2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第10讲 一元二次函数、方程和不等式-章末复习（学生版）

第10讲一元二次函数、方程和不等式

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1等式性质与不等式性质

1.实数的大小顺序与运算性质的关系

(1)a>ba－b>0；

(2)a＝⇔ba－b＝0；

(3)a<b⇔a－b<0.

2.不等⇔式的性质

(1)对称性：a＞bb＜a；

(2)传递性：a＞b⇔，b＞ca＞c；

(3)可加性：a＞ba＋c⇒＞b＋c；a＞b，c＞da＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b⇔，c＞0ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd；

nn

(5)可乘方：a＞b＞0a⇒＞b(n∈N，n≥1)；⇒⇒

(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).

知识点2基⇒本不等式

ab

1.基本不等式：ab≤

2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

ab

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.

2

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

2

ab

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

2

3.利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).

s2

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

4

注意：

ba

1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

ab

2

aba2b2

2.ab≤≤.

22

2aba2b2

3.ab(a>0，b>0).

11

22

ab

知识点3二次函数与一元二次方程、不等式

1.二次函数解析式的三种形式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－b，顶点坐标是

2a

一般式

b4acb2

(,)

2a4a

顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)

2

f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax＋bx＋c＝0的两根，图象

零点式

的对称轴是x＝x1x2

2

2.二次函数的图象与性质

函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

(抛物线)

定义域R

4acb24acb2

值域[,)(,]

4a4a

b

对称轴x＝－

2a

b4acb2

顶点坐标(,)

2a4a

奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

bb

在(,]上是减函数；在(,]上是增函数；

2a2a

单调性

bb

在[,)上是增函数在[,)上是减函数

2a2a

常用结论：

①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

a0a0

②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.

00

3.三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx

＋c(a＞0)的图象

有两相等实根

一元二次方程ax2＋bx有两相异实根

b没有实数根

＋c＝0(a＞0)的根x1，x2(x1＜x2)x1＝x2＝－

2a

2

ax＋bx＋c＞0{x|x＞xb

2x|xR

(a＞0)的解集或x＜x1}2a

ax2＋bx＋c＜0

{x|x1＜x＜x2}∅∅

(a＞0)的解集

注意：

1.有关分数的性质

bbmbbm

(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).

aamaam

11

(2)若ab>0，且a>b.

ab

2.对于不等式ax2＋⇔bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.

3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.

∅

解题方法

教材习题

01由

设mx2y22x2y，n3，比

mnx2y22x2y3(x1)2(y1)210，

较m，n的大小关系．

所以mn.

【答案】mn

解题方法

因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，

bmb

所以提炼出的不等式为：，其中

ama

ab0,m0，

教材习题02

ag糖水中含有bg糖，若再添加mg糖（其中下面用作差比较法给出证明：

bmbabmbammab

ab0,m0），生活常识告诉我们：添加的糖完全

amaaamaam

溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼

.

出一个不等式吗？试给出证明.

因为a，b，m都是正数，且ab，

mab

则am0，ab>0.可得0，

aam

bmb

所以.

ama

bmb

【答案】，其中ab0，m0，证明见解析

ama

解题方法

原不等式等价于

2x5x20，即

教材习题03

2x5x20，

2x5

解不等式0．

x25

所以2x．

2

5

故原不等式的解集为x2x．

2

5

【答案】x2x

2

考点一不等式的性质

（多选题）1．若实数a，b，c满足ab0c，则下列不等式成立的有（）

4bbc

A．acbcB．acbcC．bc4D．

bcaac

（多选题）2．设a,b,cR，则下列选项中正确的是（）

A．若ab，则acbcB．若a2b2，则ab

C．若ac2bc2，则abD．若ab，则a3b3

111

3．已知a11，a21，设P，Q1，则P与Q的大小关系为．

a1a2a1a2

a

4．（1）已知3a4，2b5，求2ab，ab及的取值范围．

b

xy

（2）设x、y均为正实数，试比较和的大小．

1x1y

2

5．（1）试比较x1x5与x3的大小

x

（2）已知4x5，2y3，求xy，的取值范围.

y

考点二一元二次不等式

2

1．已知集合Ax|1x1，Bx|x4x0，则AB（）

A．0,1B．1,4C．1,0D．1,4

2．已知命题P:"xR,(a1)x22(a1)x30"为真命题，则实数a的取值范围是（）

A．1a2B．a1C．a1D．1a2

3．若不等式x22xm0有解，则实数m的取值集合是.

4．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集UR，集合

1

Mxx22ax20，Nxx2的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若

2

区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是．

x4

5．设p:实数x满足x22ax3a20a0，q：实数x满足0.

x2

(1)若a1，且p,q都为真．命．题．，求x的取值范围；

(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

考点三其他不等式

2

1．若“x³k”是“1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）

x1

A．[3,)B．(3,)C．[1,)D．(,1]

bx

2．已知不等式ax2bx30的解集为{x|x1或x3}，则不等式0的解集为（）

xa

A．{x|1x2}B．{x|2x2}C．{x|x2或x1}D．{x|x1或x2}

2x4

3．不等式0的解集为.

3x

4．不等式x1x2x326x2的解集为．

5．解下列关于x的不等式

4x220x8

(1)3

x25x4

(2)x2x64x

(3)x23x2x5

考点四基本不等式

1．已知a0，b0，且2ab2，则ab的最大值为（）

12

A．B．C．1D．2

22

54xx2

2．函数fx在,2上的最小值是（）

2x

A．0B．1C．2D．3

（多选题）3．已知a0,b0且ab1，则下列选项正确的是（）

1

A．ab的最大值是B．ab的最大值是

42

12aa2b21

C．的最小值是12D．的最小值是

aba2b14

4

4．函数yx2(x1)的最小值为，此时x的值为．

x1

41

5．已知x0，y0，且xy5，若2m1恒成立，则实数m的取值范围是.

x1y2

123

6．已知a0,b0,ab1，则的最小值为．

abab

考点五一元二次方程的解集及其根与系数的关系

1．对于下列结论：

①方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；

②方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；

7

③方程3x270的两根之和为0，两根之积为；

3

④方程3x22x0的两根之和为2，两根之积为0．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

2．若关于x的方程x22k1xk220的两个实数根的平方和等于11，则k等于（）

A．k3或k1B．k3C．k1D．k3

3．设常数pR，已知关于x的一元二次方程x22p1xp2p0的两个实根分别为、，若

2212，则p．

11

2

4．已知二次不等式xbx2b30的解集为x1,x2，2，则b的取值范围是.

x1x2

22x11

5．已知x1,x2是关于方程x2k1xk10的两个根，且x1,x2都大于1．若，求实数k的值．

x22

知识导图记忆

知识目标复核

1．等式性质与不等式性质

2．基本不等式

3．二次函数与一元二次方程、不等式

1．不等式xx10的解集为（）

A．xx0，或x1B．x0x1

C．xx1，或x0D．x1x0

aam

2．已知ab0，则“”是“m0”的（）

bbm

A．充要条件B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件D．必要不充分条件

3．一元二次不等式2x2x10的解集是（）

11

A．,(1,)B．,1C．D．R

22

14

4．已知ab2，a0，b0，则的最小值为（）

ab

9

A．9B．C．4D．6

2

5．不等式x2axb0的解集是x|1x3，则bx2ax10的解集是（）

1

A．x|3x1B．x|1x

3

1

C．xx3或x1D．xx1或x

3

6．xR，不等式mx2(2mn)x2n0恒成立，则9mn的最小值为（）

A．6B．62C