河南省南阳市六校2024-2025学年高二年级下册4月期中考试数学试卷（含答案解析）

河南省南阳市六校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（）

A.不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病

B.某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况

C.参加课外辅导能否提高学习成绩

D.男性和女性在职业选择偏好上是否有差异

〃Xo+Ax)-/(Xo)

2.已知函数/（尤）的导函数为了'（X）,若lim=3，则/（%）=（）

Ax->02Ax

3

A.6B.一C.D.-6

22

3.已知在等差数列｛%｝中，。5=20吗0=35,则%）)

A.50B.55C.60D.65

4.对于变量％，九其部分成对的观测值如下表所示:

X12345

y267812

已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为f=2.2x+f,则©=

)

A.0.2B.0.4C.0.8D.1.2

5.函数/卜）=3+%2的图象在、=0处的切线方程为（）

A.y=2x+lB.y=x+2

C.y=x+lD.y=2x+2

6.小明每年末存入银行1000元，年利率为5%,按复利计算,第6年初他的总存款的本息

和约为（）（参考数据：1.055*1.27628）

A.5000元B.5526元C.5856元D.6000元

7.四川舰是我国自主研制建造的076型两栖攻击舰首舰，是全球首次采用电磁弹射技术的

试卷第1页，共4页

两栖攻击舰.某电磁弹射装置竖直向上弹出一个物体，由于自带动力装置，该物体上升的高

,、'50z-2?2,0<?<10

度h（单位：m）与时间，（单位：s）的函数关系为人&）=_,则该物

/UlllIL7IIJUU,L――1

体在竖直方向上的瞬时速度的最大值为（）

A.20m/sB.42m/sC.50m/sD.300m/s

8.已知数列｛qj满足为=2,且4+1=a.+3〃+2（〃21）,则%o=（）

A.182B.173C.164D.155

二、多选题

9.2025年，我国大力推进新能源汽车行业发展.某研究机构对10个城市的“公共充电桩密

度”x（单位：个/kn?）和“新能源汽车通勤效率提升率“V%进行统计分析，计算得到线性

回归方程为f=0.8x+0.5,样本相关系数r=0.92.则下列说法正确的是（）

A.公共充电桩密度每增加1,新能源汽车通勤效率提升率大约增加0.8%

B.公共充电桩密度与新能源汽车通勤效率提升率呈高度正线性相关关系

C.若某区域的公共充电桩密度为5个/kn?,可预测其新能源汽车通勤效率提升率为

4.5%

D.因为r=0.92,所以可认为新能源汽车通勤效率提升率由公共充电桩密度决定

10.下列求导正确的是（）

A.若"x）=2*,则/'（x）=2i

B.若/（尤）=sinxcosx,则/'（x）=cos2x

C.若〃x）=j则/（x）=?

ee

...1…、lnx+2

D.右/3=%2加，则/（%）=2G

11.设｛4｝和｛£｝是两个不同的无穷数列，且均不是常数列.记集合屈=的耿=%｝,则下

列结论中正确的是（）

A.若｛%｝和抄，均为等比数列且公比相同，则M为空集

B.若｛与｝和｛"｝均为等差数列且公差不同，则M中可能有无穷多个元素

C.若｛6｝为等差数列，｛，｝为等比数列，则”中最多有3个元素

试卷第2页，共4页

D.若｛%｝为递增数列，｛，｝为递减数列，则河中最少有1个元素

三、填空题

12.2024年，杭州某科技公司研发的智能扫地机器人销量持续增长.已知该产品2024年前七

个月的月销量（单位：万台）与月份I的函数关系为/。=2/+3/,则1月到3月月销量的

平均增长率为万台/月.

13.已知数列｛0｝满足%=3,且贝-

,、180

14.已知数列｛g｝的通项公式为%=〃（〃+1）（〃+2）（〃+3），函数

3

/（x）=atx+吁2+a3x+…+anx"在x=1处的导数为/'⑴，则使得/■'⑴214的正整数〃的

最小值为.

四、解答题

15.记S“是等差数列｛%｝的前〃项和，已知。3=4风=54.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵求数歹!]｛%+2%｝的前n项和7；.

16.某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用

户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下

（单位：个）：

学校企业自由开发者

有需求3m1702n

无需求m120n

已知调查了400个学校和150个自由开发者.

⑴求加和"的值；

（2）估计目标用户对该设备有需求的概率；

（3）是否有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异?

试卷第3页，共4页

2

2_n(ad-be)

附:”(a+b)(c+d)(〃+c)3+d)

0.10.010.001

k2.7066.63510.828

17.某健身俱乐部为了研究会员每周锻炼时间》(单位：h)与体重减少量p(单位：kg)

的关系，随机选取了5名会员进行跟踪调查，得到以下数据：

55555_

X%=30，Z%=14,2%2=210,2%2=46,2%％=96,7.14

z=l1=1z=lz=li=l

(1)求每周锻炼时间X与体重减少量V的样本相关系数『；(保留两位小数)

(2)求体重减少量了关于每周锻炼时间x的线性回归方程，并估计当某会员每周锻炼时间为

8h时的体重减少量.

-可(％-用

参考公式:相关系数厂=Z=1在线性回归方程9=晟+a中,

b=上一；----------,a=y-5x.

ta-可2

Z=1

18.已知数列｛%｝的前〃项和S“满足S“=2a”-3.

(1)求｛%｝的通项公式；

〃+2(、

⑵若27——,求数列也｝的前”项和小

an

(3)在(2)的条件下，若他,+37；28对任意“eN*恒成立，求实数上的取值范围.

19.在数列｛%｝中，已知q=2,且当〃为奇数时，。7=3%+1；当〃为偶数时，%=2%.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵求｛%｝的前”项和S.；

(3)设a=枭，若集合M=｛"也24中恰好有3个元素，求实数X的取值范围.

试卷第4页，共4页

《河南省南阳市六校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BADBCBCDABCBCD

题号11

答案AC

1.B

【分析】根据独立性检验的基本思想，即可判断选项.

【详解】独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性，

ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化

情况，不满足独立性检验的基本思想.

故选：B

2.A

【分析】根据函数在某点处的导数定义即可.

［详解］/(x0)=lim"小一)-/(无。)=2丽/乐+一).乜

故选：A

3.D

【分析】根据等差数列的基本量运算求解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为"，由阳-%=5d=15,得d=3,

・•=々io+1Od=35+30=65.

故选：D.

4.B

【分析】根据回归直线方程必过点(鼠歹)，代入即可求解.

_1+2+3+4+5°_2+6+7+8+12=

【详解】由条件可知,x=------------------=3,y=---------------------=7,

线性回归方程必过点伍力，所以2.2x3+0=7,所以&=0.4.

故选：B

5.C

【分析】求得;''(x)=ex+2x,得到厂(0)=1,且"0)=1,结合直线的点斜式方程，即可

求解.

答案第1页，共10页

【详解】由函数1(x)=e'+x2,可得r(x)=e，+2x,则/'(0)=1,且〃0)=1,

即切线的斜率为左=1,切点坐标为(0,D

所以/'(x)=e，+x2的图象在x=0处的切线方程为丁-l=lx(x-0),即y=x+l.

故选：C.

6.B

【分析】由复利定义结合等比数列前n项和公式即可计算求解.

【详解】由题可得按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为

1_10勺51_1

1000(1.054+1.053+1.052+1.051+1.05°U1000x~«1000x--------^^5525.6»5526

、)1-1.050.05

元.

故选：B

7.C

50-4^,0</<10

【分析】根据条件可得〃'«)=_22_彳〉10,再利用导数的物理意义，即可求解.

「“八’1八f50-4/,0</<10

/、50%—2%,0(，<10，/、

【详解】因为人⑺=〈/、，则〃(。二〈20，

V720111”9)+300/210V7J言/210

易知，当04/<10时，(10,50],当此10时，〃(/)e(0,20],

所以该物体在竖直方向上的瞬时速度的最大值为50m/s,

故选：C.

8.D

【分析】根据题意，由累加法求出通项。“，进而求得答案.

【详解】因为%+i=%+3”+2,则%+「%=3"+2,

-=3-1)+2,

a,T—a“一2=3(〃—2)+2,...,%[=3x1+2,

将这”-1个式子相加,可得(%+-a“_2)+L+(出-%)=30+2+L(n-l))+2(n-l),

化简得C=3X5T)(；T+1)+2(t，又q=2,

3n2+n3x100+10

贝!j%o==155.

22

答案第2页，共10页

故选：D.

9.ABC

【分析】A选项利用回归方程斜率的意义进行判断；B选项利用相关系数进行判断；C选项

利用回归方程进行计算即可；D选项理解相关关系与因果关系的区别进行判断.

【详解】对于A,回归方程f=0.8x+0.5中，斜率0.8表示公共充电桩密度每增加1,新能源

汽车通勤效率提升率大约增加0.8%,故A选项正确；

对于B,样本相关系数r=0.92,绝对值接近1且为正，

说明两者呈高度正线性相关关系，故B选项正确；

对于C,将x=5代入回归方程，得？=0.8x5+0.5=4.5,

即可预测其新能源汽车通勤效率提升率为4.5%,故C选项正确；

对于D,相关系数高说明相关性强，但不能直接推断因果关系，

即不能推断新能源汽车通勤效率提升率由公共充电桩密度决定，故D选项错误.

故选：ABC.

10.BCD

【分析】根据导数公式和导数运算法则逐一计算即可判断.

【详解】对于A,若f(x)=2，，则r(x)=21n2,故A错误；

对于B,若/(x)=sinxco&x,则/''(x)=cos?x-sin?x=cos2x,故B正确；

对于C,若=〃力=三£=(子,故C正确；

一什1Inxy/xInx22+Inx,乙一十心

对于D,右1nx’/(耳=而+:二二2'故口正确.

故选：BCD

II.AC

【分析】根据通项公式特征结合方程解的个数即可判断A、B选项，根据函数的图像特征即

可判断C、D选项.

【详解】对于A,｛6｝和｛4｝均为等比数列且公比相同，设公比为4,且。产仇，则氏=%/-，

4=贴)显然。，产”,所以M为空集，故A正确；

对于B,｛。“｝和也｝均为等差数列且公差不同，设。“=%+(〃-1)4，4=4+5-1)4,且

答案第3页，共10页

《凡若黑=*,则〃=9匚与+1,因为〃eN+,所以河中最多只有一个元素，故B错误;

%-q

对于C,设。“=如+6,b.=bqi,若。，=4，则依+6=如，

若4>0且#1时，也｝分布在y=如2图象上，｛%｝分布在y=加+b图象上，根据y=瓦q"一

^y=kn+b图象，可得关于"的方程初至多有2个不同的解，

若q<0且#-1时，低｝分布在夕=±6也尸图象上，｛%｝分布在>=初+6图象上，根据

>=±4|«尸与y=加+b图象，可得关于〃的方程初+6=±々同1至多有3个不同的解，所

以可得C正确；

对于D,｛与｝为递增数列，｛2｝为递减数列，则两数列的图象至多有一个交点，则W中最

多有1个元素，故D错误.

故选：AC

12.11

【分析】根据平均增长率即可求解.

【详解】由题意可得1月至I」3月月销量的平均增长率为1（3）一/⑴=2x9+3x37=]],

3-12

故答案为：11

⑶2

112

【分析】由递推关系结合。1=3,确定%N0,再对递推关系取倒数可得一=-+—,再证

a

„+i3an

明数列，工+:为等比数列，结合等比数列通项公式求数列1工+（的通项公式，再求结论.

3J[an3J

3Q

【详解】因为。用=-1，为=3,

6+6

所以在W0,。33°，…，%*0，…，

即。,产°，〃eN*,

所以+：=2—+|,又因为'+J,

%31%3J为3333

答案第4页，共10页

11八

所以一+〃eN*,

%3

11

--------1—

所以争一。=2,

一+一

an3

所以数列1为1首项为g,公比为2的等比数歹!],

3

117

所以工

+3-2T7

所以'=2n-l3

%32n-l

3

故答案为:

T-1

14.7

X

11

【分析】由条件可得做〃=90求导可得

++2)(〃+2)(〃+3)j

广(1)=q+2%+3%+•••+〃“，裂项相消法求和，代入运算得解.

180

[详解】由%=,(〃+1)6+2)(〃+3)，

、

18090(2〃+4)_11

则叫=

(«+1)(«+2)(«+3)(〃+1),+2+2)R+3)6+[),+2)什2/+3'

x=a2

因为f\)\+2tz2x+3«3x+…+〃〃度"T

所以/'(i)=q+2%+3%+…+〃学

=90岛上十£七乩11

(〃+，(〃+3(〃+2(〃+3

、

=90(--1

6(〃+2)(〃+3)7

、

1

/./r(l)>14,即90--->14,

6(〃+2)(〃+3)•J

化简整理得〃2+5〃一8420,解得〃4-/2或〃27,又〃EN*，

：.n>l,贝什的最小值为7.

答案第5页，共10页

故答案为：7.

15.⑴%=〃+l

,_M-I-7〃

⑵X小评+了+万3一Tl北

【分析】(1)根据题意，由等差数列的通项公式与前〃项和公式代入计算，即可得到结果;

(2)根据题意，由等差数列、等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)因为数列｛g｝为等差数列，设其首项为4,公差为1,

%+2d-4

q=2

由〃3=4,品=54可得＜9%+等公54,解得

d=1

贝!=4+(〃_l)xd=2+(〃_l)xl=H+1

所以数列｛%｝的通项公式为%=〃+L

(2)由(1)可知，a„=n+l,设6“=a“+2“”=〃+1+2用,

则7；=2+3+…+(〃+1)+2?+23+…+2同

由等差数列与等比数列的前〃项和公式可得7；=2+("+l)x〃+22(1-2")=2,+2+乙|4.

"21-222

16.(l)m=100,«=50

⑵旦

~28

(3)有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.

【分析】(1)根据题意列出关于心，"的等量关系式即可求解；

(2)由题设数据结合古典概型直接计算即可得解；

(3)列出列联表，计算出卡方值即可判断得解.

3m+m=400m=100

【详解】(1)由题得

+〃=150九=50

300+170+10019

(2)由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为尸=

400+290+15028

(3)列出2x2列联表:

学校用户非学校用户总计

有需求300270570

答案第6页，共10页

无需求100170270

总计400440840

零假设"°:学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异.

由表格得840(300x170-100x270)211200

乜7.863>6.635,

400x440x570x270627

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断"。不成立，

所以有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.

17.(1)0.84

22

(2)，=1、+丁3.6kg.

【分析】(1)根据相关系数厂的公式求解；

(2)根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得务,3,然后代入计算，即可得到结

果.

_15_151A

【详解】(1)由题，x=-^xi=6*了=W£乂=三，

3i=i3i=\3

£X)(%-y)=£回—四+xy)

i=li=l

s——1414

=-y2_jxi-x2_jyi+5xy=96------x30-6x14+5x6x12,

z=li=li=l55

t(一卜£2rxi+x2)=Z'；-2^^/+5x?=210-2x6x30+5x36=30,

1=1Z=1''Z=1J=1

2(乂一司2:2似_2赢+『卜2乂2_立乂+5/=46_2X若14+5x黑总，

z=l1=1''z=l1=1°°

1266

所以相关系数"而,E=面，而=°，.

(2)由(1),可得月=U=2,^=—--x6=-,

305555

所以体重减少量了关于每周锻炼时间X的线性回归方程为?=|x+|,

1t,2218

当x=8时，｝=8+彳=3.6.

估计当某会员每周锻炼时间为8h时的体重减少量为3.6kg.

18.⑴。“=3x2”；

答案第7页，共10页

（3）^>5.

【分析】（1）由题设条件结合a“=S“-Si以及等比数列的定义即可求解；

（2）由错位相减法即可求解；

（3）将恒成立问题转化为左士叫土是=3+—1对任意〃eN*恒成立，再求出3+r的最

n+2n+2n+2

大值即可得解.

【详解】（1）因为数列｛。“｝的前”项和S“满足S,=2%-3,

所以当〃=1时，1=E=24-3nq=3,

当〃N2时,%=5"-5"_1=（2%-3）-（2。"_]-3）=>1“=2%,

所以数列｛与｝是以3为首项，2为公比的等比数列，

所以数列｛。,｝的通项公式为%=3x2"T.

,7〃+2n+2

（2）由（1）bn=------=,

an3x2

所以数列｛£｝的前〃项和北=g3xJ+4x：+5xJ+...+（〃+l）x：+（〃+2）xJ,

所以;（3x^r+4x^r+5x^-+...+R+1卜\+（7+2,

乙J乙乙乙乙乙

所以

44

2+-十一(〃+2)xy<"+2n+

1--33<2'

（3）由（2）若种"+3（28对任意〃eN*恒