2025年新高二数学人教A版学困生专题复习《统计》

第24页（共24页）2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《统计》一．选择题（共8小题）1．（2025春•东莞市月考）从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，三者关系可能是（）A．p1＝p2＜p3 B．p1＝p2＝p3 C．p1＝p3＜p2 D．p2＝p3＜p12．（2025•秦皇岛一模）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．5、7 B．6、7 C．8、5 D．8、73．（2025•红桥区校级模拟）某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是（）A．45 B．48 C．50 D．604．（2025•信阳二模）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，方差为2.8 C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，众数为25．（2025•建邺区校级三模）一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，若该组数据的众数是中位数的23A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．（2025•湛江一模）一组数据1，3，7，9，m（m＞0）的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（）A．[5，7] B．[5，15] C．[7，15] D．[5，20]7．（2025•安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．（2025春•江苏校级期中）一组数据x1，x2，x3，⋯，x10满足xi﹣xi﹣1＝2（2≤i≤10），若去掉x1，x10后组成一组新数据．则新数据与原数据相比（）A．极差变大 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•龙岗区校级期中）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（）A．甲同学：第25百分位数为3，众数为5 B．乙同学：平均数为3，方差为2.4 C．丙同学：中位数为3，极差为2 D．丁同学：平均数为3，中位数为4（多选）10．（2025•茂名模拟）掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（）A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为4，众数为3 C．平均数为4，方差为1.6 D．平均数为5，标准差为2（多选）11．（2025•广东校级模拟）有一组互不相等的样本数据x1，x2，…，x6，平均数为x，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为y1，y2，…，y5，平均数为y，则（）A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C．若x=yD．若x=y，则新数据的40%分位数一定大于原数据的（多选）12．（2025•南昌校级模拟）已知两组样本数据，第一组x1，x2，x3，x4，x1+xA．这两组数据的平均数一定相等 B．这两组数据的极差一定相等 C．这两组数据的第90百分位数一定相等 D．这两组数据的众数一定相等三．填空题（共4小题）13．（2024秋•宜春期末）已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为．14．（2025•金山区校级三模）已知某4个数据的平均数为6，方差为5，现加入一个数据6，此时这5个数据的方差为．15．（2025•上海模拟）现有如下10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，则这批数据的第25百分位数为．16．（2025春•浦东新区校级期中）某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：20，24，25，26，26，27，28，29，30，32，33，36，据此预计，这12棵果树的产量75百分位数为千克．四．解答题（共4小题）17．（2025春•七里河区校级期中）某电子商务公司对10000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的a的值；（2）估计这10000名网络购物者在2017年度的消费的中位数和平均数．18．（2025春•武威月考）某志愿者组织有男成员48人，其中35岁以上的有12人；有女成员36人，其中35岁以上的有18人．（1）如果按照性别进行分层抽样，要抽取一个容量为21的样本，那么男、女成员各应抽取多少人？（2）如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为28的样本，那么35岁以上的成员应抽取多少人？19．（2024秋•宝山区校级期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8．（1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数；（2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5、5.3、5.6、5.8、5.9，求所选女生样本的第40百分位数；（3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）．20．（2024秋•青浦区校级期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查．根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人．已知该校高三年级一共512人．（1）学校高中三个年级一共有多少个学生？（2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如表所示（其中x＜10，n是正整数）日均睡眠时间（小时）x8.599.510学生数量n3213114求该样本的第40百分位数．

2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《统计》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDDABBAC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABADACBC一．选择题（共8小题）1．（2025春•东莞市月考）从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，三者关系可能是（）A．p1＝p2＜p3 B．p1＝p2＝p3 C．p1＝p3＜p2 D．p2＝p3＜p1【考点】分层随机抽样及其适用条件；古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案．【解答】解：因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为nN所以p1＝p2＝p3．故选：B．【点评】本题考查了抽样的概念，属于基础题．2．（2025•秦皇岛一模）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．5、7 B．6、7 C．8、5 D．8、7【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】将数据由小到大进行排列，利用众数和中位数的定义可求得结果．【解答】解：将数据由小到大进行排列为：5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．【点评】本题主要考查众数和中位数的定义，属于基础题．3．（2025•红桥区校级模拟）某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是（）A．45 B．48 C．50 D．60【考点】频率分布直方图的应用．【专题】计算题；数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】低于60分的人数是18人，由频率分布直方图得低于60分的频率，由此能求出参加体能测试的学生人数．【解答】解：低于60分的人数是18人，由频率分布直方图得低于60分的频率为：（0.005+0.010）×20＝0.3．∴参加体能测试的学生人数n=180.3故选：D．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2025•信阳二模）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，方差为2.8 C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，众数为2【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】根据题意，依次分析选项是否有误，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，反之若平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数对于B，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，方差为2.8，不符合题意；对于C，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，不符合题意；对于D，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差的计算，注意平均数、中位数、众数、方差的计算公式，属于基础题．5．（2025•建邺区校级三模）一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，若该组数据的众数是中位数的23A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【考点】中位数；众数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用中位数和平均数的概念求解即可．【解答】解：一组数据1，7，5，2，x，2，且1＜x＜5，x∈N*，则众数为2，则中位数为2×所以将数据按照从小到大排列得1，2，2，x，5，7，则2+x2=3，解得x则平均数为16故选：B．【点评】本题主要考查中位数和平均数的概念，属于基础题6．（2025•湛江一模）一组数据1，3，7，9，m（m＞0）的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（）A．[5，7] B．[5，15] C．[7，15] D．[5，20]【考点】中位数；平均数．【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是m或7，分两种情况分别求解即可．【解答】解：因为这组数据的平均数为1+3+7+9+m所以这组数据的中位数只可能是m或7，若这组数据的中位数是7，则4+m5≤7≤m，即7≤若这组数据的中位数是m，则4+m5≤m≤7，即5综上所述，m的取值范围为5≤m≤15．故选：B．【点评】本题考查数据的数字特征，属于基础题．7．（2025•安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】平均数；中位数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断．【解答】解：根据题意，由数据分布图知，数据的众数为c，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值，数据的中位数为b，直线x＝b左右两边矩形面积相等，而直线x＝c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b＜c，数据的平均数为a，由于数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即a＜b，所以a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查由数据分布图分析数据，注意平均数、中位数、众数的定义，属于基础题．8．（2025春•江苏校级期中）一组数据x1，x2，x3，⋯，x10满足xi﹣xi﹣1＝2（2≤i≤10），若去掉x1，x10后组成一组新数据．则新数据与原数据相比（）A．极差变大 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小【考点】平均数；方差；极差；百分位数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉x1，x10前后的相关数据，比较厚得到答案．【解答】解：由于xi﹣xi﹣1＝2（2≤i≤10），故x2＝x1+2，x3＝x1+4，……，x9＝x1+16，x10＝x1+18，A选项，原来的极差为x10﹣x1＝18，去掉x1，x10后，极差为x9﹣x2＝14，极差变小，故A错误；B选项，原来的平均数为x1去掉x1，x10后的平均数为x2+xC选项，去掉x1，x10后的方差为(x原来的方差为(x方差变小，故C正确；D选项，10×25%＝2.5，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即x3，8×25%＝2，故从小到大排列，选择第2个和第3个数作为第25百分位数，即x3由于x3＜x3+x42，去掉x1，故选：C．【点评】本题主要考查极差，平均数，方差与百分位数的定义，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•龙岗区校级期中）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（）A．甲同学：第25百分位数为3，众数为5 B．乙同学：平均数为3，方差为2.4 C．丙同学：中位数为3，极差为2 D．丁同学：平均数为3，中位数为4【考点】百分位数；平均数；中位数；众数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AB【分析】根据百分位数、中位数、众数、平均数、极差、方差定义求解．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若甲掷骰子所得的点数为1，3，5，5，6，由于5×0.25＝1.25，其第25百分位数为3，众数为5，满足题意，故甲的结果可能出现点数6，A正确；对于B，若乙掷骰子所得的点数为2，2，2，3，6，其平均数为2+2+2+3+65方差为(2-3)故乙的结果可能出现点数6，B正确；对于C，若出现6，且极差为2，则最小数为4，则中位数不可能为3，故C错误；对于D，因为平均数为3，所以5个数总和为15，若要出现6，且中位数为4，则剩余三个数之和为5，则剩余三个数都比4小，那么中位数不可能是4，矛盾，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查数据中位数、极差、平均数和百分位的计算，注意反证法的应用，属于基础题．（多选）10．（2025•茂名模拟）掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（）A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为4，众数为3 C．平均数为4，方差为1.6 D．平均数为5，标准差为2【考点】平均数；中位数；众数．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AD【分析】根据题意，举出实例可得A、D正确，由平均数、众数的计算公式分析B，由平均数、方差的计算公式分析C，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，有可能出现点数1，例如1，2，5，6，6，符合题意；对于B，假设出现点数1，由于5次点数的平均数为4，即5次点数之和为10，由于出现点数1，3至少出现2次，则剩下两次点数之和为13，是不可能的，故不可能出现点数1，B错误；对于C，假设出现点数1，由于平均数为4，则其方差S2＞15（4﹣1）2＝与方差为1.6相矛盾，故不可能出现点数1，C错误；对于D，有可能出现点数1，例如1，6，6，6，6，符合题意．故选：AD．【点评】本题考查平均数与中位数、极差和众数的计算，注意平均数与中位数、极差和众数的计算公式，是基础题．（多选）11．（2025•广东校级模拟）有一组互不相等的样本数据x1，x2，…，x6，平均数为x，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为y1，y2，…，y5，平均数为y，则（）A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C．若x=yD．若x=y，则新数据的40%分位数一定大于原数据的【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】根据题意，由数据极差、中位数、平均数和百分位数的计算公式分析4个命题，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若删除的数据既不是最大值，也不是最小值，则新数据的极差等于原数据的极差，A正确；对于B，数据x1，x2，…，x6，假设x1＜x2＜…＜x6，其中位数为12（x3+x4），一定不在x1，x2，…，x6，之中，随机删去其中一个数据，得到一组新数据，所得数据的中位数是y1，y2，…，y5一个，故新数据的中位数不会等于原数据的中位数，B对于C，若x=y，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，由方差的计算公式，新数据的方差一定大于原数据方差，对于D，假设原来数据为1、2、3、4、5、6，若x=y，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，即删除的数据为新数据为1、2、4、5、6，原来数据的第40百分位数3，新数据的第40百分位数为3，D错误．故选：AC．【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，涉及数据的中位数、极差的计算，属于基础题．（多选）12．（2025•南昌校级模拟）已知两组样本数据，第一组x1，x2，x3，x4，x1+xA．这两组数据的平均数一定相等 B．这两组数据的极差一定相等 C．这两组数据的第90百分位数一定相等 D．这两组数据的众数一定相等【考点】百分位数；平均数；众数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】根据给定条件，利用平均数、极差、第90百分位数的定义判断ABC；利用众数的定义举例说明判断D．【解答】解：第二组数据由小到大排列为x1，x第一组数据由小到大排列为x1x1对于A，由1=15(x1+x22-x因此这两组数据的平均数不一定相等，A错误；这两组数据的极差都为x4﹣x1，B正确；由5×90%＝4.5，得这两组数据的第90百分位数都为x4，C正确；取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，第一组数据为1，32第二组数据为1，2，2，3，4，其众数为2，因此这两组数据的众数不同，D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•宜春期末）已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为92【考点】极差．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】92【分析】根据已知条件，结合极差、中位数的定义，求出a1，a2，a3，a4的值，再结合第75百分位数的定义，即可求解．【解答】解：互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，则这4个数据的极差为：a4﹣a1，中位数为a2这4个数据的极差是中位数的2倍，则a4-a1=2×a2+a32=aa1，a2，a3，a4的和为12，则a1+a2+a3+a4＝12，故a4＝6，a1，a2，a3从小到大且为互不相等的正实数，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，4×0.75＝3，则这4个数据的第75百分位数为3+62故答案为：92【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．14．（2025•金山区校级三模）已知某4个数据的平均数为6，方差为5，现加入一个数据6，此时这5个数据的方差为4．【考点】方差．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，设原来的4个数据分别为a，b，c，d，由平均数和方差的计算公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设原来的4个数据分别为a，b，c，d，原来4个数的平均数为6，则a+b+c+d＝6×4＝24，现在5个数的平均数x=15（a+b+c+d+6）＝6，即这5原来4个数的方差为5，则14[（a﹣6）2+（b﹣6）2+（c﹣6）2+（d﹣6）2）]＝5，即[（a﹣6）2+（b﹣6）2+（c﹣6）2+（d﹣6）2）]＝20则现在5个数据的方差S2=15[（a﹣6）2+（b﹣6）2+（c﹣6）2+（d﹣6）2）+（6﹣6）2]＝故答案为：4．【点评】本题考查方差的计算，涉及平均数的计算公式，属于基础题．15．（2025•上海模拟）现有如下10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，则这批数据的第25百分位数为294．【考点】百分位数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】294．【分析】根据百分位数的概念计算可得结果．【解答】解：10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，将10个数据从小到大排序为：293，293，294，296，301，302，303，305，305，306，∵10×25%＝2.5，∴这批数据的第25百分位数为排序后的第3个数，即294．故答案为：294．【点评】本题主要考查百分位数的概念，是基础题．16．（2025春•浦东新区校级期中）某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：20，24，25，26，26，27，28，29，30，32，33，36，据此预计，这12棵果树的产量75百分位数为31千克．【考点】百分位数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】31．【分析】找出第9个数字和第10个数字取平均数即可．【解答】解：根据题意，12个数据依次为：20，24，25，26，26，27，28，29，30，32，33，36，由于12×75%＝9，则第75百分位数为30+322故答案为：31．【点评】本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•七里河区校级期中）某电子商务公司对10000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的a的值；（2）估计这10000名网络购物者在2017年度的消费的中位数和平均数．【考点】补全频率分布直方图．【专题】数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝3．（2）中位数为815，平均数为0.537【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出a．（2）由频率分布直方图的性质能求出中位数和平均数．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：0.02+0.08+0.15+0.2+0.25+0.1a＝1，解得a＝3．（2）0.5﹣0.15﹣0.25＝0.1，∴中位数为：0.13平均数：0.35×0.15+0.45×0.25+0.55×0.3+0.65×0.2+0.75×0.08+0.85×0.02＝0.537．【点评】本题考查频率分布直方图、中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（2025春•武威月考）某志愿者组织有男成员48人，其中35岁以上的有12人；有女成员36人，其中35岁以上的有18人．（1）如果按照性别进行分层抽样，要抽取一个容量为21的样本，那么男、女成员各应抽取多少人？（2）如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为28的样本，那么35岁以上的成员应抽取多少人？【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）应该抽取男成员12人，女成员9人；（2）35岁以上的成员应抽取10人．【分析】由分层抽样的原理求解即可．【解答】解：（1）如果按照性别进行分层抽样，要抽取一个容量为21的样本，则男成员应该抽取21×女成员应该抽取21×（2）由题意可知35岁以上的成员应抽取28×【点评】本题主要考查分层抽样的原理，属于基础题．19．（2024秋•宝山区校级期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8．（1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数；（2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5、5.3、5.6、5.8、5.9，求所选女生样本的第40百分位数；（3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）．【考点】百分位数；方差．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）2000；（2）5.6；（3）平均数为7.168，方差为7.692．【分析】（1）结合分层抽样的定义，即可求解；（2）结合百分位数的定义，即可求解；（3）结合平均数和方差的定义，即可求解．【解答】解：（1）按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．设该校学生总数为n，则1280n=4848+27，解得所以该校学生总数为2000．（2）由27×40%＝10.8，得所选女生样本的第40百分位数为第11个数5.6．（3）所有样本数据的平均数x=所有样本数据的方差为s2【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．20．（2024秋•青浦区校级期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查．根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人．已知该校高三年级一共512人．（1）学校高中三个年级一共有多少个学生？（2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如表所示（其中x＜10，n是正整数）日均睡眠时间（小时）x8.599.510学生数量n3213114求该样本的第40百分位数．【考点】百分位数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）1600；（2）8.25．【分析】（1）先求出高三年级的人数，再结合分层随机抽样的定义求解；（2）根据百分位数的定义求解．【解答】解：（1）根据题意，在抽取的100名学生中，高三年级的人数为100﹣35﹣33＝32，设高中三个年级一共有M个学生，M∈N*，所以32512解得M＝1600，所以高中三个年级一共有1600个学生；（2）因为抽取100名学生的样本极差为2，x＜10，所以10﹣x＝2，可得x＝8，因为n+32+13+11+4＝100，可得n＝40，因为100×40%＝40，所以该样本的第40百分位数为8+8.52【点评】本题考查百分位数的定义，涉及分层抽样的分析，属于基础题．

考点卡片1．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．分层随机抽样及其适用条件【知识点的认识】一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．适用于总体异质性的情况．【解题方法点拨】﹣按照层的比例进行样本分配，根据层的异质性选择适当的分层方法．【命题方向】﹣主要考察分层抽样方法的应用及其适用条件．3．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量【知识点的认识】﹣比例分配：根据每层在总体中的比例分配样本量．﹣计算：每层样本量＝总样本量×层的比例．【解题方法点拨】﹣确定每层样本的分配比例，并计算各层的样本量．【命题方向】﹣重点考察分层随机抽样中样本量的分配问题．4．补全频率分布直方图【知识点的认识】﹣补全：解决直方图中图形或数据缺失的问题．【解题方法点拨】﹣补全：通过对频率分布表的检查，找出并填补直方图中的缺失部分．【命题方向】﹣常见于直方图的制作和数据补全问题中．5．频率分布直方图的应用【知识点的认识】﹣应用：用于数据的分布可视化，帮助分析数据集中趋势、离散程度等．【解题方法点拨】﹣分析：通过直方图观察数据的分布特征，识别数据的集中区域和离散程度．【命题方向】﹣重点考察如何解读频率分布直方图及其对数据分析的贡献．6．用样本估计总体的集中趋势参数【知识点的认识】1．众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即x=2．众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就