函数的概念与性质必考题型分类训练

专题02函数的概念与性质必考题型分类训练

❷【三年高考真题练】

一.选择题（共2小题）

1.（2022•上海）下列函数定义域为R的是（）

111

A.y=x2B.C.x3D.y=

【分析】化分数指数幕为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.

1

【解答】解:，定义域为｛无仇＞0｝,

y=x一五

-1

y=x=l,定义域为｛X|XWO｝,

X

J_

y=X5=也，定义域为R，

y=x^'=Vx,定义域为｛Mx2。｝.

・••定义域为R的是v=

J入

故选：C.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

2.（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）

A.y=-3xB.y=x'C.y=log3xD.y=3x

【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断.

【解答】解:y=-3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；

因为＞=/在R上是增函数，8不符合题意；

y=log3尤，y=3'为非奇非偶函数，C不符合题意；

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题.

二.填空题（共1小题）

3.（2020•上海）若函数丫=利3工+」^为偶函数，则a=1.

3X

【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得。•3,=＞+，^=少3a工，变形分析可得答案.

o（-X）nX

【解答】解：根据题意，函数y=小3旺工为偶函数，则/(-x)=/(无)，

3X

即<7*3'+————=a«3A'+_l_,

X

3(r)3

变形可得：a(3X-3F)=(3J3)),

必有4=1；

故答案为：L

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题.

三.解答题(共3小题)

4.(2020•上海)已知非空集合AUR,函数y=/(x)的定义域为。，若对任意任A且衽。，不等式/(尤)

勺(龙+力恒成立，则称函数/(无)具有A性质.

(1)当4={-1},判断/(x)=-尤、g(x)=2x是否具有A性质；

(2)当4=(0,1),f(x)=x+—,xe[a,+8),若/(x)具有A性质，求a的取值范围；

x

(3)当人={-2,机},m£Z,若。为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的机的

值.

【分析】(1)利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；

(2)依题意，f(x)=xJ(x?a)为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；

X

(3)根据条件，分机W0,机为正偶数和机为正奇数三种情况，求出条件的根的值.

【解答】解：(1)・.・/(x)=一1为减函数，

.*./(X)</(X-1),

(X)=-x具有A性质；

,:g(x)=2x为增函数，

•\g(x)>g(X-1),

・・・g(x)=2x不具有A性质；

(2)依题意，对任意正(0,1),f(x)W/(x+力恒成立，

f(乂)=*4632)为增函数(不可能为常值函数)，

X

由双勾函数的图象及性质可得。》1,

当时，函数单调递增，满足对任意左(0,1),/(x)q(x+t)恒成立，

综上，实数。的取值范围为口，+8).

(3)•.•。为整数集，具有A性质的函数均为常值函数，

当mWO时，取单调递减函数/(无)=-无，两个不等式恒成立，但/(无)不为常值函数；

当机为正偶数时，取n?色?，两个不等式恒成立，但/(X)不为常值函数；

1，n为奇数

当m为正奇数时，根据对任意tEA且x&D,不等式/(x)W/(x+f)恒成立，

可得了(尤-m)Wf(x)Wf(x+m)Wf(x+1)W/(x-1)Wf(x-m),

则/(无)=/(x+l),所以/(无)为常值函数，

综上，根为正奇数.

【点评】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力,

属于中档题.

5.(2021•上海)已知函数y(x)—yj|x+aI-a_x.

(1)若a=l,求函数的定义域；

(2)若aWO,若/(ox)=。有2个不同实数根，求。的取值范围；

(3)是否存在实数°,使得函数/(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出。的取值范围.

【分析】(1)把。=1代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；

(2)f(ax)=aoj|ax+aI-a=ax+a，设办+a=t2O,得a=f-z2,fBO,求得等式右边关于f的函数的

值域可得a的取值范围；

(3)分尤2-a与尤<-a两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数了(%)在定义域内具有单调性的

a的范围.

【解答】解：(1)当。=1时，/(无)|x+1I-1-X，

由优+1|-120,得|x+l|2l,解得xW-2或x20.

.,.函数的定义域为(-8,-2]U[0,+°0)；

(2)f(ax)=V|ax+aI-a-ax>

f(依)=a=J|ax+a|-a=ax+a，

设ov+a=f20,：.7t-a=t有两个不同实数根,整理得。=LP,f20，

：.a=总0,当且仅当时，方程有2个不同实数根，

又aWO,的取值范围是(0,"!)；

4

(3)当x2-a时，/(x)=V|x+aI-a--r=Vx-x=-(Vx在&+8)上单调递减，

此时需要满足-aN」，即a式」，函数/(x)在[-a,+°°)上递减；

4―4

当尤<-a时，f(尤)—V|x+aI-a-x—V-x-2a-x，在(-8,-2a］上递减，

Va<_i<0,/.-2a>-a>0,即当。4一时，函数/(x)在(-8,-a)上递减.

综上，当ae(-8,-1］时，函数/(X)在定义域R上连续，且单调递减.

【点评】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，

考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题.

6.(2021•上海)已知尤1,X26R,若对任意的X2-X1&S,f(X2)-f(xi)eS,则有定义：f(x)是在S关

联的.

(1)判断和证明/(无)=2尤-1是否在［0,+8)关联？是否有［0,1］关联？

(2)若/(%)是在｛3｝关联的，f(x)在彳(0,3)时，f(x)=7-2无，求解不等式：2勺(尤)W3.

(3)证明：于(x)是｛1｝关联的，且是在［0,+8)关联的，当且仅当“/(x)在［1,2］是关联的”.

【分析】(1)任取X1-X2H0,+8),证明y(xi)-f(X2)G［0,+8),证明了(无)=2尤-1在［0,+8)

关联，取无1=1,X2=O,证明无)在［0,1］不关联；(2)先得到/(x+3)-f(x)=3,再得到尤6［0,3)

和尤43,6)的解析式，进而得到答案；(3)先证明了(x)在｛1｝是关联的盟5)是在｛1｝关联的，且是在

［0,+8)关联的，再证明/(x)在［1,2］是关联的可(无)是在｛1｝关联的，且是在［0,+8)关联的.

【解答】解：(1)/(%)在［0,+8)关联，在［0,1］不关联，

任取X1-X2H0,+8),则/(XI)-/(X2)=2(X1-X2)£［0,+8),：.f(x)在［0,+oo)关联；

取Xl=l,X2=0,则Xl-X2=le［0,1］,

V/(xi)-f(X2)=2(xi-X2)=2g［0,1］,：.f(x)在［0,1］不关联；

(2)V/(x)在｛3｝关联，，对于任意X1-X2=3,都有/(xi)-f(X2)=3,

对任意尤，都有/(x+3)-f(x)=3,

由xe［0,3)时，f(x)=/-2x,得/(x)在尤［0,3)的值域为［-1,3),

：.f(x)在疣［3,6)的值域为［2,6),

；.2W/(x)W3仅在底［0,3)或在［3,6)上有解，

xe［O,3)时，/(x)=7-2x,令2WX2-2xW3,解得我+lWx<3,

xe［3,6)时，f(x)=/(x-3)+3=/-8x+18,令2W/-8尤+18W3,解得3WxW5,

不等式2守(x)W3的解为［«+1，5］,

(3)证明：①先证明：/(x)是在｛1｝关联的，且是在［0,+8)关联的可(》)在口，为是关联的，

由已知条件可得，f(x+1)=f(x)+1,

:•/(%+〃)=f(x)+〃,nGZ,

又是在［0,+8)关联的，

任意X2>X1,f(X2)>f(XI)成立，

若1Wx2-xiW2,

.,.尤1+1Wx2(尤1+2,

**./(xi+1)Wf(xi)'(xi+2),即/(xi)+1W/(尤2)W/(xi)+2,

1W/(X2)-f(xi)W2,

：.f(x)是［1,2］关联,

②再证明：/(x)在［1,2］是关联的R(无)是在｛1｝关联的，且是在［0,+8)关联的，

'：f(x)在［1,2］是关联的，.•.任取XI-X241,2］,都有/(xi)-f(X2)6［1,2］成立，

即满足1Wxi-X2W2,都有-f(x2)W2,

下面用反证法证明了(x+1)-f(x)=1,

若/(x+1)-/(x)>1,则/(x+2)-f(x)=/(x+2)-/(x+1)+f(x+1)-f(x)>2,与/(无)在［1,

2］是关联的矛盾，

若/1(尤+1)-f(x)<1,而/(x)在［1,2］是关联的，则/(x+1)-f(x)21,矛盾，

：.f(x+1)-f(x)=1成立，即了(无)是在｛1｝关联的,

再证明了(X)是在［0,+8)关联的，

任取X1-X2H%+8)(〃eN),则存在〃eN,使得任取xi-X2e|n,n+\］(aeN),

(w-1)-X2W2,

."./［A'1-(n-1)］-/(X2)—f(xi)-(n-1)-f(X2)G［L2］,

(XI)-f(X2)U［",w+l］C［0,+8),

：.f(x)是在［0,+8)关联的；

综上所述，/(x)是｛1｝关联的，且是在［0,+8)关联的，当且仅当“了(无)在口，2］是关联的”，

故得证.

【点评】该题考查了函数求解析式，解不等式，函数恒成立的知识，对学生逻辑推理能力提出了很高的要

求，属于难题.

©【三年自主招生练】

—.填空题(共4小题)

y

1.(2020•上海自主招生)若/G)=/-1,则/(/(X))的图象大致为

【分析】求出了"(无))的解析式，并判断奇偶性，利用导数求出x>0时的单调性，由对称性即可作

出大致图象.

【解答】解：/(/(x))=(x2-1)2-1—X1-2X2,

令g(x)—x4-2X2,g(x)=0,可得或0,

由g(-无)=g(无)，可得g(x)为偶函数，

当尤20时，g'(x)=4x3-4x—4x(x+1)(尤-1),

尤e(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

尤e(1,+8)时，g'(无)>o,g(无)单调递增，

由偶函数关于y轴对称，可得了"(无))的图象大致为

故答案为：

【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题.

2.(2020•上海自主招生)函数/(x)的定义域为(0,1).若ce(0,1),则函数g(x)=f(x+c)+f

2

(X-c)的定义域为(c,1-c)

【分析】由题意可得，U0[Xx+c1结合。的范围解不等式可求.

0<x-c<1

0"CY+C1

【解答】解：由题意可得，,/,

,0<x-c<l

Mr〃目(一C<X<1-C

解可得，,

c<x<1+c

因为0<c<』，

2

所以-C<C<1-c<l+c,

所以C<X<1-c.

故函数的定义域(C,1-C),

故答案为：(c,1-C)

【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础试题.

3.(2020•上海自主招生)设函数/(X)=3工-3一£的反函数为y=/-i(x),则g(x)=/-1(x-1)+1在

[-3,5]上的最大值和最小值的和为2.

【分析】由-3WxW5,可得-4WX-1W4,令-4W/(x)W4,结合函数/(x)的单调性可得此时

log3(V5-2)<x<log3(V5+2)-再由反函数的性质即可得解•

【解答】解：由-3WxW5,可得-4Wx-1W4,

令-4W/(%)W4,由f(x))=3X-3%单调递增可得，-243'42力/^，

log3(V5-2)4x《log3(遥+2>

g(x)在[-3,5]上的最大值与最小值之和为

l+log3(V5-2)+l+log(V5+2)=2+log[(V5-2)(而+2)]=2，

故答案为：2.

【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题.

4.(2020•上海自主招生)已知/(%)=asm(2TIX)+Z?cos(2ux)+csin(4nx)+Jcos(4TLX),若

f弓+x)+f(x)=f(2x>则在〃，b,c,d中能确定的参数是a=b=c=d=0.

【分析】先令x=0和冗=工可得》=d=0,再由f(3+x)+f(x)二f(2x)得到。=。=0・

【解答】解：令x=0,f=d-b=03d=b，

令=f号)+fg)=fg)=0》-2d=0=>b=d=C，

1

f-

2x+csin4兀x,f(2x)=asin4兀x+csin8兀y

1

f-

2+x)+f(x)=f(2x)=2csin4兀x=asin4兀x+csin8兀x=(2c-a)sin4兀x=2csin4兀xcos4兀】

所以sin4itx(2c-a-2CCOS4TLX)=0恒成立,

所以2c-a—1c—0=^a—c—Q,综上所述a=b—c—d—Q.

故答案为：a=b=c=d=0.

【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的应用，考查二倍角公式，属于中档题.

二.解答题(共2小题)

5.(2022•上海自主招生)偶函数/(%)满足/(x+4)=/(无)+2/(2),求/(2022)的值.

【分析】由偶函数的定义和赋值法，可得/(2)=0,推得/(x)的周期，计算可得所求值.

【解答】解：偶函数/(x)满足/(x+4)=f(x)+2f(2),

令工=-2,贝!(2)=/(-2)+2f(2),

即/(2)+f(-2)=0,

又/(-2)=/(2),可得/(2)=0,

所以/(x+4)—f(%),

即/(x)的最小正周期为4,

所以/(2022)=/(4X505+2)=/(2)=0.

【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

6.(2020•上海自主招生)已知实数羽y满足/+2孙=1,求/+/最小值.

【分析】先把y用x表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可.

c2

【解答】解：因为7+2孙=1(xWO),故y=1X,

所以x2+y2=x2+(土£)22+(」__&)2=且2T_工》2m2>工=_=恒一工

k722

丫、2xJ2x244x4x2222

4

当且仅当x=l等号成立,

5

所以/+/最小值为恒」.

22

【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

O【最新模拟练】

一.选择题（共10小题）

1.（2022•松江区二模）下列函数中，与函数y=/的奇偶性和单调性都一致的函数是（）

A.B.y=x+siarC.y=2国D.y=tanx

【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断.

【解答】解：因为函数为奇函数，在R上单调递增，

y=/为偶函数，不符合题意；

y=x+sinx为奇函数，且V=1+85无20恒成立，即在R上单调递增，符合题意；

y=2用为偶函数，不符合题意；

y=tanx在定义域上不单调，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题.

2.（2022•黄浦区校级模拟）下列函数定义域为［0,+8）的是（）

A.y=-l.B.y—lnxC.y=VxD.y=tanx

【分析】根据反比例函数、对数函数、塞函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.

【解答】解：对于A,函数的定义域为（-8,o）U（0,+8）,

对于8,函数的定义域为（0,+8）,

对于C,函数的定义域为［0,+8）,

对于。，函数的定义域为|He兀,k€Z］•

故选：C.

【点评】本题考查了函数定义域的求法，是基础题.

3.（2022•虹口区二模）函数y=A尤）是定义域为R的奇函数,且对于任意的xlWx2,都有三R止!£i^_<1

xl-x2

成立.如果/（机）>m,则实数机的取值集合是（）

A.{0}B.{m|m>0）C.{m|m<0}D.R

【分析】结合已知可构造函数g（x）=于3-x,然后判断函数g（x）的单调性及奇偶性，结合单调性及

奇偶性即可求解.

【解答】解：令g（x）=/（尤）-X,

因为/（X）为奇函数，

所以g（x）为R上的奇函数，不妨设X1<X2,

由‘‘XI'―（X2）<1成立可得/（XI）-f（X2）>X1-XI,

xl-x2

即/'（尤1）-Xl>f（X2）-XI,

所以g（XI）>g（X2）,即g（x）在R上单调递减，

由/（机）>机得g（机）>0=g（0）,

所以m<Q.

故选：C.

【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题.

4.（2022•黄浦区校级模拟）已知不等式p：ajr+bx+c<0（aWO）有实数解.结论（1）：设尤i,X2是p的

两个解，则对于任意的xi,X2,不等式X]+x2<■和X]•乂2<£恒成立；结论（2）：设xo是p的一个

解，若总存在尤0,使得axj-bxo+cVO,则c<0,下列说法正确的是（）

A.结论①、②都成立

B.结论①、②都不成立

C.结论①成立，结论②不成立

D.结论①不成立，结论②成立

【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选

项.

【解答】解：当a<0且A=/-4ac<0时，p：ax2+bx+c<0（tz#O）的解为全体实数，

故对任意的尤1,XI,%1+尤2与卫的关系不确定，

a

例如：p：-W+Z尤-2<0,取xi=l,X2—4,而一^=2，

a

所以x,-xc=4>£=2,故结论①不成立・

1/a

当a<0且A=b2-4〃c>0时，p：«x2+ta+c<0的解为或x）q]，

其中p,q是ax2+bx+c=0的两个根.

当xoVp,-xo>〃时，axg2-bX|-|+c<C0,但。值不确定，

比如：p：-X2+X+2<0,取刈=-3,

则-XC2-XC+2<0，但C>0，故结论②不成立・

AC|AH、u

故选：B.

【点评】本题考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题.

5.(2022•浦东新区校级模拟)定义在R上的连续函数/(九)，g(x)满足Vx,yCR,f(x+y)=f(x)g

(y)(V)g(x),g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),g(2x)—2[g(x)]2-1,则下列关于f(%),

g(x)的命题：

①g(x)>f(x)恒成立；

@f(x)一定是奇函数，g(x)一定是偶函数；

③g(2x)±f(2x)=\f(x)±g(x)]2；

®(x),g(x)一定是周期函数.

其中真命题的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【分析】合理利用赋值法，结合函数的基础性质，逐项进行判断即可求出结果.

【解答】解：由题意令》=%,可得/(2x)=2f(x)g(x),g(2x)=\f(x)产+盘(%)/2o,

■:g⑵)=2[g(x)]2-1=|/(x)]2+[g(x)]2,・・・[g(x)]2=|y(x)]2+l,

:・g(x)=«[f(x)]2+1>，(x)(入)，故①正确；

由①得g(X)21,由g(0)=2[g(0)]2-1,解得g(0)=1或g(0)=-1,

2

由g(0)21,可得g(0)=1,

由/(0)=2f(0)g(0)=2f(0),可得/(O)=0,

令y=-x,则/(0)=f(x)g(-x)4/(-%)g(%)=0，

g(0)=f(x)/(-x)+g(x)g(-x)=1,

两式相加可得：

f(0)+g(0)=f(x)g(-x)-+/(-x)g(x)+于(x)/(-x)+g(x)g(-%)

=\f(x)+g(x)][f(-X)+g(-X)]=l=[g(x)]2-[/*(x)]2=丁(x)+g(x)][g(x)-f(x)],

.*./(x)4/(-X)=g(X)-g(-X),

又由/(0)=f(x)g(-x)+f(-x)g(x)=f(%)[g(-x)-g(x)]=0,

，g(-x)=g(x),「.g(x)为偶函数，

(x)-+/(-x)=0,.*./(-x)=-/(冗)，/./(x)是奇函数,故②正确;

Vg(2x)±f(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2±2/(x)g(x)=[f(%)土g(x)]2,故③正确；

函数/(x)TW,g(x)=e'+eF满足条件,但他还是周期函数，故④错误.

22

故选:B.

【点评】本题考查了抽象函数的应用，以及函数的基本性质的综合应用，合理运算赋值法和函数的基本性

质进行推理判定是解答的关键，是中档题.

6.(2022•青浦区校级模拟)已知y=/(x)与y=g(x)皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意x€R,

f(x)<g(无)恒成立，且y=/(x)与y=g(x)的反函数y=fi(x)、y=g1(x)均存在，命题尸：”对

任意xCR,/1(无)>gi(尤)恒成立"，命题。：“函数y=/(x)+g(无)的反函数一定存在”,以下关

于这两个命题的真假判断，正确的是()

A.命题尸真，命题。真B.命题P真，命题。假

C.命题P假，命题。真D.命题尸假，命题。假

【分析】利用反函数的定义和图象关于直线y=x对称.可举例说明得答案.

【解答】解：已知y=/(%)与y=g(无)皆是定义域、值域均为R的函数，

若对任意x€R,f(x)<g(尤)恒成立，且>=/(无)与y=g(x)的反函数>=尸1(无)、y=g-i(无)均存

在，

则函数设y=/(x)的图象在y=g(x)图象的下方，由图象均关于y=x直线对称，其反函数〉=尸](尤)、

y=g~l(x)均存在，

命题)：对任意xCR,f(x)<g(尤)恒成立，/1(x)>g1(x)不一定恒成立”由图象关于y=x直线对

称可知P是错误的.

(x-1,x6(-8,01IJT1,+8)

命题Q-.因为对任意xGR,/(x)<g(尤)恒成立，设/⑴=<'juL",g

-X,x€(0,1)

(x)=x,符合题意要求，

,zxr、2x-l,x€(-8,0]u[1.+8)年后7新

f(x)+g(x)=4_无反函数.

o,x€(o,1)

故选：D.

【点评】本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

7.(2022•普陀区二模)已知定义在R上的偶函数/⑴，满足，(尤)]3-[/,(%)产-小⑴+/=0对任

意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数g(x)=|x-利-|xT|,<1),若对任意的X]£(-2,/■)，

存在X2>X1,使得g(X2)=/(XI)成立，则实数"Z的取值范围为()

A.[-6,1)B.[9，-A]C.[0,1)D.[4，0]

'1,x<-1

【分析】先根据函数/(%)满足的关系式及奇偶性，值域，得到f(x)=<|x|,-1<X<1,再写出

1,x>1

"m-1,x<Cm

g(x)=<2x-m-l,irigx《l,同一坐标系中画出两函数图象，结合当x>l时，g(x)=-m+1^1及

-m+1,x〉1

xE(-OO,时，g(x)的图象要位于/(x)的下方，得到g),求出实数机的取值范围.

【解答】解：\f(x)]3-[/,(尤)]2-X2/(x)+/=0变形为I⑴-/][/■(%)-1]=0,

所以/(%)=1或/(X)=/,即/(%)=1或/(X)=仇|,

因为/(%)为偶函数，且值域为[0,1],

T,x<-1

所以f(x)=,|x|,T<x<l,

1,x>1

m-1,x<m

因为小VI,所以g(x)=|x-m|Tx-1|=<irr^x^1,

-m+1,x>1

要想满足若对任意的X]€(-2,5■)，存在X2>X1,使得g(X2)=/(XI)成立,

则当x>l时，g(x)=-m+1^1,所以MWO,

且xC(-8,-^)时，S(X)的图象要位于/(x)的下方，

故只需g(点)《f8)，即解得：

综上：实数根的取值范围是[4，0]-

故选：D.

【点评】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参

数的取值范围.

8.(2022•黄浦区校级模拟)已知定义在［0,10)的函数/(%),满足：f(x+2)=f(x)+a,f(x)在［0,

04x41

2)上的解析式为/(x)=,,设无)的值域为A.若存在实数6,使得AUg,b+3］,

l<x<2

则。的可能取值为()

A-nB-9c-4D-4

【分析】先求出当时，/(x)的值域，从而得出了(尤)在［0,10)的取值情况，根据条件参数。满足

的不等式，求出参数。的范围，然后同理讨论。=0,的情况，从而得出答案.

【解答】解：当a>0时，当xe[0,1]时，f(x)——+],则曳+l<f但)<2+1，

x+232

当在(1,2)时，f(X)4X+L则^■+1.<f(X)<^~+L

ooo

所以xe[0,2)时，()<—+1-

3x3

由尤+2)=/(尤)+a,则无e[2,4)时，()<—+P

3x3

则"1%6)时，(x)<_^~+L

oo

所以则xe[8,10)时，—+i<f(x)<—+?

33

b+3)峥+1

o

由则存在实数6,使得b+3］,即存在实数6使得”b<y+l,解得

.13

券+1-住+1)43

由上可知，当。=0时，f(x)的值域为4={1},显然满足题意.

当a<0时，当阳0,11时，£6)$+1，则5+l(f(x)43+l，

X十/No

当(L2)时,f(x)*x+L则卷~+1<f(x)<■^■+1，

OOO

所以底[0,2)时，-^-+i<f(x)<—+p

33

同理可得，当底[8,10)时，坦+i4f(X)<&+1，

33

b+3)q+l

-14a,

由则存在实数儿使得AUg,b+3],即存在实数人使得，b<^-+l,解得a>_A,

o“13

a•(/14a_

石+1-(工一+1)43

oo

所以满足条件的a是范围：

1313

故选：A.

【点评】本题考查了分情况讨论求函数值域结合基本不等式，属于中档题.

9.(2022•上海模拟)已知定义域为[-5,5]的函数/(%)的图像是一条连续不断的曲线，且满足了(-X)

f(Xo)f(x)

+f(x)=0.若Vxi,(0,5],当尤1<X2时，总有---->-""则满足(2m-1)/(2m-1)W

X1x2

(m+4)f(m+4)的实数机的取值范围为()

A.[-1,1]B.[-1,5]C.[-2,3]D.[-2,1]

【分析】根据条件判断函数了(x)的奇偶性，然后构造函数g(x)=xf3,判断函数g(x)的单调性和

奇偶性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.

【解答】解：由/(-X)(X)=0得/(-%)=-/(X),即/(%)是奇函数，

f(X)f()

若Vxi,X2G(0,5],当X1〈X2时，总有-------〉----x-5—成立，即可(X2)>xif(XI),

X1x2

设g(x)=xf(x),则g(X2)>g(xi),即此时g(x)为增函数，

V/(x)是奇函数，(x)=xf(x)是偶函数，

则不等式(2m-1)/(2m-1)W(m+4)f(m+4)等价为g(2m-1)Wg(m+4),

即g(|2m-1|)Wg(|m+4|),

"-5<2m-l<5r-4<2ir<6’-2式1?^3

即<-54m+445得<,得<1

12m-1I4Im+4I、4m2-4m+l《m2+8m+16m2-4m-540

'-2式irt^3

得卜9<n<l，得-IWMWI,即实数机的取值范围是[-1,1].

-l=CirtC5

故选：A.

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的

性质进行转化是解决本题的关键，是中档题.

10.(2022•浦东新区校级二模)记加〃{〃，6}实数m人中较小的数，函数/G),gG)的定义域都是R,

则”/(x),g(尤)都是偶函数”是“函数尸(无)=min(f(x),g(无)｝为偶函数”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【分析】根据切质｛a,切的定义，结合函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行分析求解，即

可得到答案.

【解答】解：因为/(尤)，g(%)都是偶函数，所以-无)=/(尤)，g(-x)=g(尤)恒成立，

根据偶函数的对称性可知，函数尸(x)=根沅"(尤)，g(无)｝也关于y轴对称，即尸(x)为偶函数成立，

故充分性成立；

若函数尸(无)(x),g(x)｝为偶函数，则/(%)与g(x)不一定都是偶函数，

例如：f(x)=|尤|为偶函数，g(x)=-2x,x<0,偶函数，满足P(x)=min｛f(x),g(x)｝为偶函数，

但是g(x)=-2无，x<Q,不是偶函数，故必要性不成立，

所以7(x),g(x)都是偶函数”是“函数P(x)=min(f(x),g(x)｝为偶函数”的充分非必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了新定义问题的理解和应用以及函数奇偶性的应用,

属于中档题.

二.填空题(共14小题)

11.(2022•虹口区二模)函数f⑷的值域为俗，+8).

X

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.

【解答】解：因为1>0,

所以/(x)=x+旦22)X•旦=6,当且仅当X=3时取等号，

所以函数的值域为［6,+8).

故答案为：［6,+8).

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数最值或值域中的应用，属于基础题.

12.(2022•宝山区模拟)若几S+1)是奇函数，则4=_

【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解.

【解答】解：因为几("+1)是奇函数，

所以a-In(e^+1)=-a-In(/+1),

1+―

整理得2a=ln——=/n工=-1,

1+ee

所以a=-―,

2

经检验a=-工符合题意.

2

故答案为：

2

【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题.

13.(2022•静安区二模)函数/(x)=arccos(3-4x)的定义域是_[A,1]_.

【分析】由题意可得-1W3-4XW1,求解得答案.

【解答】解：要使原函数有意义，

则-l〈3-4xWl,解得

2

二函数/(x)=arccos(3-4x)的定义域是1].

故答案为：弓_,1].

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

14.(2022•静安区模拟)已知/(无)为R上的奇函数，且/(x)+f(2-x)=0,当-l<x<0时，f(x)

=2X,则/(2+log25)的值为_二■!_.

【分析】根据题意，分析函数的周期，由此可得/(2+log25)(log25-2)(log2A),结合函数的奇

4

偶性和解析式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，/(X)为R上的奇函数，且/(x)+f(2-x)=0,

/(2-x)=-/(x)=/(-x),变形可得/(尤+2)=/(%),即函数尤)是周期为2的周期函数，

贝I]/(2+log25)=/(log25-2)=f(log2—),

-4

f(无)为奇函数且当-l<X<0时，f(X)=2X,则/(log2—)=-/(-log2—)=-f(log2—)=-—；

4455

则/(2+log25)=-A；

5

故答案为：-4.

5

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

15.(2022•宝山区校级模拟)设实数a>0且a中1,己知函数f(x)=~~二一，则

Va+ax

f(lgV5)+f(lg(2V5))=1・

【分析】根据题意计算“X)-X),f(lgV5)+f(lg(2V5))=f(lgV5)+f(l-lgV5)

求解即可.

【解答】解：f(lgV5)+f(lg(2V5))=f(lgV5)+f(l-lgV5),

X1-XXXAf~

而f(X)+f(1-X)=---+~-：—=-----+-----------=-----k——=1，

Va+axVa+axVa+aXVaax+aVa+axax+Va

则f(1然)+£(lg(2A后))=1.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查函数的值求解，属于基础题.

16.(2022•静安区模拟)函数/(x)是偶函数，当xNO时，f(x)=2A-+2X-1,则不等式/(x)>3的解

集为(-8,-1)U(1,+8).

【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性，以及函数的单调性，即可求解.

【解答】解：•.•当尤》0时，f(x)=2x+2x-1,

.,.当x20时，f(x)单调递增，

又(尤)是偶函数，且/⑴=3,

.••不等式y(|x|)>3=/(1),即|尤|>1,解得尤>1或X<-1,

故不等式/(无)>3的解集为(-8,-1)U(1,+8).

故答案为：(-8,-1)U(1,+°°).

【点评】本题主要考查函数的奇偶性，以及函数的单调性，属于基础题.

17.(2022•宝山区校级模拟)函数无)=2，+2(aCR)为奇函数，则。=-1.

2X

【分析】根据函数是奇函数，由/(0)=0得a=-L

【解答