2025年暑期新初二数学人教版尖子生专题复习《有理数的运算》

第23页（共23页）2025年暑期新初二数学人教版（2024）尖子生专题复习《有理数的运算》一．选择题（共10小题）1．（2025春•西城区校级期中）德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）．时间强度方案第1天第2天第3天第4天第5天低强度125011001000750800高强度17002000225020001250休息00000小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（）A．若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B．若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C．小博这5天最少共跑步3050m D．小博这5天最多共跑步5600m2．（2025春•平南县期中）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（）A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm23．（2025春•赣州期中）将图1中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．44 B．48 C．46 D．504．（2025•香河县一模）密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母m和n的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙①：n，n2m，1；密匙②：2，m，m+n．其中每个密匙表示的是3个互不相等的有理数，且密匙①，②都表示的是3个相同的有理数，则mn+nA．-12 B．1 C．32 5．（2024秋•玉州区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．6．（2024秋•赣州期末）﹣4的倒数是（）A．2 B．14 C．4 D．7．（2024秋•织金县期末）下列计算错误的是（）A．4÷(-14C．10+（﹣5）＝5 D．(8．（2024秋•平泉市期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（）A．1 B．3 C．13 D．9．（2024秋•西陵区期末）小华称得一个物体的质量为2.108kg，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（）A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.1110．（2025春•建邺区校级期中）每天进步一点点（0.01），一年后将远大于“1”，进步很大（1.01365≈37.8）．如果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值1.01730最接近下面数值中的（）A．75 B．200 C．378 D．1400二．填空题（共5小题）11．（2025春•沙市区期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知v的大小满足v2＝2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g约等于9.8（单位m/s2），R是地球半径，R约等于6.4×106（单位：m）．那么第二宇宙速度v约为km/s．12．（2025春•麒麟区期中）定义新运算：a⊙b＝a（a+b）+1，则3⊙（﹣2）的运算结果是．13．（2025春•西城区校级期中）学校组织运动会，有甲、乙、丙、丁四个比赛项目需要按一定顺序逐一进行检录准备．要求所有运动员同时到达检录处后开始，一个项目检录完毕，下一个项目检录立即开始．每个项目的运动员人数和检录总时长（单位：min）如下：项目甲乙丙丁运动员人数8357检录总时长25152010已知每位运动员只参加一个项目．一位运动员的等待时间是指从第一个检录的项目检录开始到这位运动员参加的项目检录开始的时间间隔（不考虑场地转换等其他因素）．若项目按“甲﹣乙﹣丙﹣丁”的先后顺序检录，则参与项目丁的每位运动员的等待时间为min；若使这23位运动员的等待时间之和最小，则项目应按的先后顺序检录．14．（2025春•江北区校级期中）规定：对于任意有理数a与b，满足a*b=3a-b，(a≥b)a-3b，(a＜b)，如5*3＝315．（2024秋•中江县期末）c，d互为倒数，m表示数轴上的点到原点距离为4，求cd﹣m的值为．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•玄武区期末）计算（1）(1（2）-117．（2025春•东方期中）某学校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择：甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元；乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；超过2000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．若该校印制证书x本．（1）若x不超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元；（2）若x超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元；（3）当印制证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？18．（2025春•道里区校级期中）学校开展“师生同心清积雪，共筑校园安全线”的活动，学校为每个班级购买扫雪工具套装：4把钢推、2把大扫帚、2把铁锹、1套锁链．铁锹标价每把20元，是每把钢推标价的50%，每把大扫帚标价比每把钢推标价便宜了14，每套锁链标价与每把大扫帚标价比为1：2（1）每套锁链标价是多少元？（2）这所学校有四个学年，其中六、八、九学年班级数相同，七学年比六学年多一个班．六、七、八学年共有37个教学班，按标价计算这所学校购买扫雪工具套装一共用多少元？（3）在（2）的条件下购买时，除工具套装费用还需要支付运输费和安装费，学校支付306元运输费：安装费：钢推每把1元、铁锹每把1元．出售同品牌、同质量的三家商店分别给出不同优惠方案：A商店：需支付运输费和安装费，工具套装按八八折出售；B商店：运输费和安装费全免，每卖4把钢推送1套锁链；C商店：需支付运输费和安装费，工具套装不超过10000元打九折出售，超过10000元的部分八折出售．聪明的你帮这学校策划一下选择哪一种方案购买更合算？并通过计算说明理由．19．（2025春•肇源县期中）计算：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；（2）-3（3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）；（4）（-52）+56+（﹣0.520．（2024秋•冷水滩区期末）规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2＝﹣31．请用上面规定计算下列各式：（1）1*5；（2）（﹣5）*[3*（﹣1）]．

2025年暑期新初二数学人教版（2024）尖子生专题复习《有理数的运算》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCBCCDBADD一．选择题（共10小题）1．（2025春•西城区校级期中）德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）．时间强度方案第1天第2天第3天第4天第5天低强度125011001000750800高强度17002000225020001250休息00000小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（）A．若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B．若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C．小博这5天最少共跑步3050m D．小博这5天最多共跑步5600m【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】C【分析】理解题意中的规则，计算出跑步路程，比较结果即可．【解答】解：A．若小博每天都选择“低强度”方案，则5天共跑步：1250+1100+1000+750+800＝4900m，结论正确，故不符合题意；B．∵“高强度”要求前一天必须“休息”，第一天可选择“高强度”方案，小博第2天休息，∴第3天选择“高强度”方案，要使跑步最多，小博第一天必选择“高强度”方案，因此他这5天最多共跑步：1700+0+2250+750+800＝5500m，结论正确，故不符合题意；C.5天最少跑步，则必须选择“低强度”方案，由于第1天不能休息且不能连续两天及以上时间休息，若选择第2天、第4休息时，共跑步：1250+0+1000+0+800＝3050m，若选择第2天、第5天休息，共跑步：1250+0+1000+750+0＝3000m，所以，这5天最少跑步为3000m，结论错误，符合题意；D.5天最多跑步，则第1天必须选择“高强度”方案，若后面不休息，共跑步：1700+1100+1000+750+800＝5350m，若选择第2天休息，共跑步：1700+0+2250+750+800＝5500m，若选择第3天休息，共跑步：1700+1100+0+2000+800＝5600m，若选择第4天休息，共跑步：1700+1100+1000+0+800＝4600m，所以，这5天最多跑步为5600m，结论正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查最优选择方案，有理数的加法以及有理数的大小比较，理解题意中的规则是本题的关键．2．（2025春•平南县期中）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（）A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm2【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：200cm2×3万＝2×102×3×104cm2＝6×106cm2．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．3．（2025春•赣州期中）将图1中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．44 B．48 C．46 D．50【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】先设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，根据图1中是周长为40的长方形，计算出x+y＝5，然后再列出图2中长方形的周长和没有覆盖的阴影部分的周长代数式，将x+y＝5代入计算即可．【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，如图1中是周长为40的长方形，可得y+（3x+y）+y+x+y＝20，解得：x+y＝5，将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示，如图，图2中长方形的周长为58，∴AB+x+y+x+y+2x+y+y﹣x＝29，∴AB＝29﹣3x﹣4y，根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形ABCD的周长，∴2（AB+AD）＝2×（29﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x）＝2×（29﹣x﹣y）＝58﹣2（x+y）＝58﹣2×5＝48，故选：B．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．4．（2025•香河县一模）密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母m和n的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙①：n，n2m，1；密匙②：2，m，m+n．其中每个密匙表示的是3个互不相等的有理数，且密匙①，②都表示的是3个相同的有理数，则mn+nA．-12 B．1 C．32 【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据题意分若n＝2，有m＝1或m+n＝1和若n2m=1，有m＝1或m+n＝1两种情况分析求出m【解答】解：（1）若n＝2，有m＝1或m+n＝1，当m＝1时，n2当m+n＝1时，则m＝﹣1，所以n2∴密匙①，②的三个数为1，﹣1，2，（2）若n2m=2，有m＝1或m+n当m＝1时，则n＝4，m+n＝5，不符合题意；当m+n＝1时，则m=15综上可知：m＝﹣1，n＝2，∴mn故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键．5．（2024秋•玉州区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．【考点】有理数的除法；数轴；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】先观察数轴可知a＜0，b＞0，|a|＞|b|，然后根据有理数的加法法则计算a+b和a﹣b，再根据乘除法则计算C，D，最后根据计算结果进行判断即可．【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0，ab∴A、B、D的计算正确，故不符合题意，选项C计算错误，故符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的有关计算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则．6．（2024秋•赣州期末）﹣4的倒数是（）A．2 B．14 C．4 D．【考点】倒数．【专题】实数；数感．【答案】D【分析】根据倒数的定义进行求解即可．【解答】解：∵(-∴﹣4的倒数是-1故选：D．【点评】此题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．7．（2024秋•织金县期末）下列计算错误的是（）A．4÷(-14C．10+（﹣5）＝5 D．(【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】根据有理数混合运算的运算法则进行逐一判断即可．【解答】解：A、4÷（-14）＝﹣B、2÷(C、10+（﹣5）＝5，故本选项不符合题意；D、(-故选：B．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据计算法则来判断．8．（2024秋•平泉市期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（）A．1 B．3 C．13 D．【考点】有理数的除法；有理数的乘法．【专题】计算题；实数．【答案】A【分析】根据新定义列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得．【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]＝9×＝1，故选：A．【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．9．（2024秋•西陵区期末）小华称得一个物体的质量为2.108kg，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（）A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.11【考点】近似数和有效数字．【专题】实数；数感．【答案】D【分析】对千分位数字8，四舍五入即可．【解答】解：2.108精确到0.01的近似值为2.11，故选：D．【点评】本题主要考查有效数字．熟练掌握四舍五入是关键．10．（2025春•建邺区校级期中）每天进步一点点（0.01），一年后将远大于“1”，进步很大（1.01365≈37.8）．如果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值1.01730最接近下面数值中的（）A．75 B．200 C．378 D．1400【考点】有理数的乘方．【专题】实数；运算能力．【答案】D【分析】根据幂的乘方进行求解．【解答】解：1.01730＝（1.01365）2≈37.82≈1429≈1400，故选：D．【点评】本题考出来有理数的乘方，掌握幂的乘方公式是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025春•沙市区期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知v的大小满足v2＝2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g约等于9.8（单位m/s2），R是地球半径，R约等于6.4×106（单位：m）．那么第二宇宙速度v约为1.12×104km/s．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；运算能力．【答案】1.12×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：∵v2＝2gR，g≈9.8m/s2，R≈6.4×106m，∴v=2×9.8×6.4×106=1.12×104故答案为：1.12×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（2025春•麒麟区期中）定义新运算：a⊙b＝a（a+b）+1，则3⊙（﹣2）的运算结果是4．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】4．【分析】根据新运算进行计算即可．【解答】解：根据新运算进行计算可得：3⊙（﹣2）＝3（3﹣2）+1＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算是解题的关键．13．（2025春•西城区校级期中）学校组织运动会，有甲、乙、丙、丁四个比赛项目需要按一定顺序逐一进行检录准备．要求所有运动员同时到达检录处后开始，一个项目检录完毕，下一个项目检录立即开始．每个项目的运动员人数和检录总时长（单位：min）如下：项目甲乙丙丁运动员人数8357检录总时长25152010已知每位运动员只参加一个项目．一位运动员的等待时间是指从第一个检录的项目检录开始到这位运动员参加的项目检录开始的时间间隔（不考虑场地转换等其他因素）．若项目按“甲﹣乙﹣丙﹣丁”的先后顺序检录，则参与项目丁的每位运动员的等待时间为60min；若使这23位运动员的等待时间之和最小，则项目应按丁→甲→丙→乙的先后顺序检录．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数．【答案】60，丁→甲→丙→乙．【分析】等待时间定义：每个项目的等待时间等于其开始检录的时间（从第一个项目开始计算）．总等待时间计算：每个项目的等待时间乘以人数，累加所有项目．排序策略：为使总等待时间最小，应优先安排人数多且检录时间短的项目．具体通过比较项目的人数与检录时间的比值（n/t），按比值从大到小排序．【解答】解：第一空：计算丁项目的等待时间顺序分析：甲→乙→丙→丁．各项目开始时间：甲开始时间：0分钟，乙开始时间：25分钟（甲检录时间），丙开始时间：25+15＝40（分钟）；丁开始时间：40+20＝60（分钟），∴丁项目等待时间：60分钟（所有丁项目运动员的等待时间相同）．第二空：总等待时间最小化，计算各项目n/t比值：甲：825=0.32，乙：315=0.2，丙：排序规则：按n/t比值从大到小排列，顺序为丁→甲→丙→乙．验证总等待时间：丁：0×7＝0（分钟），甲：10×8＝80（分钟），丙：35×5＝175（分钟），乙：55×3＝165（分钟），总和：0+80+175+165＝420（分钟）（最小化）．故答案为：60，丁→甲→丙→乙．【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及等待时间计算和总等待时间最小化的策略选择．关键在于理解如何通过合理安排检录顺序，使得所有运动员的等待时间之和最小．14．（2025春•江北区校级期中）规定：对于任意有理数a与b，满足a*b=3a-b，(a≥b)a-3b，(a＜b)，如5*3＝3【考点】有理数的混合运算．【专题】新定义；运算能力．【答案】6．【分析】根据新定义的运算进行列方程，再解方程即可．【解答】解：由新定义可得：①当x≥3时，3x﹣3＝15，解得：x＝6；②当x＜3时，x﹣3×3＝15，解得：x＝24（舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算进行解答．15．（2024秋•中江县期末）c，d互为倒数，m表示数轴上的点到原点距离为4，求cd﹣m的值为﹣3或5．【考点】有理数的混合运算；数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】﹣3或5．【分析】根据c、d互为倒数，数轴上表示m的点到原点距离为4，可以求得cd、m的值，然后利用分类讨论的数学思想即可解答本题．【解答】解：由条件可得cd＝1，m＝±4，当m＝4时，cd﹣m＝1﹣4＝﹣3，当m＝﹣4时，cd﹣m＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5．故答案为：﹣3或5．【点评】本题考查有理数的混合运算、数轴，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•玄武区期末）计算（1）(1（2）-1【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】（1）﹣18；（2）-1【分析】（1）根据乘法分配律进行简便计算；（2）先算乘方和绝对值的运算，再算加减法即即可．【解答】解：（1）(=1＝﹣9﹣30+21＝﹣18；（2）-＝﹣1+2-=-【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则和运算定律进行计算．17．（2025春•东方期中）某学校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择：甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元；乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；超过2000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．若该校印制证书x本．（1）若x不超过2000时，甲厂的收费为（1000+0.5x）元，乙厂的收费为1.5x元；（2）若x超过2000时，甲厂的收费为（1000+0.5x）元，乙厂的收费为（0.25x+2500）元；（3）当印制证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；应用意识．【答案】（1）（1000+0.5x），1.5x；（2）（1000+0.5x），（0.25x+2500）；（3）当印制证书8000本时应该选择乙印刷厂更节省费用，节省了500元．【分析】（1）根据印刷费用＝数量×单价可分别求得；（2）根据甲厂印刷费用＝制版费+数量×单价、乙厂印刷费用＝2000×1.5+超出部分的费用可得；（3）分别计算出x＝8000时，甲、乙两厂的费用即可得．【解答】解：（1）若x不超过2000时，甲厂的收费为（1000+0.5x）元，乙厂的收费为1.5x元．故答案为：（1000+0.5x），1.5x；（2）若x超过2000时，甲厂的收费为（1000+0.5x）元，乙厂的收费为2000×1.5+0.25（x﹣2000）＝（0.25x+2500）元．故答案为：（1000+0.5x），（0.25x+2500）；（3）当x＝8000时，甲厂费用为1000+0.5×8000＝5000（元），乙厂费用为：0.25×8000+2500＝4500（元），5000﹣4500＝500（元）．故当印制证书8000本时应该选择乙印刷厂更节省费用，节省了500元．【点评】本题主要考查列代数式，理解题意找到相等关系是解题的关键．18．（2025春•道里区校级期中）学校开展“师生同心清积雪，共筑校园安全线”的活动，学校为每个班级购买扫雪工具套装：4把钢推、2把大扫帚、2把铁锹、1套锁链．铁锹标价每把20元，是每把钢推标价的50%，每把大扫帚标价比每把钢推标价便宜了14，每套锁链标价与每把大扫帚标价比为1：2（1）每套锁链标价是多少元？（2）这所学校有四个学年，其中六、八、九学年班级数相同，七学年比六学年多一个班．六、七、八学年共有37个教学班，按标价计算这所学校购买扫雪工具套装一共用多少元？（3）在（2）的条件下购买时，除工具套装费用还需要支付运输费和安装费，学校支付306元运输费：安装费：钢推每把1元、铁锹每把1元．出售同品牌、同质量的三家商店分别给出不同优惠方案：A商店：需支付运输费和安装费，工具套装按八八折出售；B商店：运输费和安装费全免，每卖4把钢推送1套锁链；C商店：需支付运输费和安装费，工具套装不超过10000元打九折出售，超过10000元的部分八折出售．聪明的你帮这学校策划一下选择哪一种方案购买更合算？并通过计算说明理由．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力；应用意识．【答案】（1）15元；（2）13475元；（3）选择C商店购买更合算．【分析】（1）根据题意直接列式求解即可；（2）先求出各学年班级数，进而得到全校的班级数，再计算每个班级购买工具套装的费用，即可求解；（3）计算出在各家商店购买的费用，进行比较即可解答．【解答】解：（1）由题意得，每把钢推的标价为：20÷50%＝40（元），每把大扫带的标价为：40×(1-答：每套锁链标价是15元．（2）由题意得，六、八、九学年班级数为：（37﹣1）÷3＝12（个），七学年班级数为：12+1＝13（个），∴全校的班级数为：12+13+12+12＝49（个）．∵每个班级购买工具套装费用为：40×4+30×2+20×2+15＝275（元），∴全校共花费：275×49＝13475（元）．答：这所学校购买扫雪工具套装一共用13475元．（3）由题意，若在A商店购买，全部费用为：306+4×49+2×49+13475×88%＝12458（元）；若在B商店购买，全部费用为：（40×4+30×2+20×2）×49＝12740（元）；若在C商店购买，全部费用为：306+4×49+2×49+10000×90%+（13475﹣10000）×80%＝12380（元）；∵12380＜12458＜12740，∴选择C商店购买更合算．【点评】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，解题时要能读懂题意列出关系式计算是关键．19．（2025春•肇源县期中）计算：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；（2）-3（3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）；（4）（-52）+56+（﹣0.5【考点】有理数的加减混合运算；绝对值．【专题】计算题；运算能力．【答案】（1）﹣29；（2）﹣5；（3）﹣10；（4）﹣1．【分析】（1）根据加减运算法则，进行计算即可；（2）根据加法交换律和结合律进行简便计算；（3）先进行绝对值运算，再进行加减法运算；（4）根据加法交换律和结合律进行简便计算．【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13＝﹣20+（﹣14）+（﹣13）+18＝﹣47+18＝﹣29；（2）-=-＝﹣6+1＝﹣5；（3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）＝﹣3+（﹣5）+（﹣6）+4＝﹣14+4＝﹣10；（4）（-52）+56+（﹣0.5＝﹣2.5+（﹣0.5）+（56＝﹣3+2＝﹣1．【点评】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键．20．（2024秋•冷水滩区期末）规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2＝﹣31．请用上面规定计算下列各式：（1）1*5；（2）（﹣5）*[3*（﹣1）]．【考点】有理数的混合运算．【专题】新定义；运算能力．【答案】（1）﹣21；（2）﹣9．【分析】（1）根据新的运算定义，进行计算即可；（2）先算出3*（﹣1）的结果，再计算（﹣5）*（﹣7）的结果即可．【解答】解：（1）1*5＝1×5﹣1﹣52＝5﹣1﹣25＝﹣21；（2）3*（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3﹣（﹣1）2＝﹣3﹣3﹣1＝﹣7，（﹣5）*[3*（﹣1）]＝（﹣5）*（﹣7）＝（﹣5）×（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣7）2＝35+5﹣49＝﹣9．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算方法进行计算．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）3．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1a=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．4．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．5．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．6．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．7．