中职数学一轮复习（空间点、线、面间的位置关系）含答案

9.1空间点、线、面间的位置关系【考点梳理】1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或直线在平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一个平面内，有且只有.,平行直线：同一个平面内，.)),异面直线：不同在任何一个平面内，.))(一个公共点、没有公共点、没有公共点)(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直．3．平行公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．4．等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．考点一平面的基本性质【例题】（1）下列结论正确的个数是（

）①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面；②经过两条相交直线，可以确定一个平面；③经过两条平行直线，可以确定一个平面；④经过空间任意三点可以确定一个平面．A．1B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由“过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面”可知④错误；由三个推论可知①②③正确，故选：C.（2）若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以，又因为直线b(集合)在平面(集合)内，所以.所以，故选：B.（3）下列图形中，不一定是平面图形的是．（填序号）①三角形；②四边形；③圆；④梯形．【答案】②【解析】①三角形：由平面上三个不同点首尾相连所成的图形，是平面图形；②四边形：可能为平面四边形，也有空间四边形，不一定在一个平面上；③圆：同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合所成图形，是平面图形；④梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，是平面图形；故答案为：②.（4）空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角（

）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定【答案】C【解析】如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，则这两个角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补，故选：C.（5）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为．【答案】相交【解析】在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交，故答案为：相交.（6）空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，三个平面最多将空间分成个区域，故选：D【变式】（1）设为平面，点，则下列结论正确的是（

）A．过点有且只有一条直线与平行 B．过点没有直线与垂直C．过点有且只有一个平面与平行 D．过点有无数个平面与平行【答案】C【解析】对于A，过平面外一点可作无数条直线与该平面平行，A错误；对于B，过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直，B错误；对于CD，过平面外一点有且仅有一个平面与该平面平行，C正确；D错误，故选：C.（2）下列说法错误的是（

）A．如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补C．两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面D．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥【答案】D【解析】由公理一得：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故正确；由等角定理得：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故正确；由公理二的推论可得：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面，故正确；底面是正三角形但侧棱不相等的三棱锥不是正三棱锥，故错误，故选：.（3）已知直线，，中，若//，//，则与的位置关系为.【答案】平行【解析】因为//，//，由平行直线的传递性可得，故答案为：平行.（4）若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作______.【答案】【解析】因为点Q在直线b上，b在平面内，所以可记为，故答案为：.（5）下列说法中正确的是（

）A．空间三点可以确定一个平面B．梯形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合D．两组对边都相等的四边形是平面图形【答案】B【解析】对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；对于B，梯形是一组对边平行且不相等，因此一定是平面图形，故B正确；对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，故选：B．（6）不重合的两个平面可以把空间分成（

）部分A．2 B．3或4 C．4 D．2或3或4【答案】B【解析】当两个平面相互平行时，把空间分成3部分，当两个平面相交时，把空间分成4部分，所以不重合的两个平面可以把空间分成3或4部分，故选：B.考点二空间两条直线的位置关系【例题】（1）异面直线指的是（

）A．两条不相交的直线 B．两条不平行的直线C．不同在某个平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线【答案】D【解析】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，故选：D.（2）已知异面直线a，b所成的角为，，则b与c所成的锐角是度．【答案】50【解析】在直线上取一点作，如图：，因为，所以，则相交直线所成的锐角就是异面直线所成的角，所以相交直线所成的锐角为，所以b与c所成的锐角是.故答案为：50.（3）在正方体中，直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出图象如下图所示，根据正方体的性质可知，所以是直线与所成角，由于三角形是等边三角形，所以，即直线与所成角的大小为，故选：B.（4）在正四面体中，直线与所成角的大小为．【答案】【解析】如图所示，取中点，连接，，由已知为正四面体，则，均为正三角形，所以，，所以平面，故，即直线与直线的夹角为，故答案为：.（5）如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（

）A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线【答案】B【解析】∵GH//A1B，而A1B//D1C，∴GH//D1C.又MN//D1C，∴GH//MN，由异面直线的定义可知，GH与EF异面，延长EF，MN，二者可以相交，故EF与MN为相交直线，故选：B.（6）棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为______．【答案】1【解析】如图所示，在正方体中，可得平面，平面，因为平面，平面，所以且，所以为异面直线与的公垂线，又由正方体的棱长为，可得，所以异面直线与的距离为，故答案为：.【变式】（1）若直线和没有公共点，则与的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面【答案】D【解析】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.（2）直线、确定一个平面，则、的位置关系为________.【答案】平行或相交【解析】因为直线、确定一个平面，所以、的位置关系为平行或相交，故答案为：平行或相交.（3）如图，在正方体ABCD－EFMN中，现有下列四个命题：①BM与ED平行；

②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；

④DN与BM是异面直线．其中，真命题的序号是______．【答案】②④【解析】由图可知：①直线BM与ED既不平行也不相交，故为异面直线，故不平行，错误；②直线CN与BM即不平行也不相交，故为异面直线，正确；③平面CBEN为平行四边形，且CN与BE是一组对边，故平行，错误；④直线DN与BM既不平行也不相交，故为异面直线，正确，故答案为：②④.（4）在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC､EF为异面直线，若，则异面直线BC､EF所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以异面直线所成角为，故选：B.（5）若正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离为.【答案】1【解析】如图：∵与AB、均垂直，∴即为两异面直线的距离，故答案为：1.（6）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为，故选：C．【方法总结】1．判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题．解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观．如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型．2．要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力．在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”“⊂”混用的错误．3．求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算．作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内．5．证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线.9.1空间点、线、面间的位置关系一、选择题1．点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】点A在直线l上，则，l在平面内，则，故选：D.2．下列说法正确的是（

）A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形一定是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面【答案】D【解析】A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；C错误，四边形不一定是平面图形，比如空间四边形；D正确，两条相交直线可以确定一个平面，故选：D．3．已知两边所在直线与两边所在直线分别平行，若，则（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】当的两边与的两边的方向都相同或都向相反时，；当的两边与的两边的方向是一个相同，一个相反时，，故选：B．4．空间中两个平面将空间分成的部分数为（

）A．2 B．3 C．4 D．3或4【答案】D【解析】当两个平面平行时，将空间分成3部分；当两个平面相交时，将空间分成4部分，故选：D.5．在空间中，“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要【答案】A【解析】“两条直线平行”能推出“这两条直线没有公共点”，满足充分性；“两条直线没有公共点”不能推出“两条直线平行”，两条直线可能异面，不满足必要性，故“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故选：A.6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．正方形C．长方形 D．菱形【答案】A【解析】如图，根据中位线性质可知：且，所以四边形EFGH是平行四边形.故选：A.7．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行，不成立；（2）垂直于同一平面的两条平面互相平行，不一定可能相交；（3）若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行，可能相交；（4）若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线，不一定，故选D.8．已知直线与平面α，满足，则与的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交【答案】D【解析】如图，在长方体中，，a与b相交，b′α，则a与b′异面，b″α，则a与b″平行，故a与b的位置关系有：平行、异面或相交，故选：D9．在正方体中，直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出图象如下图所示，根据正方体的性质可知，所以是直线与所成角，由于三角形是等边三角形，所以，即直线与所成角的大小为，故选：B.10．空间四边形ABCD的对角线，，M，N分别为AB，CD的中点，，则异面直线AC和BD所成的角等于（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】取BC的中点P，连接MP，NP，则且，且，故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角，由余弦定理可知，，而为三角形内角，故，故异面直线AC和BD所成的角为，故选：B．二、填空题11．两个平面的位置关系有.【答案】相交和平行【解析】两个平面的位置关系有相交和平行两种，故答案为：相交和平行．12．在空间内，如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是．【答案】异面或平行【解析】如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是异面或平行，故答案为：异面或平行．13．一条直线与一个平面的位置关系有.【答案】直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行【解析】一条直线与一个平面的位置关系有：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行，故答案为：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行．14．如图，在长方体中，M，N分别是EH和FG的中点，则在三条直线AD，CD，BF中，与直线MN是异面直线的共有条．【答案】2【解析】因为MN//CD，MN与CD共面，由异面直线的判定定理可得：直线AD，BF均与MN异面，故答案为：2．15．如图，在棱长为1的正方体中，异面直线与所成角的大小为. 【答案】【解析】连接，由正方体的结构特征知：，∴与所成角即为异面直线与所成角，又△为等边三角形，∴与所成角，即异面直线与所成角为，故答案为：．16．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=2，则异面直线B1B与DC之间的距离为.【答案】4【解析】由长方体的性质可得是异面直线B1B与DC的公垂线，所以异面直线B1B与DC之间的距离为BC=4，故答案为：4．17．在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若，，则四边形EFGH的形状是.【答案】正方形【解析】因为､､､分别是､､､的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，同理且，所以四边形为菱形，又因为，，，所以，所以四边形为正方形，故答案为：正方形．18．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝.【答案】5【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5，故答案为：5.三、解答题19．如图，已知正方体（1）哪些棱所在直线与直线是异面直线？（2）直线和和的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线垂直？【答案】(1)棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；(2)45°；(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．【解析】