2024-2025学年河南省南阳市部分学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省南阳市部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(4+i)−(1+5i)的虚部为(

)A.−4 B.4 C.−4i D.4i2.已知A(−2,1)，B(4,−5)，点P满足AP=12AB，则点PA.(−3,3) B.(−8,7) C.(1,−2) D.(10,−11)3.函数f(x)=tan(2x−π12A.{x|x≠7π24+kπ,k∈Z} B.{x|x≠13π24+kπ,k∈Z}4.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′=1，B′C′=3，则原四边形ABCD的周长为(

)A.235+6 B.25+65.为了得到函数y=5sin(2x+3π8)的图象，可以将函数y=5cos2x的图象A.向右平移π16个单位长度 B.向右平移π8个单位长度

C.向左平移π16是个单位长度 D.6.在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，PA=22，点E是棱PC的中点，则三棱锥P−ADE的体积为(

)A.273 B.2637.在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠DAB=π3，点E满足AE=13AB，点F是A.−12 B.12 C.−8.已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在表面积为283π的球的球面上，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，则直线PC与AB所成角的余弦值为(

)A.26 B.24 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(3,−1)，下列命题中正确的有(

)A.a=10B.a//b10.已知z1，z2∈C，设z1=1+i，A.若z1+z2∈R，则z2=−1−i B.若z12+z22=0，则|11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=2AD，点E为线段PB上的动点(不包括端点)，则下列结论正确的是(

)A.该四棱锥的体积为23

B.一定存在点E，使AE//平面PCD

C.一定存在点E，使PB⊥平面ACE

D.AE+CE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面直径为______．13.已知角θ的终边上有一点P(2,3)，则tan(2θ−π14.如图，为了测量一条大河两岸A，B之间的距离，无人机升至ℎ米的空中沿水平方向飞行至C点进行测量，A，B，C在同一铅垂平面内.在C点测得A，B的俯角为α，β(β<α)，则|AB|=______米.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知α为第二象限角，且tanα=−2．

(1)求sinα和cosα的值；

(2)求sin(3π−α)16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2+ab=(a+b)2．

(1)求C；

(2)若a+b=6，△ABC的面积为217.(本小题15分)

已知函数f(x)=2sinωx(sinωx+3cosωx)−1(ω>0)．

(1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间；

(2)若g(x)=f(x)−1在区间[0,π]上恰有两个零点，求18.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC=BC=AA1=2，AB=22，A119.(本小题17分)

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y1),n=(x2,y2).作：OM=m，ON=n，当m,n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2−答案解析1.【答案】A

【解析】解：复数(4+i)−(1+5i)=3−4i的虚部为−4．

故选：A．

利用复数的减法运算求解即可．

本题考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C

【解析】解：设P(x,y)，则AP=(x+2,y−1)，AB=(6,−6)，

∴由AP=12AB得：(x+2,y−1)=(3,−3)，

∴x+2=3y−1=−3，解得x=1y=−2，

∴P(1,−2)．

故选：C．

可设P(x,y)，然后根据AP3.【答案】C

【解析】解：由f(x)=tan(2x−π12)，得2x−π12≠π2+kπ，k∈Z，

解得x≠7π24+kπ4.【答案】C

【解析】解，根据题意，直观图中，A′B′=1，B′C′=3，∠A′O′B′=45°，

则O′A′=2，

将直观图还原为原图，如图，

则OA=2O′A′=22,OB=1,BC=3，

所以AB=CD=OA2+OB2=3，

所以原四边形5.【答案】A

【解析】解：将函数y=5cos2x的图象向右平移π16个单位长度，可得函数y=cos(2x−π8)的图象，

又y=5sin(2x+3π8)=2sin(2x−π6.【答案】D

【解析】解：记AC∩BD=O，连接PO，

则PO即为棱锥的高，

又AB=2，PA=22，

所以AO=12AC=1222+22=128=2，PO=7.【答案】B

【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB=3, AD=2, ∠DAB=π3，点E满足AE=13AB，点F是DE的中点，

因为AE=13AB且点F是DE的中点，

所以根据中点向量可得AF=12(AD+AE)=12(AD+13AB)=12AD8.【答案】B

【解析】解：设球的半径为R，所以4πR2=283π，解得R=213，

设△ABC的外接圆的半径为r，所以2r=ABsin∠ACB=2sin60∘，

解得r=233，

根据球心的性质，假设底面△ABC的外接圆的圆心为O1，

则外接球的球心O一定满足OO1⊥平面ABC，

又由于OA=OP，取PA的中点为D，连接OD，则OD⊥PA，

又因为PA⊥平面ABC，所以OO1//PA，

而AO1⊂平面ABC，所以PA⊥AO1，则OD//AO1，

即四边形ODAO1是矩形，所以OO1=12PA，

则由勾股定理得：R=r2+(PA2)2，即213=(233)2+(PA2)2，

解得PA=2，

再取PB，BC的中点E，F，连接DE，EF，DF，AF，

因为PA⊥平面ABC，又AC，AF⊂平面ABC，

所以PA⊥AC，PA⊥AF，

在等边△ABC中，AB+BC+AC=2，9.【答案】AC

【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量线性运算的坐标表示，向量模的坐标表示，向量平行(共线)关系的坐标表示，属于基础题．

根据向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示求得结果．【解答】

解：对于A，向量a=(1,3)，

所以|a|=32+1=10，故A正确；

对于B，a=(1,3)，b=(3,−1)，

因为1×(−1)−3×3=−10≠0，故B错误；

对于C，a=(1,3)，b=(3,−1)，

因为a⋅b=1×3+3×(−1)=0，

所以a⊥b，故C正确；

对于D，10.【答案】BC

【解析】解：A选项，设z2=2−i，显然满足z1+z2∈R，但z2≠−1−i，A选项错误；

B选项，由z12+z22=0，得(1+i)2+(a+bi)2=0，所以a2−b2+2(1+ab)i=0，

则a2−b2=0,1+ab=0,解得a=1b=−1或a=−1b=1，所以|z2|=2，B选项正确；

C选项，由z1=1z2，得z2=11.【答案】AC

【解析】解：因为在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=2AD，

所以该四棱锥的体积为V=13S▱ABCD⋅PD=13×1×2=23，故A正确；

假设AE/​/平面PCD，则过点E作BC的平行线，交PC于点F，连接DF，

由于平面ADFE∩平面PCD=DF，所以AE/​/DF，

又因为EF/​/BC，AD//BC，所以EF/​/AD，从而可得四边形ADFE是平行四边形，

即EF=AD，又因为BC=AD，所以EF=BC，

由于点E为线段PB上的动点，则E与点B重合，

而点E为线段PB上的动点(不包括端点)，则假设不成立，故B错误；

根据PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，

可知直角三角形PAB与直角三角形PCB全等，

若AE⊥PB，则必有CE⊥PB，由CE∩AE=E，CE，AE⊂平面ACE，

所以必有PB⊥平面ACE，故C正确；

根据PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，

可知直角三角形PAB与直角三角形PCB全等，且PA=PC=3,PB=2，

则cos∠ABP=12⇒∠ABP=π3，

然后把直角三角形PAB与直角三角形PCB展开成一个平面，则如下图：

所以有AC12.【答案】83【解析】解：由题意圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为120°的扇形，

可得扇形的弧长L=|α|R=2π3×4=8π3，

设该圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=L，

即2πr=8π3，得2r=83，即该圆锥的底面圆的直径为813.【答案】3【解析】解：由三角函数的定义，可得tanθ=32，

所以tan(θ−π6)=tanθ−tanπ61+tanθtanπ6=314.【答案】ℎsin(α−β)sin【解析】解：由条件知∠ABC=β，∠ACB=α−β，过C作CD垂直于直线AB，垂足为D，

在Rt△ACD中，AC=ℎsinα，

在△ABC中，ABsin∠BCA=ACsin∠ABC，

所以AB=ACsin(α−β)sinβ=ℎsin(α−β)sinα15.【答案】cosα=−55，sinα=25【解析】解：(1)因为α为第二象限角，且tanα=−2，

所以cosα=−11+tan2α=−15=−55，16.【答案】2π3；

2【解析】解：(1)因为c2+ab=(a+b)2，所以c2+ab=a2+2ab+b2，

整理得：a2+b2−c2=−ab，

所以由余弦定理得：cosC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12．

又因为0<C<π，所以C=2π3．

(2)因为△ABC的面积为23，所以17.【答案】[−π6+kπ, π3+kπ](k∈Z)【解析】解：(1)由题意知f(x)=2sinωx(sinωx+3cosωx)−1=2sin2ωx−1+23sinωxcosωx

=3sin2ωx+2×1−cos2ωx2−1=3sin2ωx−cos2ωx=2sin(2ωx−π6)，

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω=π，

解得ω=1，所以f(x)=2sin(2x−π6)，

令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，

即f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ, π3+kπ](k∈Z)．

18.【答案】证明见解析；

1010【解析】(1)证明：连接A1C，如图所示．

在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC=AA1=2，

所以四边形ACC1A1是菱形，

所以AC1⊥A1C，又A1B⊥AC1，A1B∩A1C=A1，A1B，A1C⊂平面A1BC，

所以AC1⊥平面A1BC，

又BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC，

在△ABC中，AC=BC=2, AB=22，

所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，

又AC∩AC1=A，AC，AC1⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

又BC⊂平面ABC，

所以平面ACC1A1⊥平面ABC．

(2)取AC的中点D，连接BD，A1D，

又AD=12AC=1, ∠A1AC=60°, AA1=2，

所以A1D⊥AC, A1D=3，

由(1)知平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，A1D⊂平面ACC1A1，

所以A1D⊥平面ABC，

又B