2026版创新设计高考总复习物理(人教基础版)教师用-专题强化十八　动态圆　磁聚焦与磁发散

专题强化十八动态圆磁聚焦与磁发散学习目标1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。考点一“平移圆”模型运动情境粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=mv0轨迹特点带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上,该直线与入射点的连线平行应用方法将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移,从而探索粒子运动的有关临界问题例1(2025·陕西西安高三期中)如图所示,在xOy平面直角坐标系内,OA与x轴的夹角为37°,OA足够长,OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B=mv03qL0,在OA上分布着足够多的粒子源,可以向磁场中发射速度大小为v0,方向垂直于OA的带电粒子,带电粒子的质量为m,电荷量为+q(q>0),A.3L0 B.4L0 C.5L0 D.6L0答案C解析带电粒子在磁场中运动过程,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=mv02r,将磁感应强度B=mv03qL0代入解得r=3L0,OA上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹圆进行平移,根据几何关系可得当粒子半径O1P与OA垂直时(如图所示),打到x轴上的P点距坐标原点最远,根据几何关系得OP=O1考点二“旋转圆”模型运动情境粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为R=m轨迹特点轨迹圆的圆心共圆:带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=mv应用方法将一半径为R=mv0qB例2(多选)如图所示,在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,在y轴上S处有一粒子源,它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等、质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子,所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电,OP=3OS=3d,粒子重力及粒子间的相互作用均不计,则()A.粒子的速度大小为qBdB.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为3πC.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2D.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为d答案AC解析粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点,可以画出其轨迹1,可知SP为直径,由几何关系得(2R)2=d2+(3d)2,解得R=d,由洛伦兹力提供向心力得qvB=mv2R,解得v=qBdm,故A正确;粒子的运动周期T=2πmqB,从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3,轨迹所对的圆心角为60°,则其在磁场中的运动时间t=16T=πm3qB,故B错误;从x轴上射出磁场的粒子运动时间最长时运动轨迹与x轴相切(如轨迹2),对应的圆心角为270°,则其运动时间t1=34T,从x轴上射出磁场的粒子中运动时间最短的为从原点飞出的粒子(如轨迹3),运动时间为t2=16T,所以t1t2=92,故C正确;沿平行x考点三“放缩圆”模型运动情境粒子源发射初速度方向一定,大小不同的粒子,在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹特点带正电粒子速度v越大,运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上应用方法以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作出一系列大小不同的轨迹圆,从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题例3(多选)(2025·四川成都模拟)如图所示,边长为2L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点,一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场,不计粒子重力,下列说法正确的是()A.粒子可能从B点射出B.若粒子从C点射出,则粒子做匀速圆周运动的半径为32C.若粒子从C点射出,则粒子在磁场中运动的时间为πD.若粒子从AB边射出,则粒子在磁场中运动的时间相同,且时间最长答案CD解析带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,由左手定则可知,粒子向下偏转,但由于BC边的限制,粒子不能到达B点,故A错误;若粒子从C点射出,如图甲所示根据几何关系可得R2=(R-Lsin60°)2+(2L-Lcos60°)2,解得R=3L,粒子轨迹对应的圆心角θ的正弦值为sinθ=2L-Lcos60°R=32,则θ=60°,粒子在磁场中运动的时间为t=60°360°T=16×2πmqB0=πm3qB0,故B错误,C正确;由牛顿第二定律可知qvB0=mv2r,解得r=mvqB0,可知粒子从AB边射出,考点四“磁聚焦”与“磁发散”模型磁发散磁聚焦带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与入射点的切线方向平行带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,该点切线方向与入射方向平行例4如图,坐标原点O有一粒子源,能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),所有粒子速度大小相等。圆心在(0,R)、半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。磁场右侧有一长度为R,平行于y轴的光屏,其中心位于(2R,R)。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏上,则()A.粒子速度大小为2B.所有粒子均能垂直射在光屏上C.能射在光屏上的粒子,在磁场中运动时间最长为2πD.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足45°≤θ≤135°答案C解析由初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏上,可知粒子在磁场中的运动半径为R,则根据qvB=mv2R,可得v=qBRm,选项A错误;画出任意粒子从O点射出时的轨迹如图,由几何关系可知,四边形OO1PO2为菱形,则PO2平行y轴,则从磁场中射出的粒子垂直于y轴,即凡是能射到屏上的粒子均能垂直射在光屏上,但是并不是所有粒子都能射到屏上,选项B错误;达到屏的最上端的粒子在磁场中运动的时间最长,在磁场中运动的圆心角为120°,则最长时间为tmax=120°360°T=13·2πmqB=2πm3qB,选项C正确;能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足针对训练(多选)(2025·福建泉港二中模拟)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作,可作为太空发动机使用,带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图,实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ,磁感应强度分别为B1,B2。两圆半径均为r,相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v,不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是()A.B1的大小为mvB.从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同C.若B2=2B1,则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在四分之一圆周上D.若B2=0.5B1,则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为2π答案AD解析由磁聚焦的特点可知,粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等,则qvB1=mv2B1=mvqr,故A正确;洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小,其速度大小相等,但速度的方向不同,故B错误;若B2=2B1,则r2=mvqB2=12r,可知粒子离开磁场Ⅱ由几何关系可知,最远点与原点连线所对圆心角最大,为60°,故粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上,故C错误;若B2=0.5B1,则r2=mvqB2=2r,而粒子离开磁场Ⅱ的运动轨迹的弦越长,运动的时间越长,最长弦长为圆形磁场Ⅱ的直径,如图乙所示,此时粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°,则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为t=16×2π·2r限时作业(限时:40分钟)基础对点练对点练1“平移圆”模型1.(多选)如图所示,等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场,腰长AB=2m,O为BC的中点,磁感应强度B=0.25T,一群质量m=1×10-7kg,电荷量q=-2×10-3C的带电粒子以速度v=5×103m/s垂直于BO,从BO之间射入磁场区域,带电粒子不计重力,则()A.在AC边界上有粒子射出的长度为(2-1)mB.C点有粒子射出C.在AB边界上有粒子射出的长度为1mD.磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(2-1)m处入射答案ACD解析粒子在磁场中偏转,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=mv2R,解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为R=mvqB=10-7×5×1032×10-3×0.25m=1m,作出粒子在磁场中的运动轨迹图,如图所示。由图可知,能从AC边射出的粒子长度为DE=2R-R=(2-1)m,故A正确;粒子不可能到达C点,故B错误;由图可知,在AB边界上有粒子射出的长度为BF=R=1m,故C正确;磁场中运动时间最长的粒子运动半个圆周,轨迹与AB、AC相切,由图可知从底边距B对点练2“旋转圆”模型2.如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子,速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为()A.2mvqB2mvqB C.2mvqBmvqB D.答案A解析由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2r,解得r=mvqB,若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示),可知离y轴最远距离为|x|=2r=2mvqB,离x轴最远为y=2r=23.如图所示,在等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场,O为ab边的中点,在O处有一粒子源,可沿纸面内不同方向、以相同的速率v=qBLm不断向磁场中释放相同的带正电的粒子。已知粒子的质量为m,电荷量为q,直角边ab长为22L,不计重力和粒子间的相互作用力。则从ac边射出的粒子中,在磁场中运动的最短时间为(A.πm3qB B.πm答案A解析根据qvB=mv2r,解得r=L,作出粒子运动的几个轨迹圆,如图所示。其中Od与ac垂直,由几何关系可知,Od长为L,即最短弦长,对应最短时间,轨迹所对圆心角为60°,则最短时间为t=60°360°T=πm34.(2025·重庆八中月考)如图所示,半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场,P为磁场边界上的一点,大量相同的带正电的粒子,在纸面内沿各个方向以相同的速率从P点射入磁场,这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上,且Q点为最远点。已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的四分之一,不计粒子重力和粒子间的相互作用,则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为()A.34πR2 B.C.(3π+2)R24 D.1答案B解析设粒子在磁场中运动的轨迹圆半径为r,由于Q点为最远点。且PQ圆弧长等于磁场边界周长的四分之一,则有r=22R,粒子的运动轨迹,如图所示,由几何关系可得,该圆形磁场中有粒子经过的区域面积,即图中阴影的面积为S=12πr2+18π(2r)2+14πR2对点练3“放缩圆”模型5.(多选)如图所示,在直角三角形abc区域内(包含边界)有方向垂直纸面向外的匀强磁场,将某种带正电的粒子以不同速率从ac边的中点d沿垂直ac边方向射入磁场中,观察发现所有粒子均从bc边界射出。已知粒子比荷为k,磁感应强度大小为B,ab边长为2L,∠a=30°,则下列说法正确的是()A.bc边界上有粒子射出的区域长度最大为32B.有粒子经过的磁场区域的面积最大为332πLC.粒子在磁场中运动的时间可能为πD.若发射速率范围不变,换成比荷为2k的正粒子,则将只有一半粒子能从bc边界射出答案ABC解析当粒子运动轨迹与ab边相切时,到达bc上的点到c点的距离最大,轨迹如图所示。根据几何关系可知x1=r1=2Lcos30°2=32L,所以bc边界上有粒子射出的区域长度最大为32L,故A正确;从c点射出的粒子轨迹半径最小,最小半径为r2=2Lcos30°22=34L,有粒子经过的磁场区域的面积最大为S=πr124-πr222=332πL2,故B正确;粒子在磁场中运动的周期为T=2πmqB=2πkB,当粒子垂直bc边射出时,粒子在磁场中运动的时间为t=T4=π2kB,故C正确;粒子在磁场中圆周运动的半径R=mvqB=vBqm,可知当比荷为2k时,相同速度的粒子的运动半径变为先前的一半,可知,若换成比荷为2k的正粒子,6.(多选)(2025·青海西宁模拟)如图所示,在一个等边三角形MNP区域内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场,三角形的边长为a,现从NP边的中点O处垂直于NP边射入大量的比荷相同的带正电的粒子(不计重力),粒子的速度不同,已知粒子在磁场中运行的最长时间为t,则下列说法正确的是()A.粒子能从P点射出磁场B.由MP边射出的粒子,在磁场中运行的最长时间为56C.由MP边射出的粒子,在磁场中的最小半径为2-3D.由MP边射出的粒子的最小速度为(2答案BD解析粒子在磁场中做圆周运动,由图可知,粒子不可能从P点射出磁场,故A错误;所有粒子在磁场中运动的周期T=2πmqB相同,其中从NP边射出的粒子,在磁场中运动的时间最长,为半个周期,即t=12T=πmqB,当粒子轨迹与MP边相切时,由MP边射出的粒子运行的时间最长,对应的圆心角为150°,最长时间为150°360°T=56t,故B正确;粒子轨迹与MP相切时,半径最小,最小半径满足R+Rcos30°=a2,解得R=23-32a,而R=mvqB,t=π对点练4“磁聚焦”与“磁发散”模型7.(多选)如图所示,坐标原点O处有一粒子源,能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力),所有粒子速度大小相等。圆心在(0,R),半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,磁场右侧有一点2R,32R,已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后,粒子的速度方向沿x轴的正方向A.初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点B.初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点C.经过A点的粒子在磁场中运动时间为2πD.经过A点的粒子在磁场中运动时间为3π答案AC解析初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后,粒子的速度方向沿x轴的正方向,则粒子的轨迹半径r=R,由qvB=mv2r,可得粒子轨迹半径都为R。结合题意和几何关系可知,坐标平面一、二象限射入的粒子从磁场射出时,速度一定沿x轴正方向,经过A点的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,根据几何关系有R+Rsin(α-90°)=32R,解得α=120°,故A正确,B错误;该粒子在磁场中的运动时间为t=120°360°×2πmqB=2πm8.(多选)(2025·安徽六安一中质量检测)如图所示,在平面直角坐标系xOy内,以坐标原点O为圆心,半径为R的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出),磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源,M、N为粒子源两端点,M、N连线垂直于x轴,粒子源中点P位于x轴上,粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q>0),速率为v的粒子。已知从粒子源中点P发出的粒子,经过磁场区域后,恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场,不计粒子重力及粒子间相互作用力,则()A.带电粒子在磁场中运动的半径为RB.匀强磁场的磁感应强度大小为2C.在磁场中运动的带电粒子路程最长为2πD.带电粒子在磁场中运动的时间最短为π答案AC解析从粒子源中点P发出的粒子,在磁场中的轨迹如图甲所示,由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为R,A正确;根据牛顿第二定律有qvB=mv2R,解得B=mvqR,B错误;从M点发出的粒子在磁场中的轨迹如图乙所示,此时轨迹最长,由几何知识可知四边形O2DOQ为菱形,则∠QO2D=120°,则在磁场中运动的带电粒子路程最长为lmax=120°360°×2πR=2πR3,C正确;从N点发出的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示,可知四边形OBO1Q为菱形,则∠QO1B=60°;可知此时粒子在磁场中运动时间最短,则tmin=60°360°×综合提升练9.如图所示,水平直线边界PQ的上方空间内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,长为2d、与PQ平行的挡板MN到PQ的距离为d,边界PQ上的S点处有一电子源,可在纸面内向PQ上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为m、电荷量为e,速度大小均为eBdm,N、S的连线与PQ垂直,不计电子之间的作用力,则挡板MN的上表面与下表面被电子击中部分的长度之比为(A.3-1 B.1