2025年新高二数学人教A版尖子生专题复习《统计》

第37页（共37页）2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《统计》一．选择题（共8小题）1．（2025•江苏校级模拟）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差大于x1，x2，…，x6的极差2．（2025春•滨海新区校级期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（）A．a＝0.01 B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为2523．（2025•鹤壁一模）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构．常用的方法之一是“除留余数法”．例如，当除数为3时，键值为13的数据因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值10和13均映射到同一位置）．现有一个容量为7个位置（编号0～6）的哈希表，以除留余数法（除数为7）进行映射，需要存储22个数据．设这7个位置存放的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中正确的是（）A．至少有1个位置存放了不少于5个数据 B．若这22个数据的键值恰好是0～44间的所有奇数，则a0～a6的中位数为2 C．若a0～a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为290449D．若a0～a6的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据4．（2025•红桥区一模）在2023年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A．该省考生数学成绩的中位数为75分 B．若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分 C．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人 D．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为705．（2024秋•广东校级期末）某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图．如果要让90%的产品长度不超过a厘米，根据直方图估计，下列最接近a的数是（）A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.56．（2024秋•官渡区期末）为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲地、乙地、丙地3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点．已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2，y，z，且依次构成等差数列，而2，y﹣1，z成等比数列，若用分层抽样的方法抽取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为（）A．18 B．16 C．10 D．47．（2024秋•南阳期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，a，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则a＝（）A．20 B．21 C．23 D．248．（2025•成都模拟）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（）A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东月考）已知甲组样本数据：x1，x2，x3，x1+x2+x33，乙组样本数据：x1，x2，x3，x4，x1+A．两组样本数据的样本中位数相同 B．两组样本数据的样本极差相同 C．两组样本数据的样本第30百分位数相同 D．两组样本数据的样本方差相同（多选）10．（2025•信阳二模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，s12；A．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25（多选）11．（2025春•金昌校级期中）某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：月份t123456销量y（万辆）11.712.413.813.214.615.3根据上表的数据，下列说法正确的是（）A．销量的极差为3.6 B．销量的平均数为13.5 C．销量的第40百分位数为13.8 D．销量的中位数为13.2（多选）12．（2025春•泸县期中）某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组[0，0.5），[0.5，1），…，[3，3.5）制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（）A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4三．填空题（共4小题）13．（2025•陕西模拟）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为．14．（2025春•临泉县校级月考）某单位有男职工450人，女职工300人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为50的样本，则女职工应抽取的人数为．15．（2025•安顺模拟）给定素数（仅有1与本身是约数的数）p，若pm∥n（即pm|n，且pm+1∤n．其意为pm整除n，且pm+1不能整除n），记为Potpn＝m，称m＝Potpn是给定素数p的一个数论函数．则Pot32025＝．当a，b∈A＝{s|Pot3s＝2，s＜40}，且a≠b，则形如ab所有结果形成的样本数据的80%分位数是．16．（2024春•天宁区校级期末）设x，y，z都是正整数，且x∈[5，10]，y∈[11，20]，z∈[21，25]，当x，y，z的取值依次为时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值）四．解答题（共4小题）17．（2025春•杨浦区校级月考）某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．（1）求a的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；（2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差．组别频数频率[140，148）40.10[148，156）8n[156，164）mp[164，172）120.30[172，180）20.05初二女生身高样本的频率分布表18．（2025春•松江区校级月考）某校在高二期末考试，从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值，并估计该校高二学生周末等级考化学成绩的平均数x及中位数x0；（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[50，60）和[70，80）内的学生中共抽取9人查看他们的答题情况，再从中选取3人进行个案分析，求这3人中恰有一人原始成绩在[50，60）内的概率；（3）已知落在[80，90）的平均成绩x=86，方差s12=6，落在[90，100]的平均成绩y=92，方差s22=12，求落在[80，100]的平均成绩19．（2025春•万州区月考）2025年4月19日，全球首个“人形机器人”半程马拉松在北京举行，某机构调查了1000名观众，将这1000名观众对“人形机器人”的评分数据分成[40，50]，（50，60]，（60，70]，（70，80]，（80，90]，（90，100]六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中评分的中位数；（2）已知评分在（60，70]，（80，90]这两区间内数据的方差分别为s12=9，s22=6，且每组以该组的中间值作为该组的平均值，现将评分在（60，20．（2024秋•丰城市校级期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x=80，标准差s=35，若剔除其中的75和85两个

2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《统计》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDDACBAD二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCBCDABBCD一．选择题（共8小题）1．（2025•江苏校级模拟）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差大于x1，x2，…，x6的极差【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断．【解答】解：对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n-因为没有确定2（x1+x6），x5+x2+x3+x4的大小关系，所以无法判断m，n的大小，例如：1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5；例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2，∴m＜n；例如1，2，2，2，2，2，可得m=2，n=116，∴对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如：2，4，6，8，10，12，则平均数n=标准差s14，6，8，10，则平均数m=标准差s2显然1053＞5，即s1＞s2对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数均为x3+x对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6﹣x1≥x5﹣x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D错误．故选：B．【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是中档题．2．（2025春•滨海新区校级期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（）A．a＝0.01 B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252【考点】频率分布直方图的应用；中位数；众数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据频率分布直方图的性质，众数的概念，平均数的概念，中位数的概念，即可分别求解．【解答】解：根据题意可得（0.005+0.0075+0.0175+a+0.0075+0.0025）×20＝1，解得a＝0.01，所以A选项正确；所以可得这100株水稻的稻穗数的众数约为240+2602=250，所以所以100株水稻的稻穗数的平均数约为：210×0.1+230×0.15+250×0.35+270×0.2+290×0.15+310×0.05＝266，所以C选项正确；因为前几组的频率依次为0.1，0.15，0.35，所以100株水稻的稻穗数的中位数在（240，260）内，且为240+0.5-0.1-0.150.0175≈254.3故选：D．【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．3．（2025•鹤壁一模）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构．常用的方法之一是“除留余数法”．例如，当除数为3时，键值为13的数据因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值10和13均映射到同一位置）．现有一个容量为7个位置（编号0～6）的哈希表，以除留余数法（除数为7）进行映射，需要存储22个数据．设这7个位置存放的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中正确的是（）A．至少有1个位置存放了不少于5个数据 B．若这22个数据的键值恰好是0～44间的所有奇数，则a0～a6的中位数为2 C．若a0～a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为290449D．若a0～a6的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据【考点】方差；极差．【专题】分类讨论；定义法；概率与统计；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】D【分析】设ai为数据除以7的余数为i（i＝0，1，2，3，4，5，6）的数的个数，利用特例法可判断A选项；求出a0～a6这7个数的值，结合中位数的定义可判断B选项；利用方差的定义可求出s2的最大值和最小值，可判断C选项；对7个位置是否存在空位进行讨论，结合极差的定义可判断D选项．【解答】解：设ai为数据除以7的余数为i（i＝0，1，2，3，4，5，6）的数的个数，对于A，22＝7×3+1，不妨假设这7个位置存放的数据个数分别为3、3、3、3、3、3、4，所以选项A错误；对于B，由题意可知，这些奇数分别为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39、41、43，这些数据除7的余数分别为1、3、5、0、2、4、6、1、3、5、0、2、4、6、1、3、5、0、2、4、6、1，所以a0＝3，a1＝4，a2＝3，a3＝3，a4＝3，a5＝3，a6＝3，将a0～a6这7个数由小到大排列依次为3、3、3、3、3、3、4，中位数为3，选项B错误；对于C，由题意知，a0～a6这7个数的平均数为x=227，且3＜22因为ai∈N（i＝0，1，2，3，4，5，6），s2当a0～a6这7个数中有6个3，1个4时，s2取最小值，即(s当a0～a6这7个数中有6个0，1个22时，S2取最大值，即(s2)对于D，不妨设a0～a6这7个数依次为1、6、3、3、3、3、3，满足极差为5，此时，所有位置都有数据，若存在一些位置没有数据，则a0～a6这7个数据中的最大值为5，最小值为0，因为22＝5×4+2，此时，至少需要5个位置存放数据，则至多有2个位置没有存放数据，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了新定义的应用问题，也考查了理解与运算能力，是难题．4．（2025•红桥区一模）在2023年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A．该省考生数学成绩的中位数为75分 B．若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分 C．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人 D．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【解答】解：因为前几组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，所以中位数在[70，80]内，所以中位数为70+0.5-0.1-0.15-0.20.03≈71.67要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y，则y-4010=1-0.960.1，由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为1000×0.1＝100，C正确；由频率分布直方图得平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5，考试数学成绩的平均分约为70，D正确．故选：A．【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．5．（2024秋•广东校级期末）某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图．如果要让90%的产品长度不超过a厘米，根据直方图估计，下列最接近a的数是（）A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.5【考点】频率分布直方图的应用．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】由频率分布直方图计算频率可得可解a∈（94，95），从而可解．【解答】解：由图可得1﹣（0.05+0.15）×1＝0.80，1﹣0.05×1＝0.95，又0.80＜0.9＜0.95，所以a∈（94，95），且（a﹣94）×0.15+0.8＝0.9，得a＝94.67．故选：C．【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．6．（2024秋•官渡区期末）为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲地、乙地、丙地3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点．已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2，y，z，且依次构成等差数列，而2，y﹣1，z成等比数列，若用分层抽样的方法抽取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为（）A．18 B．16 C．10 D．4【考点】分层随机抽样．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用三县内观测点的个数分别为2，y，z，依次构成等差数列，且2，y﹣1，z成等比数列，求出y，z，根据分层抽样的定义建立比例关系求解即可．【解答】解：因为甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2，y，z且依次构成等差数列，而2，y﹣1，z成等比数列，2y解得y＝5，z＝8，若用分层抽样抽取取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为30×82+5+8故选：B．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查分层抽样的应用，属于中档题．7．（2024秋•南阳期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，a，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则a＝（）A．20 B．21 C．23 D．24【考点】百分位数．【答案】A【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．【解答】解：70%×10＝7，该组数据的70%分位数是19，则18+a2=19，解得a故选：A．【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．8．（2025•成都模拟）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（）A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】由频率分布直方图面积之和为1可计算a，由众数定义可得B，计算低于6（0分）的人数即可得C，根据百分位数的定义计算即可得D．【解答】解：根据频率分布直方图可知：10（2a+3a+3a+6a+5a+a）＝1，即a＝0.005，故A正确；由图易得在区间[70，80）的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确；10×0.005×（2+3）×1000＝250，故成绩低于6（0分）的有250人，即C正确；由图中前四组面积之和为：（2+3+3+6）×0.005×10＝0.7，图中前五组面积之和为：（2+3+3+6+5）×0.005×10＝0.95，故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，设这组数据的第85百分位数为m，则有0.7+5×0.005（m﹣80）＝0.85，故m＝86，即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误．故选：D．【点评】本题考查频率分布直方图的性质，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东月考）已知甲组样本数据：x1，x2，x3，x1+x2+x33，乙组样本数据：x1，x2，x3，x4，x1+A．两组样本数据的样本中位数相同 B．两组样本数据的样本极差相同 C．两组样本数据的样本第30百分位数相同 D．两组样本数据的样本方差相同【考点】百分位数；平均数；中位数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】根据样本总体数字特征的求解方式，逐一求解中位数，极差，百分数，方差比较即可．【解答】解：由题意知x1得x4故甲组样本数据为x1，x2，x3，x1乙组样本数据为x1，x2，x3，x1+x对于A，甲组样本的中位数为x1乙组样本的中位数为x1+x对于B，显然两组样本数据的样本极差均为x3﹣x1，故B正确；对于C，由4×30%＝1.2，5×30%＝1.5可知两组样本数据的样本第30百分位数均为从小到大排列后的第二个数．当x1+x3＜2x2时，甲组样本数据为x1，x1+x2+x33，x2，x3，乙组样本数据为x1，x1+x2+x当x1+x3≥2x2时，甲组样本数据为x1，x2，x1+x2+x33，x3，乙组样本数据为x1，x2，x1+x2+x对于D，甲组样本数据的方差s12=14[(故选：BC．【点评】本题考查百分位数、方差，平均数相关知识，属于中档题．（多选）10．（2025•信阳二模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，s12；A．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据直方图中的性质逐项计算即可．【解答】解：A项，（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，∴a＝0.005，A项错误；B项，[50，70]内频率为：5×0.005×10＝0.25＜0.5，[50，80]内频率为：12×0.005×10＝0.6＞0.5，则中位数在[70，80]内，设中位数为x，则0.25+（x﹣70）×7×0.005＝0.5，则x＝77.14，B正确；成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为34方差为34×[12+(87.5-85)2]+1故选：BCD．【点评】本题考查频率分布直方图，属于中档题．（多选）11．（2025春•金昌校级期中）某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：月份t123456销量y（万辆）11.712.413.813.214.615.3根据上表的数据，下列说法正确的是（）A．销量的极差为3.6 B．销量的平均数为13.5 C．销量的第40百分位数为13.8 D．销量的中位数为13.2【考点】百分位数；平均数；极差．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】AB【分析】根据极差的概念、百分位数的概念、平均数和中位数的概念，即可分别求解．【解答】解：对于A，根据表格数据可得销量的极差为15.3﹣11.7＝3.6，故A正确；对于B，根据表格数据可得销量的平均数为16（11.7+12.4+13.8+13.2+14.6+15.3）＝13.5，故B对于C，∵6×0.4＝2.4，销量的第40百分位数是从小到大排列的第3个数据，即为13.2，故C错误；对于D，销量的中位数为13.2+13.82=13.5，故故选：AB．【点评】本题考查极差、百分位数、平均数、中位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）12．（2025春•泸县期中）某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组[0，0.5），[0.5，1），…，[3，3.5）制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（）A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4【考点】频率分布直方图的应用；简单随机抽样．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据给定的频率分布直方图，结合众数、百分位数判断ABC；求出概率判断D．【解答】解：对于A，第一组的频率为0.1×0.5＝0.05，A错误；对于B，众数的估计值为2+2.52=2.25，对于C，样本数据小于2.5的频率0.05+0.1+0.15+0.2+0.3＝0.80＜0.86，样本数据小于3的频率0.05+0.1+0.15+0.2+0.3+0.15＝0.95＞0.86，a∈（2.5，3），由（3﹣a）×0.3+0.5×0.1＝1﹣86%，解得a＝2.7吨，因此月均用水量a的标准定为2.7吨，C正确；对于D，根据题意可得月均用水量在[0，0.5）的人数为：40×0.1×0.5＝2人，月均用水量在[0.5，1）的人数为：40×0.2×0.5＝4人，从此6人中随机抽取两人，这两人月均用水量都不低于0.5吨的概率为C42C6故选：BCD．【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•陕西模拟）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为36．【考点】方差；由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，先求出总体的平均数，进而由总体方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则总体的平均数x=50×54+40×45则该校高三年级学生体重的方差S2=5050+40×[20+（54﹣50）2]+4050+40×[11+（45﹣50故答案为：36．【点评】本题考查总体方差的计算，注意总体方差的计算公式，属于基础题．14．（2025春•临泉县校级月考）某单位有男职工450人，女职工300人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为50的样本，则女职工应抽取的人数为20．【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】20．【分析】依据题意求出分层比，再得到抽取的人数即可．【解答】解：男职工450人，女职工300人，则男女职工分层比为3：2，而抽取一个容量为50的样本，则女职工应抽取的人数为50×故答案为：20．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．15．（2025•安顺模拟）给定素数（仅有1与本身是约数的数）p，若pm∥n（即pm|n，且pm+1∤n．其意为pm整除n，且pm+1不能整除n），记为Potpn＝m，称m＝Potpn是给定素数p的一个数论函数．则Pot32025＝4．当a，b∈A＝{s|Pot3s＝2，s＜40}，且a≠b，则形如ab所有结果形成的样本数据的80%分位数是936．【考点】百分位数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解；新定义类．【答案】4；936．【分析】把2025写成34×52，根据题意即可求解；根据题意确定s的取值，由此即可确定ab的所有取值，将数据从小到大排序，计算6×80100【解答】解：因为若pm∥n（即pm|n，且pm+1∤n．其意为pm整除n，且pm+1不能整除n），又Potpn＝m，且m＝Potpn是给定素数p的一个数论函数，且p为素数，所以2025＝34×52，所以34整除2025，且35不能整除2025，所以Pot32025＝4，根据题意s整除32＝9，且s不能整除33＝27，因为s＜40，所以s的可能取值为：9、18、36，所以A＝{9，18，36}，所以根据已知条件ab有：918、936、189、1836、369、3618六种可能，从小到大排序为189、369、918、3618、936、1836，因为6×80%＝4.8，所以样本数据的80%分位数是第5个数936．故答案为：4；936．【点评】本题考查新定义的应用，百分位数的求解，属中档题．16．（2024春•天宁区校级期末）设x，y，z都是正整数，且x∈[5，10]，y∈[11，20]，z∈[21，25]，当x，y，z的取值依次为10，15，21（或10，16，21）时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值）【考点】方差．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】10，15，21（或10，16，21）．【分析】根据方差定义列出x，y，z三个数的方差，确定x，z后转化为关于y的二次函数，再由方差最小，利用二次函数求最小值即可．【解答】解：设a=s2=1=1要使方差最小，三个数据x，y，z应尽量集中，故x＝10，z＝21，则s2关于y的二次函数的图象关于y=312对称，根据二次函数图象及性质，又y∈[11，20]所以当y＝15或y＝16时，方差相等且最小，最小值为1829故满足条件的x，y，z为10，15，21或10，16，21．故答案为：10，15，21（或10，16，21）．【点评】本题考查方差定义及二次函数最值问题，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•杨浦区校级月考）某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．（1）求a的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；（2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差．组别频数频率[140，148）40.10[148，156）8n[156，164）mp[164，172）120.30[172，180）20.05初二女生身高样本的频率分布表【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝0.03；169；（2）平均数为166，方差为100.8．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，平均数的概念，即可求解；（2）根据加权平均数与方差的结论，即可求解．【解答】解：根据题意可得（0.01+0.02+0.04+a）×10＝1，解得a＝0.03；估计男生样本的平均数为150×0.1+160×0.2+170×0.4+180×0.3＝169；（2）由（1）可知男生样本的平均数为x1=169，又s因为[140，146）的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40，则m＝14，所以p＝0.35，所以女生样本的平均数为x2=144×0.1+152×0.2+160×0.35+168×0.3+176×0.05＝又方差为s2所以平均数为x=方差为s2所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8．【点评】本题考查频率分布直方图的综合运用，属中档题．18．（2025春•松江区校级月考）某校在高二期末考试，从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值，并估计该校高二学生周末等级考化学成绩的平均数x及中位数x0；（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[50，60）和[70，80）内的学生中共抽取9人查看他们的答题情况，再从中选取3人进行个案分析，求这3人中恰有一人原始成绩在[50，60）内的概率；（3）已知落在[80，90）的平均成绩x=86，方差s12=6，落在[90，100]的平均成绩y=92，方差s22=12，求落在[80，100]的平均成绩z【考点】频率分布直方图的应用；方差；古典概型及其概率计算公式；由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝0.03；x＝72.5；x0=2203；（2）1528；（3）z=88；【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，平均数的概念，中位数的概念，即可求解；（2）根据分层抽样的概念，古典概型的概率公式，即可求解；（3）根据加权平均数与方差的结论，即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得（0.005+0.015+0.02+a+0.02+0.01）×10＝1，解得a＝0.03；估计该校高二学生周末等级考化学成绩的平均数为：x＝45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1＝72.5；因为前几组的频率依次为0.05，0.15，0.2，0.3，所以中位数x0∈（70，80），且x0=70+0.5-0.05-0.15-0.2（2）因为[50，60）和[70，80）的频率之比为0.15：0.3＝3：6，所以[50，60）和[70，80）分别抽3人，6人，所以从这9人中再抽3人，这3人中恰有一人原始成绩在[50，60）内的概率为C3（3）因为[80，90）与[90，100]的频率之比为2：1，又落在[80，90）的平均成绩x=86，方差s12=6，落在[90，100]的平均成绩所以落在[80，100]的平均成绩z=2所以估计落在[80，100]的成绩的标准差s=23【点评】本题考查频率分布直方图的综合运用，属中档题．19．（2025春•万州区月考）2025年4月19日，全球首个“人形机器人”半程马拉松在北京举行，某机构调查了1000名观众，将这1000名观众对“人形机器人”的评分数据分成[40，50]，（50，60]，（60，70]，（70，80]，（80，90]，（90，100]六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中评分的中位数；（2）已知评分在（60，70]，（80，90]这两区间内数据的方差分别为s12=9，s22=6，且每组以该组的中间值作为该组的平均值，现将评分在（60，【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）70分；（2）8729【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，即可求解；（2）根据加权平均数与方差的结论，即可求解．【解答】解：（1）因为各组的频率依次为0.05，0.15，0.3，0.25，0.15，0.1，且0.05+0.15+0.3＝0.5，所以中位数估计为70分；（2）因为（60，70]，（80，90]这两组的频率之比为0.3：0.15＝2：1，且两组的平均数分别约为65，85，方差分别为s12=9所以合在一起的新数据的平均数为23所以合在一起的新数据的方差为23【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．20．（2024秋•丰城市校级期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x=80，标准差s=35，若剔除其中的75和85两个【考点】频率分布直方图的应用；平均数；方差．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝0.032，b＝0.004；70.5；（2）80；37.5【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；（2）根据百分位数的概念，即可分别求解；（3）根据平均数与方差的概念．即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得10a＝0.016×10×2，解得a＝0.032，又（0.008+0.016+0.032+0.04+b）×10＝1，解得b＝0.004，所以a＝0.032，b＝0.004；因为成绩落在[50，70）内的频率为：0.16+0.32＝0.48，落在[50，80）内的频率为：0.16+0.32+0.40＝0.88，设中位数为m，则（m﹣70）×0.04＝0.5﹣0.48，解得m＝70.5；（2）由x=80，得x1+x2+x3+...+x10＝10×80＝800又s2所以x1剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为x1，x2，x3，…，x8，平均数与标准差分别为x0，s0则剩余8个分数的平均数为：x0方差为：s0【点评】本题考查频率分布直方图的性质，众数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，平均数与方差的求解，属中档题．

考点卡片1．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．简单随机抽样【知识点的认识】1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．特点：（1）有限性：总体个体数有限；（2）逐个性：每次只抽取一个个体；（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于nN3．适用范围：总体中个数较少．4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．【解题方法点拨】1．抽签法（抓阄法）一般地，从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，步骤为：（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；（4）抽签：每次从箱中取出1个号签，连续抽取k次；（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．2．随机数表法．〇随机数表：由0﹣9十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．〇随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．实现步骤：（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．（1）考查简单随机抽样的特点例：用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（）A.1100B.120C.199分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．解答：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为1100∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为1100×5故选：B．点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C不是简单随机抽样，D是简单随机抽样．解答：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．故选D．点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作例：利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（）A.841B.114C.014D.146分析：从随机数表12行第5列数开始向右读，最先读到的1个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．解答：最先读到的1个的编号是389，向右读下一个数是775，775它大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983．舍去，再下一个数是114．读出的第3个数是114．故选B．点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．3．分层随机抽样【知识点的认识】1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．2．三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．【命题方向】（1）区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．故选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．（2）求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.8，8B.10，6C.9，7D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．解答：每个个体被抽到的概率等于1654+42=16，54×16故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35B.25C.15D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样