第05讲全称量词与存在量词

第05讲全称量词与存在量词题型梳理题型梳理易错分析易错点一不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错易错点二对含有量词的命题否定时只改变量词或只否定结论而致错易错点三忽视否定的范围而致错题型方法题型一全称量词命题、存在量词命题的理解题型二全称量词命题、存在量词命题的真假题型三根据命题的真假求参数的取值范围题型四全称量词命题的否定题型五存在量词命题的否定题型六命题否定的应用知识清单知识清单知识点01全称量词与全称量词命题全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号表示∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”注意点：(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定．(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．(3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立．(4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可．知识点02存在量词与存在量词命题存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”注意点：(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题．(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．(3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可．(4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立．知识点03全称量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．2．常见词语的否定形式原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n－1)个小于不小于至多有n个至少有(n＋1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于注意点：总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假．知识点04存在量词命题的否定存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．易错分析易错分析【易错点一】不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错【例1】（2324高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列语句不是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章【答案】C【分析】由全称命题的定义，全称命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案．【详解】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题．故选：C.【举一反三】【变式1】（2425高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（

）C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数【答案】D【分析】根据存在量词命题的概念即可判断.【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；对于B中含有“”，该命题是全称量词命题；对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；故选：D.【变式2】（2324高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由．(3)所有正方形的对角线都互相垂直．【答案】(1)全称量词命题，理由见解析(2)存在量词命题，理由见解析(3)全称量词命题，理由见解析【分析】（1）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断；（2）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断；（3）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断．【详解】（1）因为“一切”是全称量词，所以该命题为全称量词命题．（2）因为“至少存在一对”是存在量词，所以该命题为存在量词命题．（3）因为“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题．【变式3】（2324高一·江苏）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.(1)凸多边形的外角和等于；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；【答案】(1)全称量词命题(2)全称量词命题(3)全称量词命题(4)存在量词命题(5)存在量词命题【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题．【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题．（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．【易错点二】对含有量词的命题否定时只改变量词或只否定结论而致错【答案】A【分析】由特称命题的否定定义可得答案.故选：A【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.故选：D【分析】根据全称命题的否定求解即可.【详解】根据全称命题的否定，【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.【易错点三】忽视否定的范围而致错【答案】A【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，既要注意量词的变化，还要注意命题中结论的变化．【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定．故选：A.【答案】A【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.故选：A【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【分析】根据全称命题的否定求解.【详解】根据全称命题的否定可知：题型方法题型方法【题型一】全称量词命题、存在量词命题的理解【答案】C【分析】根据全称命题和存在命题的概念，即可做出判定，得到答案.故选：C.【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的概念及其判定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的概念是解答的关键，属于基础题.解题技巧(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题．(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别．(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题．【答案】C【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解.故选：C.【变式2】（2223高一上·四川南充·阶段练习）以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形有一个内角是钝角C．两个无理数的和必是无理数【答案】B【分析】分别对每个命题是否为存在量词命题及真假进行判断即可.【详解】对于A，“锐角三角形”省略了全称量词“（所有的）锐角三角形”是全称量词命题，且该命题为假命题，故选项A错误；故选：B.【变式3】（多选）（2425高一上·甘肃白银·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题的是（

）【答案】BC【分析】根据全称量词和存在量词命题的定义判断即可.【详解】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误；BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确；D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误.故选：BC.【题型二】全称量词命题、存在量词命题的真假A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B故选:B.【举一反三】【变式1】（2425高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（

）【答案】A【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题.【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确；CD选项都为存在量词命题，不合题意.故选：A.【变式2】（2425高一上·安徽·阶段练习）下列命题中为真命题的是（

）【答案】D【分析】利用全称量词命题真假判断方法推理判断AC；利用存在量词命题真假判断方法推理判断BD.故选：D【变式3】（2021高一·全国·专题练习）判断下列命题是全称命题还是存在量词命题，并判断其真假．（1）∃x0，x0－2≤0．（2）三角形两边之和大于第三边．（3）有些整数是偶数．【答案】答案见解析【分析】根据命题含全称量词还是存在量词判断，再进一步判断出命题的真假.【详解】（1）存在量词命题．存在x0＝1时，x0－2＝－1≤0，故存在量词命题“x0，x0－2≤0”是真命题．（2）全称命题．所有三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．（3）存在量词命题.存在2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．【题型三】根据命题的真假求参数的取值范围【答案】A故选：A解题技巧含量词命题的真假求参数取值范围把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围【答案】B【答案】所以实数k的最大值为.故答案为：.【题型四】全称量词命题的否定【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知：故选：C解题技巧全称量词命题否定的关注点(1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解.【详解】全称量词命题的否定形式是改量词，否定结论，故选：B【答案】A【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.故选：A.【变式3】（2425高一上·全国）写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)可以被5整除的整数，末位是0．【答案】(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行(4)存在被5整除的整数，末位不是0【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出原命题的否定.【详解】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.（2）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：（3）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：（4）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.【题型五】存在量词命题的否定【答案】D【分析】由特称命题的否定的定义易得.故选：D解题技巧存在量词命题否定的关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可.故选：B【分析】根据存在量词命题否定的形式即可写出答案.【变式3】（2223高一下·青海玉树·期中）写出下列命题的否定，并判断真假.(1)正方形都是菱形；【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）写出命题的否定，可根据正方形与菱形的关系判断真假.（2）写出命题的否定，举例说明即可.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，根据正方形是特殊的菱形可知其是假命题．【题型六】命题否定的应用【答案】C【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到；故选：C.解题技巧求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．【答案】B【分析】先写出命题的否定，然后求解即可.故选：B(1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围；(2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围．因为是q的必要不充分条件，好题必刷好题必刷一、单选题1．（2425高一上·安徽·阶段练习）命题“矩形都有外接圆”是（

）A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题【答案】A【分析】根据全称量词命题的定义判断即可.【详解】命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题.故选：A【答案】C【分析】由全称命题的否定，可得答案.故选：C.【答案】B故选：B．A．，均为真 B．，均为假C．真，假 D．假，真【答案】B所以，均为假命题.故选：B.【答案】A【分析】利用特称命题的否定为全称命题求解.故选：A【答案】A【详解】因为命题是假命题，故选：A二、填空题7．（2324高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列命题中：①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°.其中是全称量词命题的是：.【答案】①③【分析】由全称量词命题的定义判断.【详解】①任意一个自然数都是正整数，“任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题；②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题；③三角形的内角和是180°，指的是所有三角形，命题是全称量词命题.故答案为：①③.8．（2324高一上·山西运城·阶段练习）对任意实数，，，下列命题中真命题的序号是.【答案】②③④【分析】①②③利用充分条件和必要条件的定义判断；④举例判断