《菱形》第2课时分层作业

数学第第页《平行四边形》菱形第2课时A卷（基础）一、选择题1．下列说法正确的是（）A．对角线垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是菱形C．菱形的对角线相等且互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且平分【答案】D【解析】由于对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A、B均错误；由于菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，故C错误，D正确．故选D．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★【题型】选择题2．如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（）A．全相等 B．互不相等C．只有两条相等 D．不能确定【答案】A【解析】由于对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，根据题意，可知四边形ACBD是菱形，故AC＝BC＝AD＝BD．故选A．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★【题型】选择题3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．28 C．32 D．36【答案】A【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA．∴FA＝FD．∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．故选A．【知识点】菱形的判定与性质；等腰三角形的判定．【难度】★【题型】选择题4．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为10cm，则菱形ABCD的周长为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC的中点．又∵M为AB的中点，∴MO为△ABC的中位线．∴BC＝2MO＝20cm，∴菱形ABCD的周长＝4BC＝80cm．故选C．【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【难度】★【题型】选择题二、填空题5．______相等的四边形是菱形．菱形的对角线______________，且每条对角线_________.对角线所在的直线是菱形的_______．【答案】四边；互相平分且垂直；平分一组对角；对称轴．【解析】四边相等的四边形是菱形．菱形的对角线互相平分且垂直，且每条对角线平分一组对角．菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半．对角线所在的直线是菱形的对称轴．故答案为：四边；互相平分且垂直；平分一组对角；对称轴．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★【题型】填空题6．如图，已知AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝40°，那么∠B＝_____．【答案】100°．【解析】∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．∴AD∥BC，AC平分∠DAB．∵∠DAC＝40°．∴∠DAB＝2∠DAC＝80°．∴∠B＝180°﹣∠DAB＝100°．故答案为：100°．【知识点】菱形的判定与性质；平行线的性质．【难度】★【题型】填空题7．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，AB＝11，则四边形ABCD的周长为____．【答案】44【解析】∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，∴四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD的周长为4AB＝4×11＝44．故答案为：44．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★【题型】填空题8．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为______．【答案】30°【解析】由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四边形ABCD是菱形．∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°．∴∠ACB＝∠CAD＝30°．故答案为：30°．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★【题型】填空题三、解答题9．拿出平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．如果把DC沿CB方向平行移动，□ABCD的边、内角、对角线都随着变化．当平移DC使BC＝AB时：（1）□ABCD四条边的大小有什么关系？结合图形说明理由．（2）对角线AC、BD的位置有什么关系？结合图形说明理由．【答案】（1）□ABCD四条边相等，理由见解析过程．（2）对角线AC、BD互相垂直，理由见解析过程．【解析】（1）□ABCD四条边相等．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵BC＝AB，∴AB＝BC＝CD＝AD．∴四边形ABCD是菱形．∴□ABCD四条边相等．（2）对角线AC、BD互相垂直．理由如下：由（1）知四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴对角线AC、BD互相垂直．【知识点】菱形的判定与性质；生活中的平移现象．【难度】★【题型】解答题10．校园内有一块四边形的花坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝BC＝CD＝DA＝3米，∠B＝30°．（1）请判断四边形ABCD的形状，并加以证明；（2）求花坪造型的面积．【答案】（1）四边形ABCD是菱形，理由见解析；（2）4.5平方米．【解析】（1）四边形ABCD是菱形，证明如下：∵AB＝BC＝CD＝DA＝3，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝3米，∠B＝30°，∴AE＝1.5米．∴花坪造型的面积为：3×1.5＝4.5（平方米）．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1．依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】A．平行四边形的一个角为60°，不能确定边的长度，不一定是菱形，故A不一定是菱形；B．∵四边形是平行四边形，又32+42＝52，对角线相互垂直，所以平行四边形是菱形；C．由题意，平行四边形有一组邻边相等，由菱形的定义可知该平行四边形是菱形；D．因为“等角对等边”，故平行四边形有一组邻边相等，故是菱形．故选A．【知识点】菱形的判定．【难度】★★【题型】选择题2．如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，增加下列其中一个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③DE＝DF；能使四边形ABCD是菱形的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）．∴AD＝CD．∴□ABCD为菱形；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA）．∴AD＝CD．∴□ABCD为菱形；③由AE＝CF，DE＝DF，∠A＝∠C，不能判定△ADE≌△CDF，∴不能得出AD＝CD．∴不能使□ABCD为菱形；综上所述，能使四边形ABCD是菱形的条件个数为2个，故选C．【知识点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【难度】★★【题型】选择题3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB【答案】C【解析】∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故A正确；∵AO2+BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形，故B正确；∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故C错误；∵∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故D正确．故选C．【知识点】菱形的判定；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质．【难度】★★【题型】选择题4．如图，在□ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则□ABCD的面积为（）A．20 B．24 C．40 D．48【答案】B【解析】如图所示，连接AC交BD于O，在□ABCD中，AB＝BC＝5，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，又∵对角线BD＝8，∴BO＝4．在Rt△AOB中，AO＝＝＝3．∴AC＝2AO＝6．∴菱形ABCD的面积为＝＝24．故选B．【知识点】菱形的判定与性质；勾股定理．【难度】★★【题型】选择题5．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（）A．10B．12C．13D．【答案】B【解析】由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE．∵OC＝OD＝DE＝CE，∴四边形ODEC是菱形．如图，连接CD交OE于点F，∵四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，∴CF＝DF＝6∴CD＝12．故选B．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★★【题型】选择题6．如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（）A． B．8 C． D．【答案】C【解析】∵EB∥CD，EC∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形．在△ABC中，∵AC＝，BC＝4，AB＝，（）2+42＝2+16＝18＝（3）2，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．∵点D是AB的中点，∴DC＝AD＝DB＝AB＝．∴四边形CEBD是菱形．∴四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．故选C．【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．【难度】★★【题型】选择题7．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（）A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∵BM＝DN，∴OM＝ON．∴四边形AMCN是菱形．故方案甲正确；∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC．∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，∴∠MAC＝∠NAC．∵∠AOM＝∠AON＝90°，在△AOM和△AON中，，∴△AOM≌△AON（ASA）．∴OM＝ON．∴四边形AMCN是平行四边形．∵AC⊥MN，∴四边形AMCN是菱形．故方案乙正确．故选C．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★★【题型】选择题二、填空题8．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是_______．【答案】①②③【解析】∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AD＝AB，CD＝CB．∵AD＝CB，∴AD＝CB＝AB＝CD．∴四边形ABCD是菱形．∴①AD∥CB，正确；②AC⊥BD，正确；③AO＝OC，正确；④AB不一定垂直于BC，错误．故答案为：①②③．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★★【题型】填空题9．小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是___________________________．【答案】菱形的每一条对角线都平分它的一组对角【解析】如图．∵直尺的对边互相平行，∴AP∥OB，OA∥BP．∴四边形AOBP是平行四边形．∵直尺的宽度相同，∴AP与OB间的距离＝OA与BP间的距离．∵□AOBP的面积不变．∴OA＝OB．∴□AOBP是菱形．∴OP平分∠AOB．故答案为：菱形的每一条对角线都平分它的一组对角．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★★【题型】填空题10．如图所示，把两个等宽的纸条按图示放置，如果重叠部分的四边形的两条对角线的长分别是+1，－1，则重叠部分的四边形面积是_____．【答案】1【解析】过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，∵把两个等宽的纸条按图示放置，∴AD∥BC，AB∥CD，DE＝DF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S四边形ABCD＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC．∴四边形ABCD是菱形．∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×（+1）（－1）＝1．故答案为：1．【知识点】菱形的判定与性质．【难度】★★【题型】填空题三、解答题11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解析】（1）四边形AEBO是矩形．理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．（2）∵四边形AEBO是矩形，∴EO＝AB．在菱形ABCD中，AB＝DC．∴EO＝DC．【知识点】菱形的性质；矩形的判定．【难度】★★【题型】解答题12．如图，在□ABCD中，对角线BD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，连接BE，DF．求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明见解析过程．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB．∴∠EDO＝∠FBO．∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，∠EOD＝∠FOB＝90°．在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA）．∴OE＝OF．又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．【知识点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定．【难度】★★【题型】解答题13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．【答案】（1）见解析过程；（2）4．【解析】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC，∴四边形BDCE为平行四边形．∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，∴．∴四边形BDCE为菱形.（2）解：如图，连接DE交BC于O点．∵四边形BDCE为菱形，BC＝4，∴，∵∠ACB＝60°，∴∠EDC＝90°－∠ACB＝30°．∴DC＝2OC＝4，DO＝OC＝2．∴．【知识点】菱形的判定与性质；含30°角直角三角形的性质；直角三角形斜边中线定理．【难度】★★【题型】解答题14．如图，在□ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．【答案】（1）见解析；（2）AE＝4．【解析】（1）证明：∵□ABCD，∴BC∥AD，即BE∥AF．∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形．∵AE平分∠BAF，∴∠EAB＝∠EAF．∵BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAF．∴∠BEA＝∠BAE．∴AB＝BE．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：连接BF交AE于点O，则BF⊥AE于点O．∵BA＝BE，∠EBA＝120°，∴∠BEA＝∠BAE＝30°．∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝4．在Rt△ABO中∠BAO＝30°，∴BO＝AB＝2．∴AO＝．∴AE＝．【知识点】菱形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【难度】★★【题型】解答题15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）见解析过程；（2）96．【解析】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS）．∴AF＝DB．∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∴AF＝CD．∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一、选择题1．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【答案】A【解析】∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD．∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形．∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．故选A．【知识点】菱形的判定；三角形中位线定理．【难度】★★★【题型】选择题2．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC．∵AD＝AC，∴OC＝BC．∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝AB．∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°．∵P是CD的中点，∴NP＝CD＝AB．∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD．又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC．∴四边形MNCP是平行四边形，但无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND．∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND．∴∠MND＝∠PND．∴ND平分∠PNM，④正确；故正确的有3个，故选C．【知识点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质．【难度】★★★【题型】选择题二、填空题3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，连接DE交AB于点G，EF与AC交于点H．以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD．其中，正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④．【解析】①如图，连接CF，∵∠ACB＝90°，F为AB中点，∴CF＝AB＝AF，∴点F在AC的垂直平分线上，∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE，∴点E在AC的垂直平分线上，∴EF⊥AC，故①正确；②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，∴DF⊥AB，∴AD＞DF，∴四边形ADFE不可能是菱形，故②不正确；③∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，∴EF∥AD，∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，∴EF＝2AF＝AB，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AG＝AF＝AB＝AD，∴AD＝4AG，故③正确；④∵∠BAC＝30°，∴FH＝AF＝AB＝BD，∴FH＝BD，故④正确；正确的结论有①③④，故答案为：①③④．【知识点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【难度】★★★【题型】填空题4．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①BC⊥BE；②AF＝3OF；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论有.（填序号）【知识点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质．【答案】①③④．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB，AB∥CD，OB＝OD．∵CD＝2OB，∴BC＝DC＝BD．∴△BDC是等边三角形．∴∠BCD＝60°．∵DE＝CD，∴DE＝BD．∴∠DBE＝∠DEB．∵∠BCD＝∠DBE+∠DEB＝60°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°．∴∠EBC＝90°．∴BC⊥BE，故①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵∠OBF＝30°，∴BF＝2OF．∵∠ABF＝∠E＝30°，∠BAF＝∠BCA＝30°，∴∠ABF＝∠BAF．∴BF＝AF．∴AF＝2OF，故②错误；∵AB＝CD＝DE，AB∥CD，∴△ABD和△DEB等底等高，故面积相等．∴△ABD和