北师大版七年级数学下册 第5章《图形的轴对称》单元测试卷（含解析）

第5章《图形的轴对称》单元测试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图

2.“洛阳牡丹甲天下，丽景城楼世无双“，诗中提到的丽景门具有“中原第一楼”“古都第一门

的美誉.如图，丽景门的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,。是边BC上的一点.下列条

件不能说明是AaBC的角平分线的是（）

A.^ADB=^ADCB.BD=CD

C.BC=2ADD./BAD=ZDAC

3.如图，在△ABC中，/C=90。,BD是△ABC的角平分线，若CD=3cm,则点。到ZB的距

离为（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

4.如图，把一张长方形纸片ABC。沿EF折叠后ED与BC的交点为G,D、。分别在〃、N的位置

上，若NEFG=55°,则/I=().

C.60度D.70度

5.如图，点。,£分别在△ABC的两条边上，将AZBC沿直线DE翻折，点8落在点/处，连接

AE,若AZBC的周长比AaEC的周长大6cm,则BD的长是（）

4cmC.6cmD.12cm

6.如图，在△ABC中，以点Z为圆心，2C的长为半径作弧，与BC交于点E,分别以点E和点C

为圆心、大于，EC的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线ZP交BC于点。.若=45°,ZC=

2NCAD,则的度数为（)

C.30°D.35°

7.如图，在四边形ZBCD中，AB^AC^AD,AB1AC,ZEIB。于点反若BD=20,AE=6,

则△BCD的面积是（）

A.60B.40C.30D.20

8.如图，在△ABC中，2B=aC=10,=40,是△ABC的中线，尸是4）上的动点,

SAABC

£是4：边上的动点，则CF+EF的最小值为（）

9.如图，AB=AC,点8关于”的对称点£恰好落在切上，N的信124°,AF为4ACE中CE

边上的中线，则NN庞的度数为（）

C.30°D.38

10.如图，在△2BC中，ZB=4C,BC=32,AD1BC,4BC的平分线交ZD于点E,且DE=8.将

NC沿GM折叠使点。与点£恰好重合，①BD=16；②点£到幺。的距离为8；③/4GE+

ZEMD=1ZC-,®AB=2AE,以上结论正确的个数是（）

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，得/AOC=/BOC,则证明这两个角所

在的三角形全等的依据是

4

C

N,

O)MB

12.如图，在4X4的正方形网格中，选1个空白的小正方形将其涂黑，使其与已涂黑的2个

小正方形组成一个轴对称图形，所涂的小正方形位置为第行第列.

13.如图，DE是AZBC中4C边上的垂直平分线，如果BC=6cm,AB=9cm,则AEBC的周长

为cm.

A

14.如图，在△ABC中，/ACB=90°,/B=50°,。是射线CB上的一个动点，连接。4将△AC。

沿着2。翻折得到△2。。，当△2D。的三边与△ABC的三边有一组边垂直时，则N%OC='

15.如图，在四边形。BCD中,4。||B&E为CD的中点,连接ZE,BE,BE14E,延长4E交BC

的延长线于点?若ZB=6,BC=4,则.

16.如图，点。是等边三角形ABC内一点，ZAOB=110°,NBOC=a*以。C为一边作等边

三角形。CD,连接2D.当戊=时，△4。。是等腰三角形.

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）已知，如图，△ABC中，AB>AC,在BC上求作点只使△2PC的周长等于AC+BC

（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

18.（6分）如图，在△ABC中，点M、N是BC边上的两点，BM=CN,连接AM、AN,AMAN,

求证：AB—AC.

19.（8分）图1是一个平分角的仪器，其中。。=。&FD=FE.

图1图2图3

（1）如图2,将仪器放置在AZBC上，使点。与顶点/重合，D,£分别在边ZB,AC±,沿AF

画一条射线2P,交BC于点R4P是的平分线吗？请判断并说明理由.

（2）如图3,在（1）的条件下，过点尸作PQ14B于点0,若PQ=5,AC=8,△ABC的面积

是45,求的长.

20.（8分）如图，在10X10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点

都在格点上）.

（1）在图中作出AaBC关于直线对称的△&B1C1；（要求：2与41，B与Bi，C与的相对应）;

(2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线；

(3)已知Q是直线，上一个动点，当QB+QC取最小值时，请在图中作出此时Q点的位置;

21.(10分)如图，4。是△ABC的角平分线，DE1ZB,DF12C,垂足分别是£，尸，连接EF,EF

与相交于点G.

(1)求证：是EF的垂直平分线;

(2)若△ABC的面积为8,AB=3,DF=2,求4C的长.

22.(10分)如图，在AZBC中，

(1)用尺规完成以下基本作图：作/C的角平分线交边于点〃，延长线段勿，并在其延长

线上截取线段4V,使得ZN=aM,连接掰V(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)中所作的图形中，若/B2C=2/B,证明：MN=MB.

H

23.(12分)如图所示，在中，AB=BC,DE1ZB于点E,DFLBC,连接BF.

(1)若/4PD=155。，求NEDF的度数;

(2)若点/是力C的中点，判断4BC与NCFD的数量关系，并说明理由.

24.（12分）已知Rt^ZBC中，AB=AC,NBZC=90。，点。为直线BC上的一动点（点。不

与点B、C重合），以4。为边作RtZkZDE,AD=AE,连接CE.

（1）发现问题：如图①，当点。在边BC上时，

①请写出BQ和CE之间的数量关系,位置关系；

②线段CE、CD、BC之间的关系是；

⑵尝试探究：如图②，当点。在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE、CD、BC之

间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：如图③，当点。在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=4,CE=2,求

线段CD的长.

参考答案

选择题

1.A

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题

的关键.

根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、'：^ADB=^ADC,^ADB+^ADC=180°,

：.ZADB=ZADC=90°,即是△ABC的高线，

•..△ZBC是等腰三角形，AB=AC,

...2。是△ABC的角平分线，故此选项不符合题意；

B、•.•△4BC是等腰三角形，BD=CD,

.•.2。是△ABC的角平分线，故此选项不符合题意；

C、若BC=22D,不能说明2。是△ABC的角平分线，故此选项符合题意；

D、；/BAD=/DAC,

.•.2。是△ABC的角平分线，故此选项不符合题意；

故选：C.

3.B

【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的

关键.

过D^DE1于E,根据角平分线的性质得到DE=CD即可.

【详解】解：如图，过。作。£1128于£,

B

CDA

,在△ABC中，ZC=90°,BD是△ABC的角平分线，DE1AB,

：.DE=CD,

CD—3cm,

.'.DE=3cm,即点。到ZB的距离为3cm,

故选：B.

4.D

【分析】此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义.折叠是一种对称变换，它属

于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.由折叠的性质

可得，/DEF=/GEF,根据平行线的性质可得，ZDEF=ZEFG=55°,根据平角的定义即

可求得

【详解】解：••・4。IIBC,ZEFG=55°,

/DEF=NFEG=55°,/I+2=180°,

由折叠的性质可得，ZGEF=ZDEF=55°,

N1=180°-NGEF-/DEF=180°-55°-55°=70°,

故选：D.

5.A

【分析】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出2E=BE是解题关键.由折叠的性质

得出=AE=BE,△2EC的周长为aE+CE+aC=BE+CE+2C=BC+aC,根据

△ABC的周长比△NEC的周长大6cm,求出ZB=6cm,即可得出答案.

【详解】解：:.将△ABC沿直线DE翻折，点方落在点/处，

：.BD=AD,AE=BE,

...△NEC的周长为：

AE+CE+ACBE+CE+ACBC+AC,

△ABC的周长比44EC的周长大6cm,

：.AB+BC+AC-(BC+AC)=ZB=6cm,

1

：

.BD=AD^-2AB=3cm.

故选：A.

6.A

【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；

根据作图过程可得，2P是EC的垂直平分线，可得4E=AC,4DB=4DC=90。，根据三线

1

合一可得471。=/C2D再根据=45。，NC=2NCAD,即可求出

30。的度数，进而即可求解.

【详解】解：由作图过程可知：2P是EC的垂直平分线，

：.AE=AC,ZADB=ZADC=90°,

1

/.ZEAD=^CAD=-2ZEAC

,:NB=45°,

/BAD=90°-45°=45°,

,//C=2ZCAD,NC+ZCAD=90°

：.3^CAD=90。，

ZCAD=30。，

/.ZEAD=30°,

/BAE=45°-30°=15°.

故选：A.

7.B

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形.过点。分别作CF12E,交2E

的延长线于点?作CG1BD于点G,根据等腰三角形的性质求出。后=3后=13。=10,根据

直角三角形的性质及角的和差求出NB2E=4CF,利用AAS证明AZBE三△C2F,根据全等

三角形的性质求出BE=2F=10,则EF=2F—2E=4,根据平行线间的距离处处相等求出

1

CG=EF=4,再根据△BCD的面积=求解即可.

【详解】解：如图，过点C分别作CF12E,交2E的延长线于点尸，作CG1BD于点G,

'：AB=AD,AE1BD,

：.DE=BE^-BD=10,

2

,：AB1AC,CF1AE,

：./BAE+ZCAF=^CAF+ZACF=90°,

/.NBAE=^ACF,

：.△ABE=△CAF(AAS),

：.BE=ZF=10,

：.EFAF-AE=4,

'：/CGE=/GEF=ZCFE=90°,

CG—EF=4,

...△8。。的面积=；8。v6=：X20x4=40,

故选：B.

8.C

【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接三线合一推出垂直平分BC,

进而得到FB=FC,得到CF+EF=BF+EF2BE,得到当B,凡E三点共线时，CF+EF的值

最小为BE的长，再根据垂线段最短，得到当BE12C时，BE最小，进行求解即可.

【详解】解：连接

A

是△4BC的中线,

：.BD=CD,AD1BC

垂直平分BC,

：.FB=FC,

：.CF+EFBF+EF>BE,

...当B,凡E三点共线时，CF+EF的值最小为BE的长,

为北上的动点,

.•.当BE12C时，BE最小,

1

此时：SAABC^-AC-BE^40,

"：AC=10

：.BE=8,

：.CF+EF的最小值为8；

故选：C.

9.B

【分析】连接龙，依据垂直平分线的性质可得4斤幺瓦从而得到〃=4£,根据等腰三角形“三

线合一”性质，可得N04N物尸，AF1DE,所以N物足;N创伍62°,根据直角三角形性质可

得N4庞的度数，根据轴对称的性质可得/幺庞的度数.

【详解】解：连接淡,

...点£关于/。的对称点£恰好落在切上,

...4。垂直平分庞,

：.AB=AE,阵DB

：./EAA/BAD,NEDA=NBDA

'：AB=AC,

：.A<=AE,

•.•"为△/四中◎'边上的中线，

:./CA耳/EAF,AFLDE,

1

：.NDg/BAO62°,

2

：乙4降90°,

在应中，乙4吠90。-62°=28°,

：./ADB=/AD氏28°.

故选B.

10.A

【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和

角关系、三角形内角和可判断③；由产=喘=骸得ZB=22E,即可判断④.

S^BDEDEBD

【详解】解："：AB=AC,BC=32,AD1BC,

：.BD^-BC=16；

2

故①正确；

如图，过点£作后9128,EH1AC,垂足分别为凡H,

平分4BC,

：.ED=EF=8；

'：AB=AC,AD1BC,

：.AD^^ZBAC,

：.EH=EF=8,

即点£到/。的距离为8；

故②正确；

A

由折叠知，NCGM=ZEGM,ZCMG=ZEMG-

'：ZAGE=180°-/CGM-/EGM=180°-2/CGM,

同理，ZEMD=180°-2ZCMG,

：.ZAGE+/EMD=360°-2]/CMG+/CGM)

=360°-2(180°-4)

=2/C；

故③正确；

..S^ABE_^E-BD_^AB-EF

•-1-1,

SABDE-DE-BD-BDtDE

gP—=—,

DEBD

.AE_AB

，下一正’

：.AB=2AE；

故④正确；

综上，正确的有4个；

故选：A.

二.填空题

n.SSS

【分析】本题考查了作图-基本作图.也考查了全等三角形的判定与性质.先利用基本作图得到

OM=ON,MC=NC,由于。C为公共边，则利用SSS可判断AOMC三AONC,从而得到

ZAOC=ZBOC.

【详解】解：由作图痕迹得0M=ON,MC=NC,

因为。C为公共边，

所以△OMC=△ONC（SSS）,

所以HOC=ZBOC.

故答案为:sss.

12.32（答案不唯一）

【分析】本题考查设计轴对称图形，涂上小正方形后，使整个图形沿着某条直线折叠，直线两

旁部分能够完全重合，即为轴对称图形，据此即可解答.

【详解】解：所涂的小正方形如图，

即所涂的小正方形位置为第3行第2列.

故答案为：3；2（答案不唯一）

13.15

【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出2E=CE,

故CE+BE=AB,再由AEBC的周长=8。+（7后+8后=8。+48即可得出结论.

【详解】解：•••£）/是△回《中4C边的垂直平分线，

：.AE=CE,

CE+BE=AE+BE=AB=9cm,

BC=6cm,

.••△七3。的周长=BC+CE+BE=BC+AB=6+9=15（cm）.

故答案为：15.

14.70或45或25

【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形想性质，垂直的定义，掌握折叠的性

质和进行分类讨论是解题的关键.分当ZD12C时，当ADIZB时，当。时，画出对应

的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可.

【详解】解：当2。14C时，如图，

^CAD=90°,

DA

由折叠性质，知/CM。=/。4。=45。,

•••ZACB=90°,

ZAOC=ZCAO=45°；

当ZDLAB时，如图，

由折叠性质，知NDAO=ZCAO=；/K4c=1x（90。+40。）65°,

•••ZAOC=90°-ZCAO=25°；

当。DI时，如图，

由折叠性质，知NEMO=/CZ。=；/B2C=20。,

•••ZAOC=90°-ZCAO=70°；

当OD1BC时与当14C时相同,

综上所述，40C的度数为45。或25。或70。.

故答案为：45或25或70.

15.2

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直

平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键.

根据IIBC可知NECF,再根据E是CD的中点可求出DE=EC,利用ASA可得

^ADE=AFCE,可得FC=ZD,AE=EF,结合已知可得BE是线段ZF的垂直平分线，根据

线段垂直平分线的性质判断出ZB=BF即可证得ZB=BC+4D,进而即可求解.

【详解】解：.NDIIBC,

/.ZADE=/FCE,

是CD的中点，

：.DE=CE,

,：ZDEA=ZFEC,

：.△ADE三△FCE(ASA),

：.FC=AD,AE=EF,

又,：BE1AE,

.二BE是线段ZF的垂直平分线，

：.ABBFBC+CF,

"：AD=CF,

：.AB=BC+AD,

'：AB=6,BC=4,

：.AD=AB—BC=2,

故答案为:2.

16.110°或125°或140°

【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题

的关键；先求出N%。。=190。—a,N%DO=a—60。，ZOAD=50°,分三种情况讨论：①

AO^AD,则4。。=4。。，②。4=OD,则/O4D=4。。，③。。=AD,则=

^AOD,分别求出。的角度即可.

【详解】解：•・・△ABC和△ODC是等边三角形，

/ABC=ZCAB=ZODC=ZDOC=60°,BC=AC,CO=CD,ZACB=ZDCO=60°,

^ACB-ZACO=/DCO-ZACO,

NBCO=ZACD,

在^BOC和△ZDC中，

(BC=AC

jNBCO=ZACD,

IOC=CD

BOC三△ZDC(SAS),

:.NCOB—NCDA—a,

•:ZAOB=110°,

ZAOD=360°-110°-a-60°=190°-a,ZADO=a-60°,ZOAD=180°-^AOD-

ZADO=50°,

当04=时，

ZAOD=ZADO,

：.190°—a—a—60°；

a=125°

当40=。。时，

NOAD=ZADO,

：.a—60°=50°,

a=110°,

当。。=时，

NOAD=ZAOD,

：.190°—a=50°,

a—140°.

故答案为：110。或125。或140。.

三.解答题

17.解：如图所示，点尸为所求,

:尸在的垂直平分线上，

：.AP=BP,

：.△P2C的周长为：AP+CP+ACBP+CP+ACBC+AC.

18.证明：'JAM=AN

，/AMN=/ANM

：.^AMB=/ANC

在AABM,AZCN中，

AM=AN

ZAMB=/ANC

、BM=CN

：.△ABM三△ZCN(SAS)

：.AB=AC.

19.(1)解：ZP是的平分线；

AD=AE

理由：在△4DF和△ZEF中，=

、DF=EF

：.△ADF三△ZEF(SSS),

/.ZDAF=ZEAF,

平分xsac；

(2)解：'：PQ1AB,

...点9到ac的距离等于PQ,

"Q=5,

1•S^APC—~=20»

二•SMBP=S^ABC~S^APC=45-20=25,

1q

又,：S&ABP=•PQ=\AB=25,

：.AB=10.

20.(1)解：△a/iCi即为所求.

(2)解：直线TH即为线段ZB的垂直平分线.

由轴对称的性质，可得CQ=CiQ,

：.QC+QB=QB+QC1,此时B,Q,的三点在一条直线上，有最小值,

二点Q即为所求.

21.(1)证明：:a。是△ABC的角平分线，DEVAB,DF1AC,

：.DE=DF,^AED=^AFD=90。,

在Rt△ZED和Rt△AFD中，

(DE=DF

Uo=AD

：.Rt△AED=RtAAFD(HL),

：.AE=AF,

又..F。是△ABC的角平分线，

是EF的垂直平分线；

(2).S&ABD+S&ACD-S4ABC，

11

：.-AB-DE+-AC-DF^8,

22

：.AB=3,DE=DF=2

11

・・—x3x2H—xACx2—8,

22

解得：ac=5,

即ac的长为5.

22.(1)作图如下:

证明：(2)由(1)可得4V=4W,

:./ANM=/AMN,

：.ZBAC=/ANM+ZAMN,

即=2/4NM,

又：NBAC=2NB,

:./ANM=NB,

'：CM