AAx=A,

・・・。0，平面NBA4.

(2)设丽=4福,4£[0,l],即丽=4福=(0,24,—4)

则B、D=44+4。—514+A44=(~\/3,—1+2A,2—4，

&4；=(-A/3,-1,4),则上百,1,3),

设平面45G的一个法向量〃=(x,y,z),

n-BA=—4^x—y+4z=0\y=V3

则一,厂，令x=7,贝厂，

n-BCx=—VSx+j^+Sz=0[z=2j3

即元=（7,百,26）,

设直线B,D与平面43G所成角为9,

卜・丽|卜4日=百

则sin9“cos(元,)

同、丽18X75A2-82+82>^22-82+8

答案第10页，共14页

令〃;1)=5万一品+8,

4(4\24

当力=1时，/(4)取最小值，即76卜不，

4s;n(9=6

即当几=时，sine取得最大值，-旗

52b

2

18.(l)y-/=l

(2_J7

⑵(i)证明见解析；(ii)0,—

【分析】(1)根据离心率和实轴长可得方程；

(2)(i)设出直线/的方程与双曲线联立，写出韦达定理，求出/N的斜率，化简可得答案;

(ii)根据斜率相等把面积比转化为线段比，结合韦达定理可求范围.

【详解】(1)设焦距为2c,因为实轴长为2道，离心率为空,所以a=6,c=2,

3

所以〃=c?-/=1,故双曲线c的标准方程为—-/=1.

3"

(2)(i)证明：当直线/斜率为0时，川-百,0),8(6,0),

的方程为百无一(2-6,一3=0；

令x=3可得N(3,3G+3),此时AN的斜率为kAN=.

当直线/斜率不为0时，设/：x=W+l,

联立］：U；=3,可得(r一3)/+2少一2=0,

因为直线/与双曲线的左右两支交于两点，

所以0,A=4/2+8(f2-3)>0,

答案第11页，共14页

_2f-2

设，（XQ1）,5（%2'%）,则%+%=~2—□,必y2=~2―7'

t—Jt—3

且玉X2=/%%+/（必+%）+1<0,解得»>3.

/T（_E

的方程为>=三二9（X-2）+VL令x=3可得N3,及二一+百

%-21x「2

’2^+6

所以NN的斜率为，「2-2,

kAN=---

再一3

佻%一（必+%）一回2+23

化新可得k=

AN「m27（必+%）-优+2

—2/—2

由必+%可得匹1%=%+刈>

t—Jt—J

fiChl,-y/ity2+2V3r-

所以幻N=-「.=V3；

-ty2+2

综上可得，直线NN的斜率为定值.

(ii)当直线/斜率为0时，的N=%=G,

两个三角形相似,土制=[

当直线/斜率不为0时，此时仁上,

/、