五年级奥数-尾数与余数（剖析版）

第08讲尾数与余数

教学目标

立了解尾数、余数概念;

立掌握一般规律类、周期类、循环类不同情况下尾数或余数的求解方法;

6培养学生观察发现、总结妇纳的学习能力。

知识梳理

一、基本概念

1.自然数末位的数字称为自然数的尾数。

377896的尾数是6,573450的尾数是0.

2.除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

354-6=5……5,余数是5；188814-3=6293……2,余数是2.

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问

题。

二、方法技巧

解决这类问题通常需要先观察数据规律发现特征后再选择合适的方法进行解答：

1•根据题目中各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期再求问题；

2.循环小数的问题，要通过计算得出商，发现循环节是由哪几个数字组成的，有几位，周

期就是儿；

3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，还余多少，就把余下的数除以某数，就直

接求出余数了。

典例分析

考点一：分解被除数写出符合条件的除数

例1、写出除213后余3的全部两位数。

【解析】因为213=210+3,把210分解质因数：210=2X3X5X7,所以，符号题目要求的两位

数有2X5=10,2X7=14,3X5=15,3X7=21,5X7=35,2X3X5=30,2X3X7=42,一共有7

个两位数。

例2、写出除1290后余3的全部三位数

【解析】因为1290=1287+3,把1290分解质因数：1287=3X3X11X13,所以只要3,11,13

这三个数组合相乘，得到的三位数就都满足条件。符合条件的三位数有：3X3X13=117,11X

13=143,3X11X13=429o

考点二：确定一个乘积结果的尾数

例1、125X125X125X……X125[100个25]积的尾数是几?

【解析】因为个位5乘5,积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘，个位还是5,所以

这个乘积结果的尾数就是5。

例2、4X4X4义…X4[50个4]积的个位数是几？

【解析】我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4X4的个位

是6；4X4X4的个位是4；4X4X4X4的个位是6由此可见，积的尾数以“4,6”两个数

字在不断重复出现。50+2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。

考点三：确定循环类结果的数字或余数

例1、把;化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？

【解析】因为3^0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节”142857”

共有6个数字。由于100+6=16……4,所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4

个数字，是8。

例2、有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其口，从第三个数起，每个数恰好是前

两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？

【解析】这组数除以3的余数是按照2,2,1,0,1,1,2,0这8个一组的周期循环重复的，1000

・8二125,余数是0,第1000个数被3整除后所得的余数就和第8个余数相同，也就是余数

是0o

考点四：采用试除法解决余数问题

例1、555…5512001个5]+13,当商是整数时，余数是几?

【解析】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的

规律变化。

12735…

——————

13/35323033...

35

26

95

91

15

39

65

65

0

从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六人数字不断重复出现，重复周期是6o

20014-6=333……3,所以，当商是整数时,余数是4。

例2、444…4+6[100个4],当商是整数时，余数是几?

【解析】经过试除发现余数是按照2、0、4这三个数字不断重复出现，重复周期是3。1000

3=33……1,所以，当商是整数时,余数是2。

实战演练

＞课堂狙击

1、178除以一个两位数后余数是3,适合条件的两位数有哪些？

【解析】注意区别除与除以的含义。178-3=175,175=5X5X7,所以符合条件的两位数有：

25,35o

2、(21X26)X(21X26)X……X(21X26)[100个(21X26)]积的尾数是几？

【解析】除109,所以109是被除数。109-4=105,105=5X3X7,所以符合条件的两位数有5X

3=15,3X7=21,

5X7=35。

2、1.5X1.5X1.5X……XL5[200个1.5]积的尾数是几?

【解析】尾数是5,因为无论多少个5相乘,都遵循5X5=25。

3、(12X63)X(12X63)X(12X63)X……X(12X63)[1000个(12X63)]积的尾数

是几？

【解析】尾数是6,一组2X3=6,而不论多少组，都遵循6X6=36。

4、把《化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。

【解析】1+11=0.090909……结果以09为循环节，周期是2,2001+2=1000……1,所以第

2001位上的数字是0。

5、888…8+7]200个8]当商是整数时,余数是几？

【解析】经试除后发现，余数以1、4、6、2、5、2、0,重复循环出现，循环周期是6,2004-

6=33……2,所以结果的余数是4。

6、一•列数1,2,4,7,11,16,22,29,……。这列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数

比第二个数多2,第四个数比第三个数多3。依次类推，这列数左起第1992个数被5除余数是

几？

【解析】设这串数为a”a2,a,…，a叱，据题意可知：

a,=l

02=1+1

为二1+1+2

a4=l+l+2+3

a5=1+1+2+3+4

a1992=1+1+2+3+…+1991=1+(1+199)X19914-2=1+996X1991；

因为996+5=199…1,1991+5=398—1,所以996X1991的积除以5余数为1,1+996

X1991除以5的余数是2。

因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。

故答案为：2o

7、已知，甲数除以9余7,乙数除以9余5,甲数比乙数大。

（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？

（2）甲、乙两数的差除以9余数是儿？

（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？

【解析】（1）甲数和乙数的和除以9的余数与甲、乙两数分别除以9,所得的余数和除以9的

余数相等。

（5+7）4-9=1……3,余数是3。

（2）甲数减乙数所得的差除以9的余数与甲、乙两数分别除以9,所得的余数差除以9的余

数相等。

（7-5）4-9=0……2,余数是2。

（3）甲数与乙数的积除以9的余数与甲、乙两数分别除以9,所所得的余数积除以9的余数

相等。

7X54-9=3……8,余数是8。

8、1X2X...X100+1X2X....X99+...+1X2X3+1X2+1的个位数字是儿？

【解析】这个和的个位数字只取决于1+1X2+1X2X3+1X2X3X4的个位数，因为从1X2X3

X4X5开始，每项的个位数都是0,而1+1X2+1X2X3+1X2X3X4=33,所以这个式子和的

个位数字是3。

Q直击|j

1、【2015・希望杯初赛】9个13相乘，积的个位数字是

【解析】1X13个位是3,13X13个位是9,13X13X13个位是7,13X13X13X13个位是1,

发现乘积结果的个位数字（尾数）以3、9、7、1循环，周期为4。94-4=2……1,所以积的个

位数字是3。

2、【2015•希望杯初赛】如果自然数a、b、c除以14都余5,则。+b+c除以14,得到的余数

是

【解析】5+5+析15,15+14=1……1,所以得到的余数是1。

3、【2016鹏程杯】设。=1+2422+242'+……+2%2吗则。被3除的余数是______

【解析】a=l+2(1+2)+23(1+2)+2*1+2)+……+2咽(1+2),所以。被3除的余数是1。

4.[2016-华罗庚金杯小学高年级组决赛题C】n为正整数，形式为2匚1的质数称为梅森数，

例如：22T=3,

2》1:7是梅森数。最近，美国学者刷新了最大的梅森数，n=74207281,这个梅森数也是目前已

知的最大的质数，它的个位数字是

【解析】这个梅森数是27例7困一1,

2'=224=1627=128

22=425=322^256

23=82吐64...

2n的个位数字以2、4、8、6重复,循环周期为4,74207281+4=18551820……1,所以产期

的末尾数字是2,梅森数27'2。出一1的个位数字是