2024-2025学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足zi=1+3i(i为虚数单位)，则z的虚部为A.1 B.−1 C.−3 2.某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为(

)A.25 B.30 C.35 D.503.已知平面向量a=(−3,4)，b=(1,2)，则向量b在向量a上的投影向量是(

)A.(−35,45) B.(−4.已知四棱锥P−ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图A′B′C′D′为平行四边形，如图所示，已知A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1，则四棱锥P−ABCD的体积为(

)A.2 B.4 C.325.若点O是△ABC的外心，AB=6，则AC⋅A.1 B.−1 C.3 D.−36.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a：b：c=5：7：8，则此三角形的最大角与最小角之和为(

)A.2π3 B.3π5 C.3π47.若将函数f(x)=cos(2x+π6)的图象向左或右平移φ个单位，所得的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称，则A.π12 B.π6 C.π48.已知圆锥PO的侧面面积为15π，母线长为5，则圆锥PO的外接球的表面积为A.25π4 B.25π2 C.25π 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知△ABC中，点D(1,2)，E(2,0)，F(3,2)分别为AB，BC，CA的中点，则(

)A.EF=(1,2) B.CF=(1,−2)

C.点A的坐标为(2,4) D.△ABF10.某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩(单位：厘米)为：145，155，132，135，140，130，136，则(

)A.该组数据的极差是35 B.该组数据的中位数是136

C.该组数据的40%分位数是135 D.该组数据的平均数为13911.记sinx+cosy=a，cosx+siny=b，则(

)A.a的取值范围为[−2,2] B.若a=0，则b=0

C.a+b的最小值为−22 D.若a=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z满足|z+i|=1，则|z|的最大值为______．13.样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______．14.如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC=20m，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则A，B两点间的距离为______m.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在边长为1的菱形ABCD中，∠A=π3，DE=2EC，设AB=a，AD=b．

(1)用a，b，表示BE，并求|BE|；

16.(本小题15分)

某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区.现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求x的值；

(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数(每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数)．17.(本小题15分)

已知向量a=(sinx,cosx)，b=(3cosx,cosx)，设函数f(x)=a⋅b−12，x∈R．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间；

18.(本小题17分)

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sinA=2sinB，2−bcosC=ccosB．

(1)求b；

(2)若c=2，求△ABC的面积；

(3)若△ABC为锐角三角形，且2BD=DA，求|19.(本小题17分)

如图1，图2，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点．

(1)图1中求证：AC1//平面MB1C；

(2)图1中求二面角A1−CM−A的正切值；

(3)图2中，已知AB=2，N为B1C1的中点，点参考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.B

8.B

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.2

13.4

14.1015.(1)已知在边长为1的菱形ABCD中，∠A=π3，DE=2EC，

又AB=a，AD=b，

则BE=BC+CE=AD−13AB=b−13a．

因为|a|=|b|=1，∠A=π3，

所以a⋅b=12，

则BE216.(1)根据题意可知，10×(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=1，可得x=0.03；

(2)因为10×(0.005+0.01+0.015)=0.3<0.5，

10×(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6>0.5，

所以中位数在区间[80,90)内，令其为m，

则0.3+0.03×(m−80)=0.5，解得m=80+203≈86.67，

所以满意度评分的中位数约为86.67，

由频率分布直方图可知，平均数为：17.(1)已知向量a=(sinx,cosx)，b=(3cosx,cosx)，设函数f(x)=a⋅b−12，x∈R，

则f(x)=3sinxcosx+cos2x−12=32(2sinxcosx)+12(2cos2x−1)

=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，

由T=2π|ω|=2π2=π，

得f(x)的最小正周期为π．

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π6)，

令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

18.(1)因为2−bcosC=ccosB，

由余弦定理可得c×a2+c2−b22ac+b×a2+b2−c22ab=2，解得a=2．

又因为sinA=2sinB，所以a=2b=2，所以b=1．

(2)由(1)可知：a=2，b=1，且c=2，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=14，

且C∈(0,π)，可得sinC=154，

所以△ABC的面积S=1219.(1)证明：如图所示，连接BC1，交B1C于G，连接MG，

∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴B1BCC1是正方形，∴G为B1C的中点，

又∵M为AB的中点，则MG//AC1，∵MG⊂平面MB1C，AC1⊄平面MB1C，

∴AC1//平面MB1C；

(2)如图所示，过A作AO⊥CM交CM的延长线于O，连结A1O，

∵A1A⊥平面ABCD，∴AO是A1O在平面ABCD内的射影，

∵CM⊂平面ABCD，∴A1A⊥CM，∵A1A∩AO=A，

∴CM⊥平面A1AO，∵A1O⊂平面A1AO，∴A1O⊥CM，

∴∠A1OA为二面角A1−CM−A的平面角．

设正方体的棱长为1．

∵M是AB的中点，且AM//CD，

则在直角△AMF中，AM=12，AF=1，

MF=52，AO=