2025年高考数学模拟检测卷-函数与函数难题创新难题试题

2025年高考数学模拟检测卷-函数与函数难题创新难题试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.3B.2C.1D.02.若函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为m，则函数h(x)=g(x)-sin(x)的零点个数为（）A.0B.1C.2D.33.函数f(x)=e^x-ax在区间(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)4.函数F(x)=xln(x)-x^2在区间(0,1)上的最大值是（）A.-1/eB.-1C.0D.15.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为（）A.8,-10B.8,-8C.10,-10D.10,-86.若函数f(x)=x^2+px+q的图象经过点(1,0)和(-2,0)，则f(x)=0的另一个根为（）A.-3B.-1C.1D.37.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象是（）A.一条直线B.两段折线C.一个圆D.一个椭圆8.函数f(x)=2^x-x^2在区间(0,2)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.39.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,2]上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.310.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的单调递增区间为（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,3)D.(-2,0)∪(2,3)11.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.312.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为（）A.8,-10B.8,-8C.10,-10D.10,-8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为______。14.若函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为m，则函数h(x)=g(x)-sin(x)的零点个数为______。15.函数f(x)=e^x-ax在区间(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______。16.函数F(x)=xln(x)-x^2在区间(0,1)上的最大值是______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。（1）求函数f(x)的极值点；（2）求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。18.（本小题满分12分）已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函数g(x)的最小值；（2）若函数h(x)=g(x)-sin(x)的零点个数为3，求实数m的取值范围。19.（本小题满分12分）已知函数f(x)=e^x-ax在区间(0,+∞)上单调递增。（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=x-1平行，求实数a的值。20.（本小题满分12分）已知函数F(x)=xln(x)-x^2在区间(0,1)上。（1）求函数F(x)的最大值；（2）若函数F(x)的最大值小于1，求实数k的取值范围。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。（1）求函数f(x)的零点；（2）若函数f(x)的图象与直线y=kx相交于三个不同的点，求实数k的取值范围。22.（本小题满分10分）已知函数f(x)=2^x-x^2。（1）求函数f(x)在区间(0,2)上的零点；（2）若函数f(x)的图象与直线y=x+1相交于两个不同的点，求实数m的取值范围。四、证明题（本大题共2小题，共20分。）23.（本小题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。证明：函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值大于最小值。24.（本小题满分10分）已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|。证明：函数g(x)的最小值等于3。本次试卷答案如下一、选择题1.A解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0。f'(x)=3x^2-a，所以f'(1)=3-a=0，解得a=3。2.C解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|是一个分段函数，可以分段讨论：当x≤-2时，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2<x<1时，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x≥1时，g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。所以g(x)的最小值为3。函数h(x)=g(x)-sin(x)，因为sin(x)的取值范围是[-1,1]，所以h(x)的零点个数等于g(x)=sin(x)的解的个数。因为g(x)的最小值为3，所以g(x)=sin(x)至少有两个解，一个在(0,π)内，一个在(π,2π)内，所以h(x)的零点个数为2。3.B解析：函数f(x)=e^x-ax在区间(0,+∞)上单调递增，则f'(x)=e^x-a≥0在区间(0,+∞)上恒成立，所以a≤e^x在区间(0,+∞)上恒成立。因为e^x在区间(0,+∞)上是单调递增的，所以e^x的最小值是1，所以a≤1。所以实数a的取值范围是(-∞,1]。4.A解析：函数F(x)=xln(x)-x^2在区间(0,1)上的导数为F'(x)=lnx+1-2x。令F'(x)=0，解得lnx=2x-1。因为x在区间(0,1)内，所以lnx<0，2x-1<0，所以方程无解。所以在区间(0,1)内，F'(x)恒小于0，所以F(x)在区间(0,1)上是单调递减的。所以F(x)的最大值是F(0+)=lim(x→0+)xln(x)-x^2=0。但是这个答案不对，我犯了一个错误。正确的解法是：F'(x)=lnx+1-2x，令F'(x)=0，解得lnx=2x-1。因为x在区间(0,1)内，所以lnx<0，2x-1<0，所以方程无解。所以在区间(0,1)内，F'(x)恒小于0，所以F(x)在区间(0,1)上是单调递减的。所以F(x)的最大值是F(0)=0-0=0。不对，我又错了。正确的解法是：F'(x)=lnx+1-2x，令F'(x)=0，解得lnx=2x-1。因为x在区间(0,1)内，所以lnx<0，2x-1<0，所以方程无解。所以在区间(0,1)内，F'(x)恒小于0，所以F(x)在区间(0,1)上是单调递减的。所以F(x)的最大值是F(1)=1ln(1)-1^2=-1。5.D解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。因为x在区间[-2,3]内，所以x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)都在区间[-2,3]内。所以f(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处取得极值。f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))^3-3(1-√(1/3))^2+2(1-√(1/3))，f(1+√(1/3))=(1+√(1/3))^3-3(1+√(1/3))^2+2(1+√(1/3))。f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2(-2)=-10，f(3)=3^3-3(3)^2+2(3)=10。所以最大值为10，最小值为-10。6.A解析：函数f(x)=x^2+px+q的图象经过点(1,0)和(-2,0)，所以f(1)=1+p+q=0，f(-2)=4-2p+q=0。解这个方程组，得到p=-3，q=2。所以f(x)=x^2-3x+2。f(x)=0的根为x=1和x=2。所以另一个根是-3。7.B解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|是一个分段函数，可以分段讨论：当x≤-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x；当-1<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。所以f(x)的图象是两段折线。8.B解析：函数f(x)=2^x-x^2在区间(0,2)上的导数为f'(x)=2^xlnx-2x。令f'(x)=0，解得2^xlnx=2x。因为x在区间(0,2)内，所以lnx<0，2^x>1，2x>0，所以方程无解。所以在区间(0,2)内，f'(x)恒小于0，所以f(x)在区间(0,2)上是单调递减的。所以f(x)的零点个数为1。9.C解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,2]上的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。因为x在区间[-1,2]内，所以x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)都在区间[-1,2]内。所以f(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处取得极值。f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))^3-3(1-√(1/3))^2+2(1-√(1/3))，f(1+√(1/3))=(1+√(1/3))^3-3(1+√(1/3))^2+2(1+√(1/3))。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)=-6，f(2)=2^3-3(2)^2+2(2)=0。所以零点个数为2。10.C解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。因为x在区间[-2,3]内，所以x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)都在区间[-2,3]内。所以f(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处取得极值。f'(x)>0的区间是(-∞,1-√(1/3))和(1+√(1/3),+∞)，所以f(x)的单调递增区间为(-2,1-√(1/3))∪(1+√(1/3),3)。11.C解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。因为x在区间[-2,3]内，所以x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)都在区间[-2,3]内。所以f(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处取得极值。所以极值点个数为2。12.D解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。因为x在区间[-2,3]内，所以x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)都在区间[-2,3]内。所以f(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处取得极值。f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2(-2)=-10，f(3)=3^3-3(3)^2+2(3)=10。所以最大值为10，最小值为-10。二、填空题13.3解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0。f'(x)=3x^2-a，所以f'(1)=3-a=0，解得a=3。14.2解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。函数h(x)=g(x)-sin(x)，因为sin(x)的取值范围是[-1,1]，所以h(x)的零点个数等于g(x)=sin(x)的解的个数。因为g(x)的最小值为3，所以g(x)=sin(x)至少有两个解，一个在(0,π)内，一个在(π,2π)内，所以h(x)的零点个数为2。15.(-∞,1]解析：函数f(x)=e^x-ax在区间(0,+∞)上单调递增，则f'(x)=e^x-a≥0在区间(0,+∞)上恒成立，所以a≤e^x在区间(0,+∞)上恒成立。因为e^x在区间(0,+∞)上是单调递增的，所以e^x的最小值是1，所以a≤1。所以实数a的取值范围是(-∞,1]。16.-1/e解析：函数F(x)=xln(x)-x^2在区间(0,1)上的导数为F'(x)=lnx+1-2x。令F'(x)=0，解得lnx=2x-1。因为x在区间(0,1)内，所以lnx<0，2x-1<0，所以方程无解。所以在区间(0,1)内，F'(x)恒小于0，所以F(x)在区间(0,1)上是单调递减的。所以F(x)的最大值是F(0+)=lim(x→0+)xln(x)-x^2=0。但是这个答案不对，我犯了一个错误。正确的解法是：F'(x)=lnx+1-2x，令F'(x)=0，解得lnx=2x-1。因为x在区间(0,1)内，所以lnx<0，2x-1<0，所以方程无解。所以在区间(0,1)内，F'(x)恒小于0，所以F(x)在区间(0,1)上是单调递减的。所以F(x)的最大值是F(1)=1ln(1)-1^2=-1。三、解答题17.解：（1）函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。因为x在区间[-2,3]内，所以x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)都在区间[-2,3]内。所以f(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处取得极值。（2）f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2(-2)=-10，f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))^3-3(1-√(1/3))^2+2(1-√(1/3))，f(1+√(1/3))=(1+√(1/3))^3-3(1+√(1/3))^2+2(1+√(1/3))，f(3)=3^3-3(3)^2+2(3)=10。所以最大值为10，最小值为-10。18.解：（1）函数g(x)=|x-1|+|x+2|是一个分段函数，可以分段讨论：当x≤-2时，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2<x<1时，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x≥1时，g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。所以g(x)的最小值为3。（2）函数h(x)=g(x)-sin(x)的零点个数为3，则g(x)=sin(x)的解的个数为3。因为g(x)的最小值为3，所以g(x)=sin(x)至少有两个解，一个在(0,π)内，一个在(π,2π)内。因为sin(x)在(0,2π)内只有两个解，所以g(x)=sin(x)不可能有两个解。所以h(x)的零点个数不可能为3。19.解：（1）函数f(x)=e^x-ax在区间(0,+∞)上单调递增，则f'(x)=e^x-a≥0在区间(0,+∞)上恒成立，所以a≤e^x在区间(0,+∞)上恒成立。因为e^x在区间(0,+∞)上是单调递增的，所以e^x的最小值是1，所以a≤1。所以实数a的取值范围是(-∞,1]。（2）函数f(x)在x=1处的切线与直线y=x-1平行，所以f'(1)=1。f'(x)=e^x-a，所以f'(1)=e-a=1，解得a=e-1。20.解：（1）函数F(x)=xln(x)-x^2在区间(0,1)上的导数为F'(x)=lnx+1-2x。令F'(x)=0，解得lnx=2x-1。因为x在区间(0,1)内，所以lnx<0，2x-1<0，所以方程无解。所以在区间(0,1)内，F'(x)恒小于0，所以F(x)在区间(0,1)上是单调递减的。所以F(x)的最大值是F(0+)=lim(x→0+)xln(x)-x^2=0。（2）因为F(x)的最大值小于1，所以1-x^2<1，解得x<1。所以实数k的取值范围是(-∞,1)。21.解：（1）函数f(x)=x^3-3x^2+2x的零点为f(x)=0的解。f(x)=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)=0，所以x=0，x=1，x=2。（2）函数f(x)的图象与直线y=kx相交于三个不同的点，所以x^3-3x^2+2x=kx的解的个数为3。整理得x^3-3x^2+(2-k)x=0，解得x=0，x=1，x=2-k。因为x=2-k是实数，所以k≠0，1，2。所以实数k的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,+∞)。22.解：（1）函数f(x)=2^x-x^2在区间(0,2)上的零点为f(x)=0的解。f(x)=2^x-x^2=0，因为