2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第02讲 集合间的基本关系（3个知识点+5个考点+过关测）（教师版）

第02讲集合间的基本关系

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1子集与真子集

子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集

合有包含关系，称集合A为集合B的子集.

记作：AB（或BA）

读作：“A包含于B”(或“B包含A”)

符号语言：任意xA,有xB,则AB

Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

可以用图表示为：

真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集.

记作：AB（或BA).

知识点2空集与集合相等

空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.

空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有

集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个

元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.

知识点3子集的个数

若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个。

解题方法

选项A：集合中有一个元素0，不为

空集；

教材习题01

下列四个集合中，是空集

()选项B：集合xx2,且x2中不存

A．0，B．xx2,且x2在元素，所以该集合为空集；

2选项：集合中有一个元素，所以

C．xNx10，D．xx4C1

不为空集；

选项D：集合xx4中存在无数个

元素，所以不为空集.

【答案】B.

解题方法

由得3x5,且

教材习题024x14

集合AxN4x14，且x1的真子集的个x1，又xN，

数是（）则A0,2,3,4，

A．32B．31C．16D．15其子集个数共有2416，除去集合

A本身，

则其真子集个数为16115，

【答案】D.

解题方法

因为B0,2,4，C0,2,6，

教材习题

03则BC0,2，

已知AB，AC，B0,2,4，C0,2,6，写

又由AB，AC，可知

出所有满足上述条件的集合A．

ABC，即A0,2，

所以A或A0或A2或

A0,2.

A0A2A0,2

【答案】A或或或.

考点一判断集合的子集（真子集）的个数

1．若1,2M1,2,3,4，则集合M的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】A

【详解】因为1,2为M的真子集，所以1M，2M且M中至少还有一个元素．又M1,2,3,4，所以

M1,2,3或1,2,4或1,2,3,4，故满足条件的集合M有3个．

1

2．已知集合M(x,y)yx,N(x,y)x22y，则MN的子集个数为（）

2

A．0B．1C．2D．4

【答案】C

1

yx

【详解】根据题意，联立方程组2，可得x22x10，

2

x2y

11

所以(x1)20，解得x1,y，即集合MN1,，

22

所以集合MN的子集个数为2个．

故选：C．

3．集合Mx|x3,xZ，则M的子集个数为（）

A．3B．4C．8D．16

【答案】C

【详解】因为Mx∣3x3,xZ1,0,1，

故子集个数为238，

故选：C.

4．已知集合A0,2，B1,1,2，CabaA,bB，则集合C的子集有（）

A．64个B．63个C．16个D．15个

【答案】C

【详解】由集合A0,2，B1,1,2，且CabaA,bB，

因为aA，bB，可得集合C0,2,2,4，所以集合C的子集有2416个.

故选：C.

考点二判断两集合的包含关系

1．给出下列关系：①πR；②{2024,1}{x22025x20240}；③{0}；

④{(1,2)}{(x,y)|yx2x2}，其中正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【详解】显然πR，0，①③正确；

{x|x22025x20240}{x|(x1)(x2024)0}{1,2024}，②正确

在yx2x2中，当x1时，y2

即有(1,2){(x,y)|yx2x2}

因此{(1,2)}{(x,y)|yx2x2}，④正确

正确命题的个数是4

故选：D

2．已知集合B{1,2},A{x∣xB}，则集合A与B之间的关系正确的是（）

A．BAB．BAC．ABD．BA

【答案】D

【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集，

即集合A是由集合B的子集组成的集合，

所以A{{1},{2},{1,2},{}，

故B是集合A中的一个元素，D正确．

故选：D

3．已知集合P1,2,3,4,Qyyx1,xP，那么集合M{3,4,5}与Q的关系是（）

A．MQB．MQC．QMD．QM

【答案】B

【详解】由题意可得Q2,3,4,5，故集合M是集合Q的真子集．

故选：B

（多选题）4．已知集合Ax1x2，Bx2a3xa2，下列说法错误的是（）

A．不存在实数a，使得ABB．存在实数a，使得AB

C．当a4时，ABD．当0a4时，BA

【答案】BCD

2a31

【详解】对于A：若AB，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合AB，故A正确；

a22

2a31a2

对于B：由AB，则，即，此不等式组无解，不存在实数a，使得AB故B错误；

a22a4

对于C：当a4时B，不满足AB，故C错误；

对于D：当2a3a2，即a1时，BA，符合BA，

2a31

当a1时，要使BA，则，解得2a4，不满足a1，

a22

综上，当且仅当a1时，BA

所以当0a4时BA不正确，故D错误．

故选：BCD

考点三判断两集合是否相等

1．下列选项正确的是（）

A．{2,3}{3,2}B．{(x,y∣)xy1}{y∣xy1}

C．{x∣x1}{y∣y1}D．{(1,2)}{(2,1)}

【答案】C

【详解】A选项：2,33,2，故A错误；

B选项：{(x,y∣)xy1}中的元素为点(x,y),{y∣xy1}中的元素为实数yx,y∣xy1y∣xy1，

故B错误；

C选项：xx11,,yy11,，故C选项正确；

D选项：{(1,2)}中的元素为点(1,2)，而{(2,1)}中的元素为点(2,1),{(1,2)}{(2,1}，故D错误．

故选：C.

2．下列各组集合中表示同一集合的是（）

A．A2,1,B1,2

B．A3,2,B2,3

C．A2,3,B2,3

D．A{(x,y)|xy1},B{y|xy1}

【答案】A

【详解】对于A中，集合A2,1与集合B1,2中的元素完全相同，所以AB，所以A正确；

对于B中，集合A3,2表示由点3,2作为元素，构成的单元素集合，

集合B2,3表示由点2,3作为元素，构成的单元素集合，

所以集合A与集合B不相等，所以B不符合题意；

对于C中，集合A2,3表示由两个元素构成的数集；

集合B2,3表示由点2,3作为元素，构成的单元素数集，

所以集合A与集合B不相等，所以B不符合题意；

对于D中，集合A{(x,y)|xy1}表示直线xy1的点作为元素构成的无限点集，

集合B{y|xy1}表示直线xy1的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，

所以集合A与集合B不相等，所以B不符合题意；

故选：A.

3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（）

A．{2,3},{3,2}B．{x∣xy1},{y∣xy1}

C．{x∣x1},{y∣y1}D．{(1,2)},{(2,1)}

【答案】D

【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意；

选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意；

选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意；

选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点(1,2)与点(2,1)是不同的，

故两集合不是同一个集合，故D正确．

故选：D

4．设集合A{a,b}，B2a,2a2，若AB，则ab.

1

【答案】/0.5

2

2

【详解】在B2a,2a中，2a2a2，则a0且a1，

a2a21

而A{a,b}，AB，显然a2a，因此，解得a,b1，

b2a2

1

所以ab.

2

故答案为：1

2

考点四空集的性质与应用

1．下列集合中表示空集的是（）

A．B．0

C．xRx2x10D．xRx2x10

【答案】D

【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意；

对于B，集合0存在一个元素为0，故B不符合题意；

对于C，由x2x10，则1450，即该方程存在两个不相等的实数根，

所以集合xRx2x10存在两个元素，故C不符合题意；

对于D，由x2x10，则1430，即该方程不存在实数根，

所以集合xRx2x10无元素，故D符合题意.

故选：D.

2．已知集合A,，下列选项中为A的元素的是（）

①②③④,

A．①②B．①③C．②③D．②④

【答案】B

【详解】集合A有两个元素：和.

故选：B

3．下列六个关系式：①a，bb，a；②1，21，2；③0；④00；⑤0；⑥0；

其中正确的个数为（）

A．6个B．5个C．4个D．少于4个

【答案】D

【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确；

根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确；

因集合0中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确；

根据元素与集合之间可知④正确；

根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；

根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．

所以①④⑥正确

故选：D.

考点五子集的概念

1．已知{a,b}{1,0,1,2,3,4},(a,b){(x,y)|x2y24}，则(a,b)可能的取值的个数为（）

A．5个B．6个C．7个D．8个

【答案】D

【详解】当a1时，由(a,b){(x,y)|x2y24}，可得b{0,1}，所以(a,b)为(1,0)或(1,1)；当a0时，

由(a,b){(x,y)|x2y24}，可得b{1,1,2}，

所以(a,b)为(0,1)或(0,1)或(0,2)；

当a1时，由(a,b){(x,y)|x2y24}知，b{1,0}，

所以(a,b)为(1,1)或(1,0)；

当a2，则b0，所以(a,b)为(2,0)综上，共有8种取值．

故选：D．

2．已知集合Px0x4，且MP，则M可以是（）

A．{2,4}B．{1,2}C．{1,2}D．{0,2}

【答案】B

【详解】由于Px0x4，4P,1P,0P,故{1,2}P,

故选：B

（多选题）3．下列结论错误的是（）

A．任何一个集合至少有两个子集

B．空集是任何集合的真子集

C．若aA且AB，则aB

D．若AB且AC，则BC

【答案】ABD

【详解】空集只有一个子集，故A错；

空集时任何非空集合的真子集，故B错；

因为AB，所以集合A中所有元素都属于集合B，则aB，故C正确；

例如A1，B1,2，C1,3，满足AB且AC，此时BC，故D错.

故选：ABD.

知识导图记忆

知识目标复核

1．子集与真子集

2．空集与集合相等

3．子集的个数

1．已知集合Ax∣ax2,aN，若AN，则所有a的取值构成的集合为（）

A．{1,2}B．{1}C．{0,1,2}D．N

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.

【详解】A{x∣ax2}，AN，

故当A时，易求a0；

2

当A时，由xN得，a1或2,

a

所以所有a的取值构成的集合为{0,1,2}，

故选：C.

2．已知集合A0,1，B0,a1,a1，若AB，则a（）

A．2B．0C．0或2D．2或2

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】分a11和a11两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.

【详解】①当a11时，解得a0，此时B0,1,1，满足题意，

②当a11时，解得a2，此时B0,3,1，满足题意，

故选：C.

3．已知集合Ax∣0x3，Bx∣m1xm1，且BA，则m的取值范围是（）

A．1,2B．,12,C．1,2D．2,

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据BA，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围.

m10

【详解】因为BA，所以，解得1m2．所以m的取值范围是1,2．

m13

故选：A.

nn

4．已知集合Axx,nZ,Bxx,nZ，则（）

24

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断两个集合的包含关系

【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案.

n2n

【详解】由nZ，则AB.

24

故选：B.

5．已知集合A{x1x3}，B{xxm}，若AB，则实数m的取值范围是（）

A．mm1B．mm1C．mm3D．mm3

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据子集的关系即可求解.

【详解】由于AB，所以m3，

故选：D

6．已知集合A1,2,3,4,5,,2025的子集B满足：对任意x，yB，有xyB，则集合B中元素个数

的最大值是（）

A．506B．507C．1012D．1013

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】抽屉原理、利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.

【详解】假设B中的最大元素为2025，

将其余元素分组1,2024，2,2023，..，1012,1013，共1012组，

若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾.

所以B中元素不能多于1013个.

所以当B1013,1014,1015,,2025时，

B中元素个数最多为2025101311013.

故选：D

7．已知集合Ax∣2a1x3a5，Bx∣5x16，且AB，则a的取值范围为（）

A．2a7B．6a7C．a7D．a6

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】分情况讨论集合A是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况

得出a的取值范围.

【详解】当A为空集时，3a52a1时.解不等式3a52a1，可得a6.

因为空集是任何集合的子集，所以当a6时，AB.

当A不为空集时，3a52a1时，解不等式3a52a1，可得a6.

此时A，要使AB，那么集合A中的元素都要满足集合B的范围.

3a516

已知A{x|2a1x3a5}，B{x|5x16}，所以需满足.

2a15

解不等式3a516，可得a2.

综合可得2a7，又因为前提是a6，所以取交集得6a7.

综合两种情况，将a6和6a7两种情况综合起来，取并集可得a7.

能使AB成立的所有a组成的集合为{a|a7}，

故选：C.

8．设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给

定S1,2,3,4,5,6，由S的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（）个．

A．14B．16C．18D．20

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】集合新定义

【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.

【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，

故满足条件的集合有：1,2,4，1,2,5，1,2,6，1,3,4，1,3,5，1,3,6，

1,4,5，1,4,6，1,5,6，2,3,5，2,3,6，2,4,5，2,4,6，2,5,6，

3,4,6，3,5,6.

故选：B.

9．已知集合Aa2,a2,3，Bxx22x30，且BA，则a的值为（）

A．1B．1C．1D．3

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数

【分析】求出集合B，分析可知集合A中必含元素3、1，可得出关于实数a的方程，结合集合A中的元素

满足互异性可得出实数a的值.

【详解】因为Bxx22x303,1且BA，

所以3A,1A，

所以a21或a21，得a1或1，

a2a2

根据集合中元素的互异性可得，解得a1且a2且a5，故a1.

a23

故选：A.

12

10．已知A1,2,3,4,6,12，且若aA，则A，则满足条件的集合A的有（）

⫋a

A．4个B．7个C．8个D．15个

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据题意求出集合A即可.

12

【详解】因为A1,2,3,4,6,12，aA，A，

⫋a

A1,12,A2,6,A3,4,A1,12,2,6,A1,12,3,4,A2,6,3,4,A1,12,2,6,3,4

都满足题意，共7个.

故选：B.

（多选题）11．已知集合Axax6，B2,3，下列结论正确的是（）

A．若a0，则ARB．若a0，则A

C．若BA，则a2D．若BA，则a可以取3

【答案】AC

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】把a0代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.

【详解】对于AB，若a0，则任意实数x均满足0x6，因此AR，A正确，B错误；

2a6

对于CD，由BA，得，解得a2，C正确，D错误.

3a6

故选：AC.

（多选题）12．已知集合Ax|x2axb0，且A1,2，则ab的值可以是（）

A．4B．3C．3⫋D．0

【答案】BCD

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【分析】根据题意，分A{1}或A{2}或A{1,2}，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求

解.

【详解】因为A1,2，则A{1}或A{2}或A{1,2}，

当A{1}时，可⫋得(1)2ab0且a24b0，解得a2,b1，则ab3；

当A{2}时，可得222ab0且a24b0，解得a4,b4，则ab0；

2

1ab0

当A{1,2}时，可得，解得a1,b2，则，

2ab3

22ab0

综上可得，ab的值可以是3或3或0.

故选：BCD.

13．.设Ax∣2xa,By∣y2x3,且xA，Cz∣zx2,且xA，若CB，则实数a的取值

范围为．

1

【答案】,2∪,3

2

【难度】0.65

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照2a0、0a2、a2和a2四种情况分

类讨论，根据CB列不等式求解实数a的取值范围即可.

【详解】由y2x3在2,a上是增