2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第09讲 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）

第09讲二次函数与一元二次方程、不等式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：7大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝知识点2二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x＝－顶点坐标奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数常用结论：①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.知识点3三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅注意：1.有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔.2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.教材习题01求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数：(1)；(2)．解题方法（1），解得，所以不等式的解集为.（2）由得，即，当时，即恒成立，不等式的解集为.当时，，所以不等式的解集为或.当时，，所以不等式的解集为或.【答案】(1)(2)答案详见解析教材习题02求关于x的不等式的解集，其中m是常数．解题方法因为，1.当时，则，所以不等式的解集为；2.当时，令，解得或，（1）当时，可知，所以不等式的解集为；（2）当时，可知，则有：①当，即时，所以不等式的解集为；②当，即时，所以不等式的解集为；③当，即时，所以不等式的解集为；综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【答案】答案见详解教材习题03某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？解题方法设每件售价元，则，解得，所以销售价格最高是20元.【答案】销售价格最高是20元考点一一元二次不等式的概念及辨析1．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．[2,3]（多选题）2．下列不等式是一元二次不等式的是（

）A． B．C． D．3．已知关于的不等式的解集为.（1）的取值范围为；（2）用表示，为；（3）不等式的解集为；（4）0；（填“”或“”）（5）不等式的解集为.考点二解不含参数的一元二次不等式1．下列不等式中，与的解集相同的是（

）A． B．C． D．2．不等式的解集是（

）A． B．C． D．3．不等式的解集为.4．解下列不等式.(1)；(2).考点三解含参数的一元二次不等式1．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是.3．已知二次函数（）．(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值；(2)求关于x的不等式的解集．4．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B.(1)求集合A与集合B；(2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.5．解关与x的不等式：考点四一元二次不等式根的分布问题1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．（多选题）2．若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（

）A． B． C． D．（多选题）3．若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（

）A． B．C． D．4．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是．5．方程的两根都大于2，则实数的取值范围为考点五一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系1．“或"是“存在实数使得不等式成立”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分非必条件2．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．-2 B．1 C．2 D．（多选题）3．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．不等式的解集为（多选题）4．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A．B．C．不等式的解集为D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则5．函数(1)当恒成立时，求实数的取值范围；(2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围(3)若恒成立，求实数的取值范围考点六恒成立问题1．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．或3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数的值恒为正数，则实数的取值范围是．5．若，不等式恒成立，则的取值范围为．考点七一元二次不等式的实际应用1．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（

）A． B． C． D．2．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（

）A． B． C． D．3．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（

）（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中）A． B． C． D．（多选题）4．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（

）A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速5．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为.知识导图记忆知识目标复核1．二次函数解析式的三种形式2．二次函数的图象与性质3．三个“二次”间的关系1．矩形中，，，过的一条直线与直线，直线分别相交于点，，其中，，则的面积的最小值为（

）A． B．4 C． D．62．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或4．若，则的最小值是（

）A．3 B．6 C．9 D．125．若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或6．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（

）A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/7．设，不等式恒成立，则a的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．8．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（

）A． B． C． D．9．已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．310．[多选题]下列说法正确的是（

）A．已知U为全集，“”的充要条件是“”B．若集合中只有一个元素，则C．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为D．“”是“”的充分且不必要条件11．已知方程的两个根满足，则m的值是.12．已知正数a，b满足，则的最小值为．13．若命题为真命题，则实数的取值范围为．14．不等式的解集为．15．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠