第01讲认识三角形（7大知识点12大典例变式训练过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义

第01讲认识三角形（7大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）典型例题一三角形的识别与有关概念典型例题二三角形的分类典型例题三构成三角形的条件典型例题四确定第三边的取值范围典型例题五三角形三边关系的应用典型例题六三角形折叠中的角度问题典型例题七三角形的高有关的计算问题典型例题八三角形高、角平分线做图问题典型例题九三角形的外角的定义及性质典型例题十三角形内角和定理的问题典型例题十一利用网格求三角形面积典型例题十二根据三角形中线求长度、面积知识点01三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；记作：△ABC，如图：其中：线段AB，AC，CA是三角形的边，A，B，C是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．【即时训练】【答案】A【分析】直接找两个三角形的公共边即可．【详解】解：三角形的公共边即两个三角形共同的边．，两个三角形没有公共边；，两个三角形的公共边为；，两个三角形的公共边为；，两个三角形的公共边为．故选．【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．【即时训练】2．（2425八年级上·浙江衢州·期末）如图，丽丽用边长为的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为．【答案】2【详解】由题意得：点F是CD的中点，即：DF=CF=DC=×4=2，同理：CE=BE=BC=2，故答案是：2．【点睛】本题主要考查三角形的面积，掌握七巧板的几何特征，是解题的关键．知识点02三角形的分类等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。【即时训练】1．（2425八年级上·浙江宁波·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B、露出的角是直角，因此是直角三角形；C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C．【即时训练】2．（2425八年级上·浙江绍兴·阶段练习）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是度，按角分，它是三角形．【答案】20锐角故三个内角度数为20，80，80，它是锐角三角形．故答案为：20，锐角．知识点03三角形的内角①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。测量法：剪角拼角法：【即时训练】1．（2425八年级上·浙江湖州·阶段练习）一个图形被信封遮住了一部分（如图），下面关于这个图形的说法，正确的是（

）

A．一定是平行四边形 B．不可能是梯形C．可能是等腰三角形 D．可能是锐角三角形【答案】D【分析】根据平行四边形、梯形、等腰三角形、锐角三角形的特点，结合所给图形逐项判断即可．【详解】解：由图可知，角和角所对的边明显不平行，因此一定不是平行四边形，故A选项错误；当这个图形为四边形且上下对边平行时，这个图形是梯形，故B选项错误；故选D．【点睛】本题考查平面图形形状的识别，解题的关键是掌握常见平面几何图形的特点．【即时训练】【答案】故答案为：．知识点04直角三角形①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC。②有两个角互余的三角形是直角三角形【即时训练】1．（2425八年级上·浙江杭州·期末）如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】由△ABC中∠ACB＝90°，∠B＝60°，可求∠A＝30°，由CD∥AB，可得∠1＝∠A即可．【详解】解：∵△ABC中∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵CD∥AB，∴∠1＝∠A，∴∠1＝30°，故选择：A．【点睛】本题考查直角三角形的性质，平行线性质，掌握直角三角形的性质，平行线性质是解题关键．【即时训练】【答案】60°．【分析】根据直角三角尺的特点，可以得到∠B的度数，再根据∠FDB=90°，从而可以得到∠α的度数．【详解】由图可知，∠B=30°，∠FDB=90°，故∠α=90°∠B=90°30°=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．知识点05三角形的外角①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图，∠ACD是△ABC的一个外角②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。【即时训练】A．60 B．40 C．30 D．20【答案】C【分析】本题考查三角形的相关知识，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题关键.先求出∠O的度数，再根据垂直的定义即可得到旋转的度数.故选：C．【即时训练】【答案】25【详解】解：如图，故答案为：25．知识点06三角形的重要线段【即时训练】

【答案】A故选：A．【即时训练】【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义：（1）根据三角形中线的定义进行求解即可；（2）根据角平分线的定义进行求解即可；（3）根据三角形高的定义进行求解即可．故答案为：；；知识点07三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【即时训练】A．22 B．26 C．35 D．45【答案】B故选：B．【即时训练】【答案】A【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．点E是的中点，故选：A．【典型例题一三角形的识别与有关概念】【例1】（2425八年级上·浙江温州·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（

）【答案】A【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解．【详解】解：如图，则是最长的边，是最长的中线，是最长的高，故选A．【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键．【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（

）对．A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可．【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC；以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB；以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD；以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC；以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形；以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形．以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC；以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形．以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形；以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB；以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE；以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE．共32对．故选：D．【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键．【答案】锐角【分析】本题考查三角形归类．利用内角度数比分别求出三个内角度数，继而得到本题答案．∵三个内角均小于，∴这个三角形是锐角三角形，故答案为：锐角．【例4】（2425八年级上·浙江温州·课后作业）如图所示，（1）图中有几个三角形？（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，再以DE为边三角形有△DEC，【点睛】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．

【答案】D【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键．∴符合题意是D选项，故选：D．【答案】6【详解】解：如图所示，连接AF，设S△AEF＝x，S△ADF＝y，即y＝2x，解得x＝2，故四边形AEFD的面积＝S△AEF+S△ADF=x+y＝6，故答案为6．【点睛】本题考查三角形的面积问题，熟练掌握同高的三角形面积比等于底边之比是解决本题的关键.【答案】20【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键．∵A是，角D是，，答：四边形的面积20．

【答案】详见解析，的图上距离为5.2厘米，实际高度为52米．【分析】先画出图形，再进行测量，最后进行转换即可．【详解】解：如图，

经测量，的图上距离为5.2厘米，因为1厘米代表10米，所以，实际高度为5.2×10=52米．【点睛】此题考查了学生动手操作能力，要求学生能熟练进行单位换算．【典型例题二三角形的分类】【例1】（2425八年级上·浙江温州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B、露出的角是直角，因此是直角三角形；C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C．【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（

）A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形【答案】C【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可．【详解】将三角形按边的相等关系，可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，将三角形按角的大小可以分为，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形，故选：C．【例4】（2425八年级上·浙江温州·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．【分析】根据三角形的分类进行求解即可．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键．1．（2425八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键．先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答．故选D．2．（2425八年级上·浙江温州·课后作业）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是，钝角三角形有个．【答案】△ACE；4.【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可．【详解】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，；△CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个.故答案为△ACE，4．【点睛】本题是考查三角形的分类．3．（2425八年级上·浙江温州·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．(1)按边分类：三边均不相等的______是不等边三角形；两条边相等的______是等腰三角形；三条边相等的______是等边三角形．(2)按角分类：都是锐角的______是锐角三角形；有直角的______是直角三角形；有钝角的______是钝角三角形．【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形．（1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案；（2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案．【详解】（1）解：按边分类，由图可知：三条边相等的是等边三角形，（2）解：按角分类，由图可知：4．（2425八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）请认真完成下列的数学活动我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？①试说明与的数量关系；【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可．（3）①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．（3）如图，

【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键．【典型例题三构成三角形的条件】【例1】（2425八年级上·浙江温州·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5；根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5．故选：C．【例2】（2425八年级上·浙江宁波·期中）小昆有四根木棒，长度分别为2，3，5，7（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列能围成三角形的是（

）A．2，3，5 B．2，3，7 C．2，5，7 D．3，5，7【答案】D【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形一一判断即可．故选：D．【答案】三角形的任意两边之和大于第三边两点之间线段最短【分析】本题考查了三角形三边关系及两点之间线段最短，是基础题型，比较简单．根据三角形的三边关系及两点之间，线段最短作答．故答案为：；三角形的任意两边之和大于第三边；两点之间线段最短．【例4】（2425八年级上·浙江温州·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可．【详解】解：根据三角形的三边关系：故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形．1．（2425八年级上·浙江绍兴·期中）下列三角形一定为直角三角形的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形三边关系，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识．该三角形是直角三角形，②符合题意；该三角形是直角三角形，③符合题意；该三角形是直角三角形，④符合题意．符合题意的有②③④．故选：C．2．（2425八年级上·浙江湖州·期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两个螺丝间的距离的最大值为．【答案】7【详解】试题分析：若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；65＜4＜6+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；62＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．考点：三角形的三边关系【答案】不能【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．∴这三条线段不能围成一个三角形．4．（2425八年级上·浙江温州·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形．火柴根数356示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形(1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？(2)8根、12根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长．【答案】(1)不能；(2)8根火柴能搭成1种三角形，边长分别是3，3，2；12根火柴能搭成3种三角形，边长分别是5，4，3或5，5，2或4，4，4．【分析】本题主要考查三角形的三边关系．（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形．（2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形．【详解】（1）解：4根火柴只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形，故4根火柴不能搭成三角形；（2）解：8根火柴能搭1种，边长是3，3，2；12根火柴能搭3种，边长是5，4，3或5，5，2或4，4，4．示意图如下：【典型例题四确定第三边的取值范围】【答案】B【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．【详解】解：设第三边的长为，故选：B．A．3 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键．逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答．3，4，7不能组成三角形，故该选项错误；4，4，6能组成三角形，故该选项正确；3，4，7不能组成三角形，故该选项错误；2，4，8不能组成三角形，故该选项错误；故选B．∵，，是三角形的边长，【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握三边关系，绝对值的非负性；（1）根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解即可；1．（2425八年级上·浙江温州·阶段练习）将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D观察四个选项可知，只有选项D符合，故选：D．（）根据三角形的三边关系，写出的取值范围：．【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解；（）根据三角形的三边关系即可求解；本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．故答案为：不符合；符合；不符合；【分析】本题考查三角形三边关系，考察推理能力与计算能力，属于中档题．(1)若的长是偶数，求的长；【答案】(1)的长为4或6(2)【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理：（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；因为的长是偶数，所以的长为4或6．【典型例题五三角形三边关系的应用】A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案．故选：D．【例2】（2025·浙江湖州·模拟预测）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（

）A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q【答案】D【分析】本题考查线段的性质，三角形的三边关系，根据两点之间线段最短，三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可．【详解】解：由图，根据两点之间线段最短，可知：的路径长小于的路径长，的路径长小于的路径长；根据三角形的三边关系，可知：的路径长小于的路径长；综上：4条路径从最短到最长的正确排列顺序R，P，S，Q；故选：D．【答案】200（答案不唯一）【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和，可得到的范围，据此得到合理的答案即可，注意答案不唯一．故答案为：200（答案不唯一）．【例4】（2425八年级上·浙江温州·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由．【答案】不合理，理由见解析A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是掌握三角形三边关系．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．故选：C．【答案】A【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．根据三角形的三边关系即可求解．故选：A．3．（2425八年级上·浙江杭州·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（写一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键．【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为，在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为，故答案为：（答案不唯一）．4．（2425八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：规格价格/（元/根）小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根．(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？(2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？【答案】(1)4(2)108元【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用：（1）根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定出第三边的取值范围即可得到答案；（2）做成的三角形支架的周长为4的倍数，根据（1）中可选的结果，即可求解．∵是整数，∴有4种规格木棒可供选择．（2）解：设第三根木棒的长度为，∵做成的三角形支架的周长为4的倍数，【典型例题六三角形折叠中的角度问题】A． B． C． D．以上都不对【答案】C故选C．

【答案】B故选：．

【答案】94故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：连接，

【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：延长，交于点，连接，如图，故选：C．【答案】∵沿翻折，使得点C落在处．故答案为：．【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质．【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．如图，如图：【典型例题七三角形的高有关的计算问题】A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．故选：B．

【答案】A故选：A．【答案】故答案为：【答案】(1)(2)4.8【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算.（2）等积法求出的长即可．A．11 B．12 C．13 D．16【答案】A是线段上的任意一点，连接，当点与点重叠时取得最小值，最小值为12，故选：A．【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键．故选：D．【答案】3或5.5【分析】本题考查了三角形的面积计算，一元一次方程的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分三种情况讨论：①分P在上；②P在上；③P在上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．∵点E为的中点，分三种情况讨论：②当P在上时．③当P在上时，故答案为：3或．(2)用两种方法证明你的猜想．【答案】(1)C(2)见解析【分析】本题考查三角形的面积，利用割补法表示三角形的面积是解题的关键．（1）根据（2）中证明得到结论即可；故选：C；（2）方法一：将三角形面积进行表示计算方法二：利用图形的拼接与转化【典型例题八三角形高、角平分线做图问题】A． B．【答案】C【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高．本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键．【详解】故选C．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可．说法正确的有③④，共2个，故选：B．【答案】③故答案为：③．(1)在图中将图形补充完整；【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之间的关系是解题的关键．（1）根据高的定义补充图形；【详解】（1）解：如图所示．A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键．【详解】解：边的高垂直于，且过点B故选：．【答案】①③④⑤【分析】由角平分线的定义可判断①；由高的定义可判断②；由中线的定义可判断③；由中线的性质可判断④；由直角三角形的性质可判断⑤．【详解】∵∠1=∠2，∴线段AG是△ABE的角平分线，故①正确；∵由题目中的已知条件无法确定AE和BE垂直，∴线段AE不一定是△ABG的边BG上的高，故②错误；∵G点为AD的中点，∴BG是△ABD的中线，故③正确；∵BG是△ABD的中线，∴△ABG与△DBG的面积相等，故④正确；∵CF丄AD于H，∴∠AHC=90º，∴∠2+∠ACF=90º．∵∠1=∠2∴∠1+∠ACF=90º，故⑤正确．因此正确的有①③④⑤．故答案为①③④⑤．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的定义，高的定义，中线的性质，直角三形两锐角互余．熟练掌握以上定义和性质是解题的关键．

(1)画边上的高；【答案】(1)见解析；(2)．【详解】（1）如图，即为所求．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，高线的性质及三角形的内角和定理．由题意得到角间关系是解决本题的关键．4．（2425八年级上·浙江绍兴·阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．【分析】本题考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键．（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可．故答案为：；②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，故答案为：；【典型例题九三角形的外角的定义及性质】【答案】D【详解】解：如图，故选：D．【答案】B【详解】解：∵椅面与地面平行，故选：B．【答案】【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质、三角形的外角性质是解题的关键．故答案为：．【答案】详见解析【详解】解：方法一：如图①，连接．方法二：如图②，连接并延长．A． B． C． D．【答案】B【详解】解：延长交于点，故选：B．【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，分两种情况，即点在上方和点在下方两种，熟练掌握以上内容并进行推理是解题关键．【详解】解：当点在上方时，设交于点，当点在下方时，如图所示，(1)判断与的位置关系，并说明理由．(2)若比大25°，求的度数．(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．初探：再探：【答案】（1）130【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．（3）利用三角形外角的性质求解即可；（4）利用三角形外角的性质求解即可；（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1所示，连接，故答案为：；（3）解：设与交于F，（4）解：如图所示，连接，（5）解：如图51所示，如图52所示，【典型例题十三角形内角和定理的问题】【答案】B故选：B．A． B． C． D．【答案】C∵为边上的高，故选：C．【答案】/度故答案为：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和为180度结合已知条件求出的度数，再结合平行线的判定定理证明即可．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理计算解答即可．本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．故选：D．【答案】【详解】解：如图，连接，并延长至点，故答案为：．【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键．延长交于点D，如图①：

（2）连接，如图②：

根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知：

【问题提出】【问题解决】（2）如图2，点是延长线上一点，连接．【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：【典型例题十一利用网格求三角形面积】【例1】（2425八年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（

）A．5 B．6 C． D．18【答案】C【分析】本题主要考查了割补法求三角形面积，求一个数的算术平方根，利用割补法求出阴影部分面积为17，再根据正方形面积等于其边长的平方即可得到答案．∵阴影部分是正方形，∴它的边长是，故选：C．【例2】（2425八年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【详解】解：C点所有的情况如图所示，故选：D．【例3】（2425八年级上·浙江嘉兴·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是__________平方厘米。【答案】【分析】本题考查了网格求三角形的面积；有理数的混合运算的应用，根据题意将阴影部分分为三角形与长方形，再相加即可求解．【详解】解：如图所示，故答案为：．(1)画出边上的高和中线；(2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）．【答案】(1)见解析【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，（1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求；（2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可．【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求；（2）如图所示，边上的高即为所求；∵的长等于5A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个．【详解】解：如图，这样的点共有6个．故选：．2．（2425八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是．【答案】5.5平方厘米【详解】解：如图所示，∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米，∴图中每个小方格的边长都是1厘米，故答案为：5.5平方厘米．3．（2425八年级上·浙江湖州·期中）如图是一个的方格纸，完成下列任务：(1)过点画线段的平行线；(2)过点画线段的垂线，垂足为；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）结合平行线的判定与性质画图即可；（2）结合垂线的定义画图即可；（3）利用割补法求三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，直线即为所求；（2）解：如图，直线即为所求，【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10【分析】本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．故答案为10．【典型例题十二根据三角形中线求长度、面积】A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键．∵是边上的中线，故选：A．A． B．5 C．3 D．【答案】D本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．故选：D．【答案】【详解】解：如图，连接，，，D为中点，故答案为：．【答案】(1)4(2)1【分析】本题考查了三角形的中线和高线的定义，比较简单．（1）根据三角形面积公式求解即可；高的长为4．【答案】B【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键．分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可．正确，不符合题意；错误，符合题意；故选：B．【答案】【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，根据三角形的中线平分面积，结合三角形的面积公式进行求解即可．故答案为：．【答案】18【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，（3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论．解题的关键是熟练运用数形结合思想．【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示：【