2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第05讲 全称量词与存在量词（3个知识点+5个考点+过关测）（教师版）

第05讲全称量词与存在量词

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1全称量词与全称量词命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．

(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句∀用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x

的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)．

知识点2存在量词与存在量词命题∀

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．

(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的∃元素x，使p(x)成立”，可用符号

简记为“x∈M，p(x)”．

知∃识点3含有一个量词的命题的否定

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题p：x∈M，p(x)，它的否定﹁p：x∈M，﹁p(x)；

存在量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)．

全称量词命题的否∃定是存在量词命题，存在量词∀命题的否定是全称量词命题．

教材习题01解题方法

写出下列命题的否定：（1）“一切分数都是有理数”的否定

(1)一切分数都是有理数；为：存在一个分数，不是有理数；

(2)正方形都是菱形；（2）“正方形都是菱形”的否定为：

(3)xR，使x220；存在一个正方形，不是菱形；

(4)xR，有x22x20．（3）“xR，使x220”的否定为：

xR，有x220；

（4）“xR，有x22x20”的

否定为：xR，使x22x20.

【答案】(1)存在一个分数，不是有理数

(2)存在一个正方形，不是菱形

(3)xR，有x220

(4)xR，使x22x20

教材习题02

判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其

中的存在量词：解题方法

（1）不是

(1)实数都能写成小数；

（2）是；存在量词是“有些”；

(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；

（3）是；存在量词是“存在”；

(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂

（4）是；存在量词是“存在”.

直；

(4)存在一个自然数n，使代数式n22n2的值是负

数．

【答案】(1)不是

(2)是；“有些”

(3)是；“存在”

(4)是；“存在”

教材习题03解题方法

判断下列命题的真假：（1）因为xR，x20，从而有

(1)xR，x220；x2220，即x220．因此（1）

(2)xN，x41；是真命题；

(3)aZ，a23a2；（2）因为0N，但当x0时，x41

(4)a3，a23a2；不成立，因此（2）是假命题；

(5)设A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，在（3）因为1Z且12312，因此

平面上存在某个点P使得PAPBPC．（3）是真命题；

（4）因为a23a2只有两个实数

根a1或a2，所以当a3时

a23a2，因此（4）是假命题；

（5）A，B，C三点构成一个三角

形，三角形总有外接圆，设P是

VABC外接圆的圆心，则

PAPBPC，因此（5）是真命题．

【答案】(1)真命题

(2)假命题

(3)真命题

(4)假命题

(5)真命题

考点一判断命题是否为全称命题

1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：

(1)每一个多边形的外角和都是360；

(2)所有的素数都是奇数；

(3)对任意的无理数x，x2也是无理数；

(4)xR，x都有平方根；

(5)xR，有x20．

【答案】(1)是，“每一个”

(2)是，“所有”

(3)是，“任意”

(4)是，“”

(5)是，“”

【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题．

（2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题．

（3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题．

（4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题．

（5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题．

2．指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代：

(1)对任意正实数a，a2a20；

n

(2)对某个大于10的正整数n，21024．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【详解】（1）命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．

2

该命题可以写成“aR，aa20”；

（2）命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．

n

该命题可以写成，，，

“n10nN21024”

n

或者写成，，．

“nNn1021024”

3．用量词符号“”“”表示下列命题：

(1)存在一个多边形，其内角和是360；

(2)任何一个实数乘以1后，都等于这个实数的相反数；

(3)存在实数x，x3x.

【答案】(1)xx|x是多边形，x的内角和是360

(2)xR，(-1)×x表示x的相反数

(3)xR，x3x

【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是360”，因此使用特称量词可直接转换为

“xx|x是多边形，x的内角和是360”.

（2）由题意“任何一个实数乘以1后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“xR，

(-1)×x表示x的相反数”.

（3）由题意“存在实数x，x3x”，因此使用特称量词可直接转换为“xR，x3x”.

考点二判断命题是否为特称命题

1．下列命题中，是存在量词命题的是（）

A．正方形的四条边相等

B．有两个角是45的三角形是等腰直角三角形

C．正数的平方根不等于0

D．至少有一个正整数是偶数

【答案】D

【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题，ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意

思，为全称量词命题.

故选：D

2．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（）

A．xR，x22x10B．有的矩形不是平行四边形

C．xR，x22x20D．xR，x330

【答案】C

【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意，

选项A：因为x22x1(x1)20，所以命题为假命题；

选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；

选项C：x22x2(x1)210，故命题为真命题，故C正确.

故选：C．

3．用量词符号“”表述下列命题．

(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；

(2)某个四边形不是平行四边形．

【答案】(1)xZ，x既能被2整除，又能被3整除；

(2)x{y|y是四边形}，x不是平行四边形．

【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在M中的元素x，px”，用符号表示为“xM，px”,

所以原命题表述为：xZ，x既能被2整除，又能被3整除；

（2）原命题表述为：xy|y是四边形，x不是平行四边形.

考点三判断全称命题与特称命题的真假

痧

1．已知M,N为全集U的两个不相等的非空子集，若UMUN，则（）

A．xM,xNB．xN,xM

ð

C．xM,xND．xN,xUM

【答案】D

痧

【详解】由UMUN，可得NM，

所以xM,xN错误，xN,xM错误，

ð

xM,xN错误，xN,xM，即xUM，正确.

故选：D.

2

2．已知命题p：xR，x10，命题q：x0，x2x，则（）

A．p和q都是真命题B．p和q都是真命题

C．p和q都是真命题D．p和q都是真命题

【答案】C

2

【详解】当x1时，x10成立，所以命题p为真命题；

当x0或1时，命题q为假命题，所以q为真命题；

故选：C.

（多选题）3．下列说法正确的是（）

A．xR,xx0

B．若AB是空集，则A与B均是空集

C．p:x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根，q:abc0(a0)．则p是q成立的充分不必要

条件

D．nZ，使得n2n为奇数

【答案】AB

【详解】对于A，当x0时，xx00成立；当x0时，2x0成立；当x0时，xx00成立；

故A正确；

对于B，根据空集与交集的定义，若AB是空集，则A与B均是空集，故B正确；

对于C，若x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根，则abc0(a0)；

若abc0(a0)，则x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根，

所以p是q的充要条件，故C错误；

对于D，因为nZ时，n2nnn1表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，

故不存在nZ，使得n2n为奇数，故D错误.

故选：AB．

（多选题）4．下列四个命题中，其中为真命题的是（）

A．xR,|x||x1|0B．xN,(x1)20

11

C．xR,x10D．xN,x2x0

x8

【答案】AC

【详解】因为|x|0,|x1|0，所以|x||x1|0，由于x0,x1不能同时取得，

所以xR,|x||x1|0为真命题，故A正确；

当x1时，(x1)20，所以xN,(x1)20为假命题，故B错误；

11

当x1时，x10成立，故xR,x10为真命题，故C正确；

xx

2

2111121

因为xxx，xN，所以x0或x1时，有最小值，故xN,xx0为假命题，

82888

故D错误.

故选：AC

5．已知命题p:1x3，都有mx，命题q:1x3，使mx，若命题p为真命题，命题q的否定为

假命题，则实数m的取值范围为．

【答案】m3

【详解】命题q的否定为假命题，所以q为真命题，

命题p:1x3，都有mx，为真命题，则mxmax，即m3．

命题q:1x3，使mx，为真命题，则mxmin，即m1．

因为命题p,q同时为真命题，所以m3和m1同时成立，故m3，

故答案为：m3

考点四全称量词命题与存在量词命题的否定

1．已知命题p:xR，|x|0，命题q:x0，x3x，则（）

A．p和q都是真命题B．p和q都是真命题

C．p和q都是真命题D．p和q都是真命题

【答案】C

【详解】对于命题p，x0时，x0，

所以p:xR，x0为假命题，p为真命题，

对于命题q，x3x，解得x0，x1或x10，

所以q:x0，x2x，为真命题，q为假命题，

所以p和q都是真命题.

故选：C

2．命题“xN,x3x2”的否定是（）

A．xN,x3x2B．xN,x3x2

C．xN,x3x2D．xN,x3x2

【答案】C

【详解】因为xN,x3x2，则其否定是xN,x3x2.

故选：C

3．已知命题p:x0，x3x，则命题p的否定为（）

A．x0，x3xB．x0，x3x

C．x0，x3xD．x0，x3x

【答案】C

【详解】命题p:x0，x3x是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的否定为x0，x3x．

故选：C．

4．已知命题p：xR，x2x1，命题q：x1，x3x20，则（）

A．p和q均为真命题B．p和q均为真命题

C．p和q均为真命题D．p和q均为真命题

【答案】C

【详解】由x2x10，1430，可知方程无解，故p为假命题，p为真命题；

x3x20x21x0，

因为x1，所以x21x0成立，即q为真命题，q为假命题，

故选：C

5．已知集合A{x∣0xa}，集合B∣xm23xm24，命题p:“mR，使得AB”，则命

题p的否定为；若p为假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】mR,AB{a∣a3}

【详解】若p为假命题，则其否定命题“mR,AB”为真命题.当a0时，集合A{∣x0xa}，

符合AB；当a0时，因为m230，所以由mR,AB，得am23对于任意mR恒成

立，所以am233，则综上，当为假命题时，

min0a3.pa3.

考点五含有一个量词的命题的否定的应用

1．若“x4,1,xa0”为假命题，则a的取值可以是（）

A．5B．3C．1D．-1

【答案】A

【详解】因为“x4,1,xa0”为假命题，

所以其否定x4,1,xa0恒成立，

所以xa在4,1上恒成立，

所以即，

xmaxaa4

所以a的取值可以是5.

故选：A

2．若“xR,x2ax2a0”是假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】(,8][0,)

【详解】由题意得：“xR,x2ax2a0”为真命题，

所以a28a0，解得a8或a0.

∴实数a的取值范围为(,8][0,)

故答案为：(,8][0,)

3．若“存在x[1,3]，使得xa0”是假命题，则a的取值范围是.

【答案】aa1

【详解】若“存在x[1,3]，使得xa0”是假命题，

则“任意x[1,3]，使得xa0”是真命题，

根据一次函数yxa在1,3上单调递减，所以1a0，即a1.

故答案为：aa1.

知识导图记忆

知识目标复核

1．全称量词与全称量词命题

2．存在量词与存在量词命题

3．含有一个量词的命题的否定

1．设集合A{1,2,4,6,8,10,12}，命题q:x{∣xx是奇数},xA，则（）

A．q:x{∣xx是奇数},xA．q是假命题

B．q:x{∣xx是奇数},xA．q是真命题

C．q:x{∣xx是奇数},xA．q是真命题

D．q:x{∣xx是奇数},xA．q是假命题

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】特称命题的否定及其真假判断

【详解】因为1A，且1是奇数，所以A正确．

2．若p：x2，x38，则p是（）

A．x2，x38B．x2，x38

C．x2，x38D．x2，x38

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，若p：x2，x38，则p是“x2，x38”.

故选：C.

3．定义：已知集合D满足aD，bD，都有a*bD，则称集合D对于这种*运算是封闭的．下列论

述错误的是（）

A．若DN，则D对于加法“＋”封闭B．若DR，则D对于减法“－”封闭

C．若DQ，则D对于乘法“×”封闭D．若DZ，则D对于除法“÷”封闭

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】集合新定义、常用数集或数集关系应用

【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误.

【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以D对于加法“＋”封闭，对；

B：任意两个实数相减必是实数，所以D对于减法“－”封闭，对；

C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以D对于乘法“×”封闭，对；

D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故D对于除法“÷”不封闭，错.

故选：D

4．某校组织了一次“我劳动、我快乐”的主题活动，旨在引导学生以自己的切身感受，体验劳动带来的乐趣，

以促进学生道德品质的提高．已知参加此次活动的人数有50人，其中男生30名，女生20名，负责人将这

些同学平均分为5个小组展开活动，则命题“存在某个小组，至少分配到1名女生”的否定是（）

A．存在某个小组，至少分配到2名女生B．任意一个小组，至少分配到1名女生

C．任意一个小组，没有分配到女生D．存在某个小组，没有分配到女生

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】特称命题的否定及其真假判断

【分析】利用存在量词命题的否定可求解.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是“任意一个小组，没有分配到女生”．

故选：C.

5．甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员

甲说：“冠军是李亮或张正”

乙说：“冠军是林帅或张正”

丙说：“林帅和李亮都不是冠军”

丁说：“陈奇是冠军”．

结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（）

A．林帅B．李亮C．陈奇D．张正

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】推理案例赏析

【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可.

【详解】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误；

对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误；

对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确；

对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误.

故选：C

6．命题“x7,3，x7,3”的否定是（）

A．x7,3，x7,3B．x7,3，x7,3

C．x7,3，x7,3D．x7,3，x7,3

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“x7,3，x7,3”的否定是“x7,3，x7,3”.

故选：D

7．下列命题的否定为真命题的是（）

A．x,yR，使得方程2x5y9有整数解

B．xR，x22x10

C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D．xR，方程ax2bxc0是一元二次方程

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断

【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.

【详解】原命题的否定为“x,yR，方程2x5y9没有整数解”，令x2，则y1，此时方程有整数解，

即原命题的否定为假命题，A错误；

2

原命题的否定为“xR,x22x10”，x22x1x10，当且仅当x1时等号成立，即原命题的

否定为假命题，B错误；

原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误；

原命题的否定为“xR，方程ax2bxc0不是一元二次方程”，当a0时，原方程为bxc0是一元一

次方程，即原命题的否定为真命题，D正确．

故选：D.

（多选题）8．下列说法中，正确的有（）

A．命题p:nN,n22n5，则命题p的否定为nN,n22n5

B．“xy0”是“x2y2”的充要条件

C．命题“对任意实数a，二次函数y2x2a的图象关于y轴对称”是真命题

D．命题“若ab，则acbc”是假命题

【答案】CD

【难度】0.65

【知识点】判断命题的真假、判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据否定的定义判断A，应用特殊值法判断B，D，根据二次函数对称轴判断C.

【详解】命题p:nN,n22n5，则命题p的否定为nN,n22n5，A选项错误；

当x2,y1时，满足x2y2不满足xy0，所以“xy0”不是“x2y2”的充要条件，B选项错误；

对任意实数a，二次函数y2x2a的图象关于x0轴对称，C选项正确；

当ab,c0时，得acbc，则命题“若ab，则acbc”是假命题，D选项正确.

故选：CD.

（多选题）9．下列判断正确的是（）

x2y3

A．方程组的解集为1

2xy3

B．“四边形Ω是梯形”是“四边形Ω有一组对边平行”的充分不必要条件

C．若a6a,a26，则a的取值集合为2

D．“xN,x22N”是存在量词命题

【答案】BCD

【难度】0.85

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法表示集合、判断命题的充分不必要条件、判断命题是否

为特称（存在性）命题

【分析】求出方程组的解集判断A；利用充分不必要条件的定义判断B；由元素与集合的关系求出a判断C；

利用存在量词命题的定义判断D.

x2y3

【详解】对于A，方程组的解集为1,1，A错误；

2xy3

对于B，梯形有一组对边平行，但有一组对边平行的四边形不一定是梯形，B正确；

2

对于C，当a3时，6aa263，由a6aa3，得a2，C正确；

对于D，xN,x22N是存在量词命题，D正确的.

故选：BCD

（多选题）10．以下正确的选项是（）

A．不等式x34的解是1x7

2

B．集合A2,aa2,1a，若4A，则a的值为2或3

C．集合M{x,y∣x2,y3}，则M

D．命题xZ,x23为真命题

【答案】ABC

【难度】0.65

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断两个集合的包含关系、特称命题的否定及其真假判断、利

用不等式求值或取值范围

【分析】由绝对值不等式的解法可得A正确；由集合中未知元素得4再结合元素的互异性可得B正确；由

集合M的意义和空集的性质可得C正确；由方程的解可得D错误；

【详解】对于A，不等式x34等价于4x34，解得1x7，故A正确；

对于B，由题意可得a2a24或1a4，解得a2或1或3，

当a2时，A2,4,1符合题意；

当a1时，1a2不满足集合元素的互异性，舍去；

当a3时，A2,14,4；

所以a的值为2或3，故B正确；

对于C，集合M表示横坐标大于2，纵坐标小于3的点集，有无穷多个，所以M，故C正确；

对于D，x23x3，不为整数，故D错误.

故选：ABC.

（多选题）11．下列说法正确的是（）

A．空集是任意非空集合的真子集

B．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件

22

C．已知Ayyx2,xR，Bmmt2,tR，则A与B是两个不同的集合

D．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则M中有不属于P的元素

【答案】ABD

【难度】0.85

【知识点】判断两个集合是否相等、判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断