2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列条件中能得到a=b的是(

)A.a=b B.a与b的方向相同

C.a=b，且a→2.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是(

)A.至少有2个红球 B.至少有2个黄球 C.都是黄球 D.至多1个红球3.设a为实数，复数z1=a−2i，z2=−1+aiA.1+3i B.−1 C.−6+6i 4.下列命题是真命题的是(

)A.已知数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10相对于原数据一样稳定

B.若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙

C.数据1，2，3，4，4，5的平均数、中位数相同

D.数据1，2，2，2，3，45.给出下列4个命题，其中正确的命题是(    )．①垂直于同一直线的两条直线平行；

②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；

④垂直于同一平面的两个平面平行．A.①② B.③④ C.②③ D.①④6.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a+c)(a−c)+b(a+b)=0，则C等于(

)A.90° B.60° C.120° D.150°7.已知sin(45°+α)=55，则sin

2αA.−45 B.−35 C.8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°A.32π3 B.4π3 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(

)A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12

B.每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16

C.每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12

D.每次抽取110.已知向量a与b的夹角为30°，且a=1，2a−A.b=3 B.a⋅b=32

11.下列选项中，与cos(−25π3A.2cos15°cos75° B.sin86三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(3,1)，b=(−6,k)，若a→/\!/b→13.已知向量OA对应的复数为z=−1+i，复数zi可以将向量OA按逆时针方向旋转

得到(填最小正角14.在四面体S−ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=5，AC=3，则该四面体体积的最大值为

，此时该四面体外接球的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等腰三角形顶角的余弦值为35，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值．16.(本小题15分已知M、N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点．(1)求证：MN=(2)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边AD的中点，求证：AN⊥(3)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是AD边上的动点，求BE⋅BC17.(本小题15分)在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=(1)若▵ABC外接圆的面积为π，B=30°，求(2)若sinA+3cos18.(本小题17分)“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：40,50,50,60，……，

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．(i)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；(ii)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值．19.(本小题17分)如图，在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD=2，E为BD的中点，F为AC上一点．(1)求证：平面ACE⊥平面BDF(2)若M，N分别是AB，BC的中点，求证：DF/\!/平面EMN；(3)若∠BCD=90°，∠BAD=60①求二面角A−BD−C的余弦值；②求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．

答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项．【详解】因a=b等价于对于A，由a=b不能确定a,对于B，a与b的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误；对于C，当a=b，且a→/\!/b→时，若对于D，当a=0且b=0时，故选：D．2.【答案】C

【解析】【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可．【详解】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1个，2个，3个，由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，即取到的都是黄球，故C正确．故选：C3.【答案】A

【解析】【分析】根据纯虚数求得a=1，代入z1,z【详解】因为z1可得a−1=0a−2≠0，解得a=1则z1=1−2i，z故选：A．4.【答案】D

【解析】【分析】根据一组数据的平均值，方差计算公式，以及中位数，众数定义即可逐一判断．【详解】对于A，依题意数据x1,x2,⋅⋅⋅,由题意111则(x而数据x1,x2,⋅⋅⋅,对于B，因s甲2<对于C，数据1，2，3，4，4，5的平均数为x=16(1+2+3+4+4+5)=19对于D，因数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6中，数字“2”和“4”都出现了最多的3次，故众数是2和4，即D正确．故选：D．5.【答案】C

【解析】【分析】由线线的位置关系可判断①；由线面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质和面面平行的判定可判断③；由面面的位置关系可判断④．【详解】解：对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确；对于③，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错误．故选：C．6.【答案】C

【解析】【分析】整理化简等式，利用余弦定理求出cosC的值，再根据角的范围即可求得角C【详解】因(a+c)(a−c)+b(a+b)=0，整理得：a2由余弦定理，cosC=a2+b故选：C．7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数，考查二倍角公式及同角三角函数间的基本关系．

先根据两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到sinα+cosα的值，然后两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出sin2α的值．【解答】

解：∵sin(α+45°)=sinαcos45°+cosαsin45°=22(sinα+cosα)=55，

∴sinα+cosα=1058.【答案】B

【解析】【分析】根据题设分别取BC,B1C1的中点D,D1，连接DD1，判断直三棱柱【详解】如图，AB=AC=1，∠BAC=90°，分别取BC,B1C则点D,D1分别是▵ABC,△A1B1连接OB1，则OD故直三棱柱ABC−A1B1C故选：B．9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题主要考查古典概型的相关计算，熟记古典概型的概率计算公式，以及列举法确定基本事件个数即可，属于基础题．先记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品，用列举法，结合古典概型的概率计算公式，逐项判断即可．【解答】解：记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．A选项，样本空间ΩA“恰有一件次品”的样本点为1,a，2,a，3,a，因此其概率P=36=B选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，

样本空间ΩB={1,2因此nΩB=12C选项，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为12，C正确D选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，

样本空间ΩD={1,1,1,2,1,3,1,a,2,1故选：ACD．10.【答案】AC

【解析】【分析】利用向量数量积的定义得到a⋅b=32b，再对2a−b=1左右两侧同时平方，建立方程求解b判断A【详解】对于A，因为2a−b因为向量a与b的夹角为30°，且a=1，所以代入4a2−4a⋅b+对于B，由已知得a⋅b=32b对于C，由题意得b⋅则b⊥2a对于D，由投影公式得a在b方向上的投影是acos30°=故选：AC11.【答案】ABC

【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角公式与和、差角公式化简计算再逐一判断即得．【详解】因cos(−对于A，2cos15°cos对于B，sin86°cos56对于C，因tan45∘=故11+tan3对于D，cos=cos(45°−故选：ABC．12.【答案】−2

【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示式求解即得．【详解】由a→/\!/b→可得故答案为：−2．13.【答案】π2【解析】【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为θ，根据复数相等列出方程，求解即得．【详解】因z=−1+i设将向量OA按逆时针方向旋转θ角，可得到复数zi则由−1−i=(−1+i故有−cosθ−sinθ=−依题意求最小正角，则θ=π故答案为：π214.【答案】30【解析】【分析】考查四面体的体积最大时的情况，及外接球的表面积公式，属于基础题．

由题意可得当四面体的体积最大时即面SAB⊥面ABC，求出四面体的高，进而求出体积，由数值可得H为外接球的球心，球的半径为SH=CH，进而求出外接球的表面积．【解答】

解：四面体的体积最大时即面SAB⊥面ABC，

SA=SB=2，且SA⊥SB，则AB=22，

又BC=5，AC=3，

则BC2+AC2=8=AB2，所以∠ACB=90°，

取AB的中点H，连接CH，SH，则SH⊥AB，

又面SAB∩面ABC=AB，SH在面SAB内，而SH=122SA=2，

所以SH⊥面ABC，所以VS−ABC=13⋅S△ABC⋅SH=13⋅12⋅15.【答案】解：设等腰三角形的顶角为α，底角为β，依题意，cosα=因为α+2β=π，所以β∈(0,由cos2β=2cos2β−1=−所以tanβ=

【解析】根据等腰三角形的顶角与底角之间的数量关系，利用诱导公式、二倍角公式与同角的三角函数关系式计算即得．16.【答案】解：(1)如图(1)，MN=AD(2)以点A为坐标原点建立如图(2)所示的平面直角坐标系，依题意，有A(0,0)，D(2,0)，N(2,1)，B(0,2)，C(2,2)，E(1,0)，则AN=(2,1)，BE=(1,−2)，由(3)由(2)，设AE=x，x∈[0,2]，则E(x,0)，BC=(2,0)，BE因为x∈[0,2]，所以当x=2时，BE⋅

【解析】(1)结合图形，利用向量的加减数乘等运算和题设条件即可证得；(2)通过建系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的充要条件即可证明；(3)设AE=x，则得E(x,0)，利用向量的坐标计算数量积，再根据x∈[0,2]，即可确定17.【答案】解：(1)设▵ABC外接圆的半径为R，依题意，πR2由正弦定理可得bsinB=2R又因为b+c=2+1，b=1，所以c=由C∈0,π且c>b，得C=π(2)由sinA+3因A∈0,π，故A+π3因为b+c=2+1，所以S所以▵ABC面积的最大值为3+2

【解析】(1)由正弦定理求出边b，继而求出边c，再由正弦定理求得sinC=2(2)先由辅助角公式化简等式求得A=π6，利用基本不等式结合条件求出bc的最大值，即可求得18.【答案】解：(1)由频率分布直方图有10a=1−10×0.005+0.010×2+0.020+0.025解得a=0.030，因为10×0.005+0.010+0.020=0.35<0.5，所以中位数在区间70,80内，设为x，则有10×0.005+0.010+0.020+0.03×x−70所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；(2)设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道题，乙答对”，C=“任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得：PA=1220=所以有PA=25，(i)记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有D=AB∪AB，且有因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立，所以P=3所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率1325(ii)记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则E=所以P=1−2解得：n=10．

【解析】本题考查频率分布直方图，古典概型及其计算，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．

(1)根据频率之和为1即可求出a，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可；(2)(i)根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可；(ii)根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可．19.【答案】解：(1)在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD，