自考第4章2幂级数研究报告_第1页
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1.幂级数概念§2幂级数设函数序列在区域D内有定义称为函数项级数,其中最前面的n项和称为该级数如果则称在z0处收敛,称为它的和.如果该级数在D内处处收敛,那么它的和称为该级数的和函数,也称为该级数收敛于令或得到幂级数的部分和.函数项级数对于区域D内某一点z0一定是z的函数1称为幂级数(阿贝尔定理)设如果收敛,则当时绝对收敛如果发散,则当时发散推论若在z=z0处收敛则当时绝对收敛定理4.122例如在z=—1则当绝对收敛设幂级数此时该级数在z=2处绝对收敛能否在z=0处例如幂级数而在z=3处时不能若在z=0处收敛，则在z=3处绝对收敛若在z=3处发散，则在z=0处发散处收敛收敛发散？3例1如果级数在它的收敛圆周上绝对收敛证明绝对收敛证根据条件收敛当时根据级数收敛收敛所以在其收敛圆绝对收敛一点z0在收敛圆所围成的闭区域上围成的闭区域上的比较判别法5例2设级数收敛,而发散证明的收敛半径证因为级数收敛,即在z=1处所以当时绝对收敛由假若而且收敛则当时绝对收敛此时在z=1处即收敛为1绝对收敛收敛所以的收敛半径为1发散,可以证明当时发散6比值法如果3.收敛半径的计算方法对于幂级数则收敛半径根值法如果则收敛半径定理4.147例4.求下列幂级数的收敛半径(1)(1)解P为正整数(2)(2)解8例4续.求下列幂级数的收敛半径(3)(3)解(4)(4)解9设4.幂级数运算和性质的收敛半径和函数为即设的收敛半径和函数为即当时为R1,为R2,10注意的收敛半径的收敛半径的收敛半径可能大于例如的收敛半径的收敛半径的收敛半径等式成立和的条件是为1,为111设存在,例3.下列三个幂级数的收敛半径相同证明因为存在,所以也存在,则三个幂级数的收敛半径12设定理4.15的收敛半径为R

,和函数为则(1)在其收敛圆内处处(2)在收敛圆内可以将幂级数(3)在收敛圆内可以将幂级数的导数逐项求导解析逐项积分的积分13注意2设的收敛半径为R

,其和函数为即例如其中最前面的n项和当时当时14非常

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