小学六年级奥数第23讲-周期工程问题(含答案分析)

第23讲周期工程问题

一、知识要点

周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，

首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。

其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时.间，这样才能正确解答。

二、精讲精练

[例题1]一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后

乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多

少小时？

把2小时的工作最看做一个循环，先求出循环的次数。

①需循环的次数为：1+（J+白）片＞7（次）

1Zlo0

②7个循环后剩下的工作量是：♦用4）X75

1ZlooO

③余下的工作两还需甲做的时间为：《（小时）

obINJ

④完成任务共用的时间为：2X7+|=M1（小时）

答：完成任务时需共用14小时。

O

练习1:

1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、

乙的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？

2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，

然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿

共需用多少小时？

3、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、

乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？

【例题2】一项工程，甲、乙合作26|天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交

替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮

流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？

由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还

是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲光”的轮流方式为奇数，两种轮流

方式的情况可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙g甲

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。螺线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天,

即甲的工作效率是乙的2倍。

①甲每天能做这项工程的1+265X会二

②甲单独做完成的时间1+亲=40（天）

答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。

练习2；

1、一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交

替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮

流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？

2、一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替

做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流

做要多;天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？

O

3、一项工程，甲、乙合作12卷小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这

样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交

普做，比上次轮流做要多;小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？

4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3

小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依

次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？

【例题3］一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天

数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数

后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3o甲、乙每天各做多少个？

由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还

是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流

方式的情况可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙剩60个

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、

乙工作效率的差。

甲每天做的个数为：604-(5-3)X5=150(个)

乙每天做的个数为：60+(5-3)X3=90(个)

答：甲每天做150个，乙每天做90个。

练习3：

1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。

如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后,

还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？

2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果

死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多春天才能完成。如果让甲、乙二人合作，

只需4天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？

3、红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做,

这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这

样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人

合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？

［例题4］打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，

甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工

作1小时，乙工作2小时……如此这样交替卜去，打印这部书稿共要多少小时？

根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙

都工作了3小时。

119

①每循环一次，他们共完成全部工程的（石-）X3=-

1Z+10zu

②总工作量里包含几个9/20：

9］

③甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的卜布X2=—

乙U1U

④由于白＞白，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为舄4）

_1.-1-----1

'15-4

⑤打印这部稿件共需的时间为：6乂2+1+1=13；（小时）

答：打印这部稿件共需吟小时。

练习4：

1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管,

18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟,

乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？

2、一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两

人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小

时，乙工作1小时……如此交替卜去，完成这件工作共需多少小时？

3、一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2

日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的票

为几月儿日？

4、一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时,

甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天?

【例题5］有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序

轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、

甲、乙次序做，比原计划多用:天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。

O

这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如

果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用

的天数是3的倍数余lo三种轮流方式做的情况可表示如下：

甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙£丙

丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙;甲

O

从中可以退出：丙甲：由于乙二甲一:丙二甲一,甲X），又推出乙］甲；与题中“三

个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍

数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：

甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲乙

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙1甲

丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙甲!乙

19

由此推出：丙而甲，丙丁乙

①丙队每天做这项工程的5X：4

1oZZb

193

②乙队每天做这项工程的玄♦鼻母

ii37

③甲、乙、丙合作完工需要的时间为1.（而/联）=5-（天）

答：甲、乙、丙合作要*天完工。

练习5：

1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天

完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用1天；如果按丙、甲、乙次序做，比

原计划多用;天。已知甲单犯做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、

乙、丙合作要多少天完工？

2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完

成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用;天；如果按丙、甲、乙次序做，比原

计划多用9天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、

内合作要多少天完工？

3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰

好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用;天；如果按丙、甲、乙次

17

序做，比原计划多用《天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13t天可以

完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？

4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3

小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知

池内有:池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长

0

时间后水开始溢出水池？

第23周周期工程问题

一、知识要点

周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，

首先要弄清一个循环周期的二作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。

其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。

二、精讲精练

【例题1】一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后

乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多

少小时？

把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。

①需循环的次数为：1+（5+白）器>7（次）

②7个循环后剩下的工作量是：『+白）X7《

1ZlooO

③余下的工作两还需甲做的时间为：白+白=1（小时）

on1Z6

④完成任务共用的时间为：2X7+；（小时）

JJ

答：完成任务时需共用小时。

练习1;

1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、

乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？

2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，

然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿

共需用多少小时？

3、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、

乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？

【例题2】一项工程，甲、乙合作26|天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交

替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮

流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？

由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还

是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流

方式的情况可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙g甲

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天,

即甲的工作效率是乙的2倍。

①甲每天能做这项工程的1+26,义白二

O1十/TV

②甲单独做完成的时间1+击=40（天）

答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。

练习2:

1、一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交

替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮

流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？

2、一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替

做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流

做要多J天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？

3、一项工程，甲、乙合作12焉小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这

样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交

替做，比上次轮流做要多：小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？

4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3

小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依

次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？

[例题3]一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天

数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数

后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：30甲、乙每天各做多少个？

由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还

是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流

方式的情况可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙剩60个

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、

乙工作效率的差。

甲每天做的个数为：60+(5-3)X5=150(个)

乙每天做的个数为：60：(5-3)X3=90(个)

答：甲每天做150个，乙每天做90个。

练习3：

1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。

如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后,

还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？

2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果

死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多春天才能完成。如果让甲、乙二人合作，

□

只需4天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？

3、红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做,

这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这

样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人

合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？

【例题4】打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，

甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工

作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？

根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙

都工作了3小时。

119

①每循环一次，他们共完成全部工程的（石+—）X3=—

1Zio/u

②总工作量里包含几个9/20：1+义

9

③甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-正X2=—

乙U1w

④由于白，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（白会）

JLUJL乙JLUJL乙

1----1------

,15~4

⑤打印这部稿件共需的时间为：6X2+1+；=13；（小时）

答：打印这部稿件共需吟小时。

练习4：

1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，

18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，

乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？

2、一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两

人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小

时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？

3、一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2

日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的器

为几月几日？

4、一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时,

甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？

【例题5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序

轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、

甲、乙次序做，比原计划多用;天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。

这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能移的天数必定是3的倍数余1或余2。如

果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用

的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：

甲乙丙，甲乙丙，……日乙丙，甲

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙;丙

丙甲乙，丙甲乙，两甲乙，丙鼻甲

91919

从中可以退出：丙4甲；由于乙二甲一9丙二甲一三甲,又推出乙q甲；与题中“三

个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍

数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：

甲乙丙，甲乙丙，……日乙丙，甲乙

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙1甲

丙甲乙，丙甲乙，……两甲乙，丙甲;乙

12

由此推出：丙而甲，丙而乙

乙O

①丙队每天做这项工程的白金

②乙队每天做这项工程1的赤9二七3

37

③甲、乙、丙合作完工需要的时间为1+(―+77+77)=5-(天)

iozoozy

7

答：甲、乙、丙合作要5§天完工。

练习5：

1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天

完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用彳天；如果按丙、甲、乙次序做，比

原计划多用;天。已知甲单犯做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、

乙、丙合作要多少天完工？

2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完

成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原

计划多用"天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、

丙合作要多少天完工？

3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰

好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用;天；如果按丙、甲、乙次

序做，比原计划多用5天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13?天可以

完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？

4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3

小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知

池内有:池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长

O

时间后水开始溢出水池？

答案：

练1

1、(1)需循环的次数

(2)3个循环后剩下的工作量

111

（6+W）X3=i

（3）最后由乙做的时■问

11、11,,

（———）4--=一小时

56103」」

（4）需要的总时间

11

2X3+1+-=7-小时

2、（1）需循环的次数

1二」+工）140

>8

1420

（2）3个循环后剩下的工作量

11、八4

1——（z—+—）X8—---

1420140

（3）最后由乙做的时间

412,,

丽W小时

（4）需要的总时间

22

2X8+-=16-小时

3、（1）需循环的次数

21124

3'（9>=T>3

（2）3个循环后剩下的工作量

2/1、1

§一（§+冠）X3=-

（3）最后由乙做的时间

1.13,,

———=一小时

1294J）

（4）需要的总时间

33

2X3+-=61小时

练2

1、提示：甲的效率是乙的2倍

204-2=10天

2

2、提示：乙的效率是甲的7；

1/11,3-

1・r【不X(1--)+-]=3二天

6365

2

3、提示：乙的效率是甲的鼻

1小(1・12?X—)=21小时

b3—1+3

4、(1)需几个周期

1/1、15

2(3-5)X3=T>3

(2)3个周期后剩下的水

141、1

(

2-3-5)X3=W

(3)需要的时间

1119

2X3+1+(m+g)7=7历小时

练3

1、师傅：844-(7-4)X7=196个

徒弟：84+(7-4)X4=112个

2、提示：乙的效率是甲的(1--2)=31

□□

53

-a伸XE”7天

3

3、3小时36分=39小时

3

3

师、徒效率和：1080+35=300个

o

师傅每小时的个数：(300+60)+2=180个

徒弟每小时的个数：(300-60)・2=120个

练4

1、提示：把6分钟看作一个循环

(1)每循环一次的工作量

7

(士+—)X(1+2)=—

2418

7

(2)总工作量里面有几个丁

73

1.万=37

(3)3个循环后剩下的工作量

71

一药X3=8

(4)一共需要的时间

6X3+1+g£)£=2液分钟

2、提示：把6分钟看作一个循环

(1)1个循环的工作量

9

+77)X(1+2)=

20

9

(2)总工作量里面有几个右

92

1.丽=29

3个循环后剩下的工作量

9八1

1—而义2=正

(4)一共需要的时间

111,,

6X2+W=13m小时

说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用白4-y-