2022年强化训练沪教版（上海）八年级数学第二学期第二十二章四边形重点解析试题（含详解）

八年级数学第二学期第二十二章四边形重点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第I［卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.三角形

2、平行四边形A5C。中，ZA=60°,则NC的度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3、如图，£■为正方形460边4?上一动点（不与/重合），48=4,将△物万绕着点/逆时针旋转

90°得到△胡凡再将△加£沿直线龙折叠得到△〃鲂.下列结论：①连接4队则加/〃阳；②连接

FE,当月反科共线时，AE=4y/2-4；③连接MEC,FC,若△阳7是等腰三角形，则/£=46-

4,其中正确的个数有（）个.

A.3B.2C.1D.0

4、如图，矩形/腼的对角线丝和曲相交于点0,若/加〃=120°,AC=1&,则46的长为

（）

C.8D.4

5、如图，在△力％中，ZJ5C=90°,AC=18,8c=14,D,£分别是46,4c的中点，连接场,BE,

点”在"的延长线上，连接〃Z若NMDB=NA,则四边形〃侬的周长为（）

A.16B.24C.32D.40

6、在北中，NC=90°,若〃为斜边43上的中点，力6的长为10,则小的长为（）

A.5B.4C.3D.2

7、如图，把一张长方形纸片力比》沿对角线4c折叠，点6的对应点为点夕，AB'与小相交于点

E,则下列结论正确的是（）

B'

B

A.ADAB'=NCAB'B.AACD=ZB'CD

C.AD=AED.AE=CE

8、在平面直角坐标系中，平行四边形4比》的顶点4、B、。的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),

则顶点C的坐标是()

A.(7,3)B.(8,2)C.(3,7)D.(5,3)

9、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中/a+N/的度数是()

A.180°B.220°C.240°D.260°

10、如图，四边形4"方为平行四边形，延长4?到反使梦连接宓，EC,DB,添加一个条件,

不能使四边形〃腔成为矩形的是()

E

A.AFBEB.DELDCC.N495=900D.CELDE

第n卷（非选择题70分）

二、填空题(5小题，每小题4分，共计20分)

1、如图，在矩形1时中，对角线4G切相交于点。，AB=6,/%0=60°，点尸在线段4。上从点

1至点0运动，连接小，以加为边作等边三角形初五点后和点4分别位于所两侧，下列结论：

①NBDE=NEFC；②EgEC；③NADF=NECF；④点£运动的路程是26,其中正确结论的序号为

2、若正〃边形的每个内角都等于120°,则这个正〃边形的边数为—

3、已知正方形18口的一条对角线长为2班，则它的面积是.

4、如图，机"分别是矩形465的边4〃上的点，将矩形力腼沿助V折叠，使点4恰好落在边比'

上的点£处，连接加；若AB=8,AD^16,BE=4,贝加的长为

5、如图，菱形以弦在直角坐标系中，点/的坐标为对角线。8=26，反比例函数

丫=?左=0/>0）经过点。.则衣的值为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在菱形力式》中，NABC=60：P是直线M上一动点，以4夕为边向右侧作等边△加E(4P,E

按逆时针排列)，点£的位置随点P的位置变化而变化.

(1)如图1,当点。在线段加上，且点后在菱形力8缪内部或边上时，连接圆则即与四的数量

关系是,g与龙的位置关系是;

(2)如图2,当点尸在线段劭上，且点£在菱形力版外部时，(1)中的结论是否还成立？若成

立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点。在直线放上时，其他条件不变，连接班若46=2#,BE=2M,请直接写出A］必'

的面积.

图1图2图3

2、如图，四边形4时是平行四边形，延长为，BC,使得4£=仍连接咽DF.

(1)求证：△力为修△5A

(2)连接如，若Nl=32°,』ADB=22：请直接写出当//应'=°时，四边形皿厉是菱

形.

3、如图，在平行四边形46如中，BC=2AB,点、E、Q分别是/〃的中点.

(1)求证：AABE必CDF；

(2)当AE=CE时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于D8的2倍的所有角.

4、在如图所示的4X3网格中，每个小正方形的边长均为1,正方形顶点叫格点，连接两个网格格点

的线段叫网格线段.点4固定在格点上.

(1)若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，6是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a

(2)请在网格中画出顶点在格点上且边长为行的所有菱形力颂，你画出的菱形面积分别

为，.

5、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能

作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四口是长方形，尸是为延长线上一点，G是CF

上一点，且NGAF=NF.请写出NE龙和的数量关系，并说明理由.

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

先画出图形，再根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边平行且相等，那么其必为平行四边形,

然后根据邻边互相垂直得出四边形是矩形.

【详解】

解：如图，,:E、F、G、”分别是A3、BC、CD、4。的中点,

EH\\BD\\FG,EF\\AC\\HG,FG=；BD,EF=；AC,

：.四边形EFGH是平行四边形，

•.*AC±BD,

：.EFA.FG,

，平行四边形"G"是矩形，

又•.•AC与80不一定相等，

.•.EF与广G不一定相等，

，矩形EFGH不一定是正方形，

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键.

2、B

【分析】

根据平行四边形对角相等，即可求出NC的度数.

【详解】

解：如图所示,

♦.•四边形A3CO是平行四边形，

，ZA=ZC,

：.ZA=60°,

，ZC=60°.

故：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质.

3、A

【分析】

①正确，如图1中，连接41/,延长血交郎于/想办法证明勿图江"即可；

②正确，如图2中，当尺£,1/共线时，易证N应力=/〃£沪67.5°,在，物上取一点/使得心町,

连接私设/后£沪，妒x,则斯於&x,构建方程即可解决问题；

③正确，如图3中，连接比；CF,当小应时，设A良A®m,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】

解：①如下图，连接4Z延长分'交露于/

•..四边形力版是正方形，

J.AB^AD,/加氏/力月90°,

由题意可得A^AF,

:.丛BA24DAE(SAS,

:./ABeNADE,

VZADE+ZAED=90a,NAE3NBEJ,

:"BEJ+/EBJ=9Q°,

，N切片90°,

:.DJ1BF,

由翻折可知：EA=EM,淤DA,

...应'垂直平分线段AM,

：.BF//AM,故①正确；

②如下图，当尺£、M共线时，易证/的=/25生67.5°,

在』加上取一点/使得M网肛,连接以

则由题意可得乙沪90°,

乙叱/切片45°,

：.AJEI>ZJDE=22.5°,

:，E户JD,

设A即E归MJ=x,则炉"及％

则有广夜x=4,

产45/2-4,

田40-4,故②正确；

③如下图，连接5

当上时，设/斤/片R,

则在46龙中，有2苏=42+(4-血2,

ZZF473-4或-4G-4（舍弃），

：.AE=^^,-4,故③正确；

故选A.

【点睛】

本题考查旋转变换，翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

4、C

【分析】

由题意可得4用仇?=折〃。=8,可证△力比是等边三角形，可得48=8.

【详解】

解：•••四边形力腼是矩形，

:.AC=2AO=2CO,BD=2BO=2DO,AC=BD=16,

：.0A=0B=8,

•：ZAOD=120Q,

：.ZAOB=60°,

如是等边三角形，

：.AB=A0^B0=8,

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键.

5、C

【分析】

由中点的定义可得/后四，AD=BD,根据三角形中位线的性质可得力7/比；DE=^BC,根据平行线的性

质可得N4踞N4%=90°,利用4必可证明△，如侬△物，可得加=熊，DFMB,即可证明四边形

加侬是平行四边形，可得MD=BE,进而可得四边形〃解后的周长为即可得答案.

【详解】

•:D,6分别是力8,4c的中点，

J.AE=CE,AD-BD,庞为的中位线，

：.DE//BC,D*BC,

'：ZABC=90°,

：.NAD人ABC=9Q°,

ZMDB=ZA

在△朗切和△期中，\BD=AD,

NMBD=NADE=90。

:./XMB/XEDA,

：.MD=AE,DE=MB,

'：DE//MB,

...四边形〃侬是平行四边形，

:.MD=BE,

,：AC=18,a'=14,

?.四边形〃侬'的周长=2阳2,磔卧1018+14=32.

故选：C.

【点晴】

本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线

平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性

质及判定定理是解题关键.

6、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案.

【详解】

解：年90°,若〃为斜边46上的中点，

：.CD=^AB,

•.18的长为10,

二屐5,

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一

半.

7、D

【分析】

根据翻折变换的性质可得N的0/。夕，根据两直线平行，内错角相等可得/的信/4切，从而得到

NACD=NCAB，,然后根据等角对等边可得4斤龙，从而得解.

【详解】

解：•.•矩形纸片力四沿对角线4C折叠，点8的对应点为夕，

:.NBAC=NCAB',

'：AB//CD,

：./BAO乙ACD,

:./ACA/CAB',

：.AE=CE,

.•.结论正确的是D选项.

故选D.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质

并准确识图是解题的关键.

8、A

【分析】

利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到〃点和C点的纵坐标相等，再求出

C庐股5,得到。点横坐标，最后得到C点的坐标.

【详解】

解：：四边形ABCD为平行四边形。

C点和D的纵坐标相等，都为3.

・••4点坐标为(0,0),6点坐标为(5,0),

AB=CD=5.

•••。点坐标为(2,3),

••・C点横坐标为2+5=7,

••.C点坐标为(7,3).

故选：A.

【点睛】

本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且

相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键.

9、C

【分析】

根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°,四边形内角和为360°,

.•./£+/〃=360°-60°-60°=240°；

故选C.

【点睛】

本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题

的关键.

10、B

【分析】

先证明四边形比加为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答.

【详解】

解：•••四边形四切为平行四边形，

：.AD//BC,且4加8C,

又,：AD=DE,

：.DE//BC,旦际BC,

二四边形8次为平行四边形，

/、DE^AD,

J.BDLAE,

:EDBCE为矩形,故本选项不符合题意；

B、,:DELDC,

：.4EDB=90°+NCDB>90°,

/.四边形〃及而不能为矩形，故本选项符合题意;

Q,：NAD斤90°，

.•./曲片90°,

:.LIDBCE为'矩形,故本选项不符合题意；

D、'：CELDE,

.•./侬=90°,

:.LIDBCE为矩形,故本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形比划为平行四边形是解题的

关键.

二、填空题

1、①②③④

【分析】

①根据/%C=60°,OD=OA,得出△勿〃为等边三角形，再由△力/为等边三角形，得NDOA=NDEF

=60°,再利用角的等量代换，即可得出结论①正确；

②连接阳利用倒S证明△为总△〃庞；再证明△阳生△。幽即可得出结论②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④延长施'至使。口=①，连接DE"通过ADA乂ADOE,NDOE=60°,可分析得出点尸在线段

力0上从点A至点0运动时，点£从点。沿线段OE'运动到£,从而得出结论④正确；

【详解】

解：①设08与E尸的交点为G如图所示:

VZZMC=60°,OD=OA,

...△以〃为等边三角形，

：.ZDOA=ADAO=AADO=60°,

•.•△叱为等边三角形，

:.NDEF=6G,

:.NDOA=4DEF=6Q°,

:./DGF=NBDE+/DEF,ZDGFZEFC+ZDOA

：.ZBDE=ZEFC

故结论①正确；

②如图，连接第

在△加夕和△〃施中,

AD=OD

，ZADF=NODE,

DF=DE

.•.△为&△〃〃£■（必S）,

:.NDOE=NDAF=6Q°,

•：ZCOD=1800-ZAOD=120°，

：.NCOE=/COD-/DOE=\20°-60°=60°,

：.ACOE=ADOE,

在△颇1和△0酸中，

OD=OC

•Z.DOE=NCOE,

OE=OE

：./\ODE^/\OCE(%S),

：.ED=EC,/OCE=/ODE,

故结论②正确；

③</0DE=/ADF,

：.ZADF=ZOCE,即ZADF=ZECF,

故结论③正确；

④如图，延长施至£,使OE'=OD,连接

I△DAF^XDOE,ND0E=6Q°,

/.点Q在线段上从点A至点。运动时，点K从点。沿线段运动到E,

NBDA=90°-NADB=90°-60°=30°

DB=2AD

设ZM=x,则。3=2x

在Rt^ADB中，AD2+AB2=DB-

即X2+62=(2X)2

解得：x=2>/3

OE'=OD=AD=26，

.•.点£运动的路程是2百，

故结论④正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题主要考查了几何综合，其中涉及到了等边三角形判定及性质，相似三角形的判定及性质，全等三

角形的性质及判定，三角函数的比值关系，矩形的性质等知识点，熟悉掌握几何图形的性质合理做出

辅助线是解题的关键.

2、6

【分析】

多边形的内角和可以表示成(〃-2)/80。，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120。〃，

列方程可求解.

【详解】

解：设所求正〃边形边数为〃，

则120。”=5-2)-180。，

解得〃=6,

故答案是：6.

【点睛】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是要会根据公式进行正确运算、

变形和数据处理.

3、6

【分析】

正方形的面积：边长的平方或两条对角线之积的一半，根据公式直接计算即可.

【详解】

解：：正方形力仇力的一条对角线长为26，

\S=J仓山目2上二6,

2

故答案为：6.

【点睛】

本题考查的是正方形的性质，掌握“正方形的面积等于两条对角线之积的一半”是解题的关键.

4、10

【分析】

过创乍于E根据矩形力及力沿.仞V折叠，使点4恰好落在边宽上的点6处，得出

△4恸丝△£,阳可得4沪晶/,根据矩形力比乙得出N5=N4=/氏90°,再证四边形力颇为矩形，得

出/田游4,F货AW8,设F^nrX,根据勾股定理双/=百7+E尸，即＞=(〃?—4)2+8?,

解方程炉10即可.

【详解】

解：过6作见/。于E

•••矩形ABCD沿助V折叠，使点A恰好落在边笈上的点£处，

二△腑侬Z\£W,

：.AM=EM,

•矩形48。,

，/左/4=/氏90°，

YFELAD,

：.ZAFB=ZB=ZA=90°,

四边形4面为矩形，

:.A2BF4,F片AB=8,

设4加£沪例F后m~4

在应△阳”中，根据勾股定理£加2=汽"2+£尸，即"2=（〃?一4）2+82,

解得炉10,

."磔/止4沪16To=6,

在放△，监C中，

，哙yjMDr+DC2=762+82=10-

故答案为10.

【点睛】

本题考查折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理，掌握折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾

股定理是解题关键.

5、3

【分析】

根据菱形的性质可知菱形的四条边都相等，点A的坐标为g,。），对角线08=2石，反比例函数

k

y=-(k^0,x>0)可设点C的坐标为(“，加，从而可以表示出点B的坐标，然后列出相应的

x

方程组，即可得。、b的值，从而可以得到人的值.

【详解】

,•・四边形。48c是菱形，

:.OA=AB=BC=CO,

设点C的坐标为(。方)，

・••点A的坐标为0),对角线。8=2石，

・••点B的坐标为(a+1,b),℃=|,

,/OC=|,OB=2也

a2+h2=(-|)2

5,,广，'

(a+-)=(2V5)2

2

3

解得a=b=2,

3

/.ah=—x2=3,

2

k

•・•反比例函数y=—(kw0,x>0)经过点C,点C的坐标为(a，b),

x

,k

..b=一,

a

k—ab—•3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题的关键是根据数形结合的思想找到

各边之间的关系，左与点C的坐标的关系.

三、解答题

1、(1)BP=CE,CEVBC-,(2)仍然成立，见解析；(3)3173

【分析】

(1)连接/C,根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△砌侬即可证得结论；

(2)(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△胡修△。后即可；

(3)分两种情形：当点。在劭的延长线上时或点户在线段如的延长线上时，连接4C交劭于点

0,由/腔'=90°,根据勾股定理求出位的长即得到彼的长，再求40、P0、外的长及等边三角形

/必'的边长可得结论.

【详解】

解：(1)如图1,连接4G延长终交朋于点〃，

图1

•.•四边形46切是菱形，

：.AB=BC,

VZABC=60°,

l\ABC是等边三角形,

：.AB=AC,/倒＜7=60°；

•.•△力恰是等边三角形，

：.AP=AE,/为£=60°,

?.ZBAP=ZCAE^60°-ZPAC,

：./\BAP^/\CAE（必S）,

：.BP=CE-,

•••四边形4?”是菱形，

：.ZA3P^^ZABC=30a,

:.NABP=NACE=3Q°,

VZJ6B=60°,

:.NBCE=6Q°+30°=90°,

：.CELBC-,

故答案为：BP=CE,CELBC；

(2)(1)中的结论：BP=CE,加力。仍然成立，理由如下:

如图2中，连接AC,设纺与力〃交于//,

•:菱形ABCD,N4BC=60°,

...△46C和△?(切都是等边三角形，

:.A8=AC,/BAD=12Q°,NBAP=120°+4DAP,

•.•△加打是等边三角形，

：.AP=AE,ZPAE=60°,

：.ZCAE=60°+60°+ZDAP=120°+ZDAP,

：.ABAP^ACAE,

，△力8&龙(SAS),

：.BP^CE,NACE=NABg30°,

，Na万=30°,

,.•/49C=60°,

：.ZDCE+AADC=^a,

.'.ZC7®=90°,

:.CELAD；

：.(1)中的结论：BP^CE,血力〃仍然成立；

(3)如图3中，当点P在加的延长线上时，连接“1交6〃于点0,连接值BE,作此L/P于凡

♦.•四边形板〃是菱形，

：.ACLBDBD平济NABC,

8c=60°,AB=2»,

：.AABO=^a,

：.AO=^AB=y/3,OB=上AgJ

:.BD=6,

由(2)知CELAD,

'：AD//BC,

：.CELBC,

,:BE=2M,BXAB=26

CE=«2晒¥_Q厨=8,

由（2）知BP=CE=8,

：.DP=2,

：.0P=5,

\IOA2+OP2=7（V3）2+52=2币,

•.•△4必1是等边三角形，

S^AEP=X（2-Ji）"=75/3，

4

如图4中，当点尸在龙的延长线上时，同法可得"=Jol+op2=+=2后,

【点睛】

此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股

定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联

系起来，此题难度较大，属于考试压轴题.

2、⑴见解析；(2)12

【分析】

(1)由“HS”可证

(2)通过证明B5DE,可得结论.

【详解】

证明：(1)•••四边形力版是平行四边形，

：.AB=CD,ABAD-ABCD,

：.N\=4DCF,

在△力旗和△W中，

AE=CF

,Zl=NDCF,

AB=CD

：./\ABE^/\CDF(SIS)；

(2)当N4通10°时，四边形物应是菱形,

理由如下："：i\ABE^/\CDF,

：.BE=DF,A^CF,

♦••四边形力8勿是平行四边形，

：.AD=BC,

:.A屏AE=BOCF,

:.B用DE,

...四边形朋应是平行四边形，

VZ1=32°,N4游22°,

；.N4BD=Nl-NADB=lQ°,

VZABE=12°,

:.NDB%22°,

：.4DBE=/ADB=22°,

：.BE^DE,

•••平行四边形方龙是菱形，

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解

题的关键.

3、(1)证明见解析；(2)WAD,A