2024-2025学年宁夏回族自治区吴忠市盐池县高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年宁夏回族自治区吴忠市盐池县高一下学期7月期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=i1−i(i为虚数单位)，则A.22 B.12 C.12.某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则n=(

)A.20 B.30 C.40 D.483.设α,β,γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：①若α⊥γ，β⊥②若m⊥α，m⊥③若m//α，n⊥④若α⊥β，α∩β=m，其中所有错误说法的序号是(

)A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④4.已知a=1，b=2，a与b的夹角为3π4，则aA.−12 B.−22 5.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为xA.若s2=0，则所有的数据xi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)都为0

B.若x=3，则yi=2xi+1(i=1,2,⋅⋅⋅,n)的平均数为6

C.若s2=3，则y6.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E为棱AB的中点，则直线PE与平面PAC所成角的正弦值(

)A.22 B.3434 C.7.如图，在▵ABC中，∠BAC=π3,AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+1A.12 B.22 C.8.在正三棱锥P−ABC中，PA=3,AB=32，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥P−ABC内部，其球心与▵ABC的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥P−ABC的三个侧面均相切，则半球球面面积(不包括底面积)和小球表面积之和最小时，小球的半径为(

)

A.12 B.22 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=a2−1+(a+1)iA.若z为纯虚数，则a=±1

B.若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a∈(−∞,−1)

C.若a=0，则z10.一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是(

)

A.甲发生的概率为14 B.乙发生的概率为316C.甲与丙相互独立 11.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1A.该四棱台的高为322

B.二面角C1−BD−C的大小为60°

C.若点P在四边形ABCD内，A1P=212，则动点P的轨迹长度是3π8

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某圆锥的侧面积为47π，母线长为4，则该圆锥的高为

13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为

．14.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcosC+ccosB)sinB=3bcosA，则A=

；若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平面向量a→,b→,a(1)求|a(2)若a→+2b→16.(本小题15分为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间(单位：时)，并按照[0,2),[2,4),(1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；(2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率．17.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC(1)求证：AB1(2)求证：BD⊥平面(3)求直线BC1与平面A18.(本小题17分)如图，▵ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为边BC上一点，且AD⊥AC

(1)已知sin∠ACB=(ⅰ)求CDBD(ⅱ)若BD=5，求(2)求b2+19.(本小题17分唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”(如图所示)：棱长为1的水晶正八面体(八个面都是全等的正三角形)，中间的球体部分是被挖空的(表面不被破坏)，并嵌入了红豆．

(1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．(2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次(抽取结果互不影响)，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．(3)若点P为(1)中球面上的任一点，设∠PAB=θ1，∠PAD=θ2，二面角B−AP−D的平面角为答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出|z【详解】依题意，z=i⋅所以|z故选：A2.【答案】C

【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：n×样本中女生人数为：n×由题意，所以3n5所以n=40．故选：C3.【答案】C

【解析】【分析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断．【详解】①若a⊥γ，β⊥γ，则②若m⊥α，m⊥③若m//α，n⊥④若α⊥β，α∩β=m，n⊥故选：C4.【答案】C

【解析】【分析】求出a⋅【详解】依题意a⋅所以a在b上的投影向量为a⋅故选：C．5.【答案】C

【解析】【分析】由平均数的方差的性质可判断A，B，C；由百分位数的定义可判断D．【详解】对于A，数据x1，x2，…，xn的方差s2=0时，说明所有的数据x1，但不一定为0，故选项A错误；对于B，数据x1，x2，…，xn数据yi=2xi+1(i=1,2,⋅⋅⋅,n)对于C，数据x1，x2，…，xn数据yi=2xi+1(i=1,2,⋅⋅⋅,n)对于D，数据x1，x2，…，xn的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90故选：C．6.【答案】C

【解析】【分析】连接AC交BD于点O，连接PO，过点E作EH⊥AC于点H，连接PH，证明EH⊥平面PAC，推得∠EPH为直线【详解】如图，在正四棱锥P−ABCD中，连接AC交BD于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD过点E作EH⊥AC于点H，连接PH，因EH⊂平面ABCD因PO∩AC=O,PO,AC⊂平面PAC，故EH故∠EPH为直线PE与平面PAC因PA=AB=2，E为棱AB的中点，则EP=故sin∠EPH=故选：C．7.【答案】D

【解析】【分析】设DP=λDC(0≤λ≤1)，先由▵ABC的面积求出ABAC及AB·AC的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出λ【详解】由S▵ABC=所以AB·由AD=2DB可得因为P为CD上一点，所以设DP=λ则AP=λ=λAC因为AP=m所以λ=m23所以AP=所以AP=(当且仅当14AC=12所以AP的最小值是6故选：D8.【答案】A

【解析】【分析】设半球的球心为点O1，连接PO1，连接AO1并延长交BC于点D，判断小球球心O在线段PO1上，设球O的半径为r，半球O1的半径为r1【详解】如图，设半球的球心为点O1，连接PO1，连接AO1因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥P−ABC的三个侧面均相切，故其球心O在线段PO连接PD，则球O必与PD相切，设切点为E，连接OE．设球O的半径为r，半球O1的半径为r因AD=32PO1=易得▵POE与▵PDO1相似，故有因PO+OO1=由题意，半球球面面积(不包括底面积)和小球表面积之和为：2=2π[该二次函数的开口向上，对称轴为直线r=1故当r=12时，2π故选：A．9.【答案】BCD

【解析】【分析】利用复数的概念求解选项A，利用复数的几何意义求解选项B，利用共轭复数的概念求解选项C，利用复数的模求解选项D．【详解】若z为纯虚数，则a2−1=0且a+1≠0，解得a=1，故若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a2−1>解得a<−1，即a∈若a=0，则z=−1+i，得z若a=0，则z=−1+i，得|故选：BCD．10.【答案】AC

【解析】【分析】由列举法求解所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解概率，结合选项即可逐一求解．【详解】设事件A表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，事件B表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，事件C表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，事件D表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，续抛掷质地均匀的正四面体形的骰子两次，有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种等可能的不同结果，第一次抛掷骰子所得数字是1的情况有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)，甲发生的概率为：P(A)=416=第二次抛掷骰子所得数字是2的情况有：(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)，乙发生的概率为：P(B)=416=两次抛掷骰子所得数字之和是5的情况有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，丙发生的概率为：P(C)=4两次抛掷骰子所得数字之和是6的情况有：(2,4),(4,2),(3,3)，丁发生的概率为：P(D)=3P(AC)=116,P(CD)=0故事件甲与丙相互独立，故C正确；P(C)P(D)=14×故选：AC．11.【答案】AB

【解析】【分析】过点A1作A1H⊥AC，垂足为H，求得A1H判断A；设O为四边形ABCD对角线的交点，可得二面角C1−BD−C的平面角为∠C1OC，求解可判断B；点P的轨迹为以H为圆心，以32为半径的圆【详解】如图1，过点A1作A1H⊥AC因为A1C1=6,AC=2设O为四边形ABCD对角线的交点，则O为BD中点，CO⊥BD.由知C1O⊥BD，所以二面角又CC1=AA1=C1O=由勾股定理得PH=故点P的轨迹为以H为圆心，以32为半径的圆(在正方形易知点H到边AB，AD的距离都为32)，所以动点P的轨迹长度是2由图1易得BD⊥A1故BD⊥平面AA1C1C，不妨设M落在图2的过M′作M′M1//BD，交C1O于故M′M1⊥M1A同理，M1A1故动点M只有落在C1O上，再看图3，易知A1▵C1OC和▵C1OA可知MA+MA1=MA+MC≥AC=26，即M与O重合时，MA+M故选：AB．12.【答案】3

【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式求出底面半径，再结合母线长，利用勾股定理求出圆锥的高．【详解】设底面半径为r，母线长为l，因为侧面积S=47π所以πr×4=4圆锥的高ℎ=故答案为：3．13.【答案】78625【解析】【分析】分两种情况讨论，(1)甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；(2)乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解．【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：(1)甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时P1(2)乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时P1所以恰好进行了4局结束比赛的概率为P1故答案为：78【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.【答案】π3

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；4−2【解析】【分析】先根据正弦定理和三角函数公式求出角A，再结合已知边求出角B、C.由AP2=AP⋅AB推出点P在以AB为直径的圆上.要使PA2+PC2最小，确定点P位置，得到∠CPA大小.然后在▵PAC【详解】因为(bcosC+ccos又B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以tanA=因为c=2,b=1，易得C=π因为AP2=AP所以点P在以AB为直径的圆上，要使PA2+PC2取得最小值，则点P在劣弧AC上(不同于A，C两点在△PAC中，由余弦定理得AC2=P所以PA2+PC2≥故答案为：π3；15.【答案】(1)由a=1,3,则a=2，a·a+2(2)=2×故a+2所以a+2b与2a

【解析】(1)由a=1,3,b=1和a(2)求a+216.【答案】(1)第五组的频率为1−2×所以该组对应的小矩形高度为0.22设样本数据的中位数为x，平均数为x．因为样本数据在[0,6)的频率为2样本数据在[0,8)的频率为2则x∈(6,8)，所以0.45+0.125×故估计样本中位数为6.4．x=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2故估计样本平均数为6.2．由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2．(2)由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为(0.1+0.05)×记事件A1=“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，A2=“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于利用频率估计概率，PA记事件M=“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”，则P(M)=P所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51．

【解析】(1)根据频率之和为1，可求出[8,10)(2)利用对立事件概率的关系，结合独立事件计算公式，可求解．17.【答案】(1)连接B1C交BC1于点因为四边形BCC1B1为正方形，所以因为D为AC的中点，所以OD/\!/AB因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂(2)由题意可得AA1⊥平面ABC，又BD所以AA1⊥BD，又D为AC的中点，因为AA1⊥BD，AC⊥所以BD⊥平面A(3)由(2)知BD⊥平面AA1C1C，所以直线所以∠D在▵ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，D所以BD=12AC=在直角三角形DC1C故在直角三角形DC1B又∠DC1B∈0,π2，所以

【解析】(1)连接B1C交BC1于点O，连接(2)根据线面垂直的性质定理得AA1⊥(3)由BD⊥平面AA1C1C知直线BC1在平面AA1C18.【答案】(1)(ⅰ)由题意得，CDBD因为AD⊥AC，所以cos∠ACB=B=π−∠所以sinB=所以CDBD(ⅱ)由(ⅰ)得CD=3BD=3在Rt▵ACD中，AD=CD所以S▵又S▵ACDS所以S▵(2)由正弦定理得b2由(1)得B=π故b2令t=cos因为B=π2−2C>0则b=4t+2当且仅当4t=2t，即所以b2+c

【解析】(1)(ⅰ)根据CDBD(ⅱ)先求出CD，进而可求出AC,AD，即可求出S▵ACD，再结合(2)先利用正弦定理化边为角，再根据B=π方法点睛：解三角形的基本策略：(1)利用正弦定理实现“边化角”；(2)利用余弦定理实现“角化边”．求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：(1)找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；(2)利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解．19.【答案】(1)设被挖空的球体的半径为r.球心为O，根据题意，当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，此时设四棱锥E−ABC