2024-2025学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2i(−2+i)，则|z|=(

)A.2 B.4 C.22 2.已知集合A={x|x2−x+m=0}，B={1}.若B⊆A，则m=A.0 B.1 C.2 D.−23.若sinα−cosα=64，则sin2α=A.14 B.38 C.584.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=4，则f(−1)=(

)A.0 B.1 C.2 D.−25.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1A.39 B.156 C.395 D.6.若数据x1，x2，x3和数据x4，x5，x6的平均数均为x−，方差均为s2，则数据x1，x2，xA.s24 B.s2 C.27.若lnx+y−2>lny+xA.ex2>exy>1 B.e8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1((a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A.5 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.将函数f(x)=sin(x+π3)的图象向右平移π6A.g(x)的最小正周期为2π B.g(x)是偶函数

C.g(x)的图象关于直线x=−π6轴对称 D.g(x)在10.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，记函数f(x)=P(ξ≥x)，且f(x)的图象关于点(1,12)对称，若存在实数a，使得(参考数据：若ξ∼N(μ,σ2)，则A.μ=1 B.a=0

C.σ=1 D.P(ξ≥11.已知O为坐标原点，点P(x0,y0)在曲线CA.曲线C关于y轴对称 B.y0≥0

C.y0≤20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若曲线y=ln(ax)与直线y=x−1相切，则a=______．13.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，边长为5的正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，且E为DF的中点，则AE⋅AB=14.如图，在四面体A−BCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，AC=2，平面ABD⊥平面BCD，则四面体A−BCD外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(4,m)(m>0)为C上一点，且|AF|=5．

(1)求p；

(2)若点B(−2,1)在椭圆T：x2a2+y216.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+cos2A=1，b=1．

(1)若c=22，求a；

(2)若△ABC为钝角三角形，求△ABC面积的取值范围．17.(本小题15分)

在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题.将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题)，玩家开始答题.若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关.假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5.每次答题正确与否相互独立．

(1)求玩家通过这一关的概率．

(2)规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分.现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题.为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？18.(本小题17分)

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD为锐角，E，F，G分别是AB，BC，A1D的中点．

19.(本小题17分)

(1)证明：当1<x<2时，x2sinπx2+x−2>0．

(2)若∀x∈(0,2),lnx+2参考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.D

6.B

7.A

8.D

9.AD

10.ABD

11.ABD

12.1

13.2

14.5π

15.(1)因为A(4,m)(m>0)为C上一点，且|AF|=5，

所以|AF|=4+p2=5，

解得p=2；

(2)由(1)得A(4,4)，

所以直线AB的斜率k=4−14+2=12，

则直线AB的方程为x−2y+4=0，

联立x2a2+y2b2=1x−2y+4=0，消去x并整理得(4b2+a2)y2−16b2y+16b2−a2b216.(1)因为sin2A+cos2A=1，所以2sinAcosA+1−2sin2A=1，即sinAcosA=sin2A.

因为A∈(0,π)，sinA≠0，所以sinA=cosA，及tanA=sinAcosA=1，所以A=π4．

因为b=1，c=22，

所以由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=1+8−2×22cosπ4=5，

所以a=5；

(2)因为b=1，A=π4，所以S△ABC=12bcsinA=217.(1)设通关概率为P(A)，未通关概率为P(B)：

则P(B)=(1−0.2)×(1−0.3)×(1−0.5)=0.28，

那么，P(A)=1−P(B)=1−0.28=0.72，

故玩家通过这一关的概率为0.72；

(2)计算两种答题顺序的期望积分：

顺序①A→B→C：

答对A题：30×0.2，答错A答对B：20×0.8×0.3，答错A、B答对C：10×0.8×0.7×0.5

期望总积分①：=30×0.2+20×0.8×0.3+10×0.8×0.7×0.5=13.6，

顺序②C→B→A：

答对C：10×0.5，答错C答对B：20×0.5×0.3，答错C、B答对A：30×0.5×0.7×0.2，

期望总积分②：=10×0.5+20×0.5×0.3+30×0.5×0.7×0.2=10.1，

比较结果大小：13.6>10.1

故应选择题序①．18.(1)证明：连接AD1，BD1，CD1，设CD1∩C1D=H，连接FH．

在△ABD1中，E，G分别是AB，AD1的中点，

所以EG//BD1．

在△CBD1中，F，H分别是BC，CD1的中点，

所以FH//BD1，则EG//FH．

因为EG⊄平面C1DF，FH⊂平面C1DF，

所以EG//平面C1DF．

(2)过点D作DK⊥AB交AB于点K．

以D为坐标原点，DK所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，C1(0,2,4)．

设∠BAD=α，且α∈(0,π2)，则DK=ADsinα=2sinα，AK=ADcosα=2cosα．

设F(x0,y0,0)，

则x0=12DK=sinα,y0=12(CD+BK)=2−cosα，

即F(sinα,2−cosα,0)，

则DC1=(0,2,4),DF=(sinα,2−cosα,0)．19.(1)证明：令g(x)=x2sinπx2+x−2，那么导函数g′(x)=2xsinπx2+π2x2cosπx2+1．

令ℎ(x)=g′(x)，那么导函数ℎ′(x)=(2−π2x24)sinπx2+2πxcosπx2．

由于2−π2x24<0，sinπx2>0，2πxcosπx2<0，因此ℎ(x)<0，ℎ(x)在(1,2)上单调递减．

又ℎ(2)=2×2sinπ+π2×4cosπ+1=−2π+1<0，ℎ(1)=