2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第18讲 对数及其运算（教师版）

第18讲对数及其运算

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1对数的概念

x

1.如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N

叫做真数.

2.常用对数与自然对数：

3.对数的简单性质

（1）负数和0没有对数，即N＞0；

（2）特殊值：1的对数是0，即（a＞0，且a≠1）；底数的对数为1，即（a＞0，且

loga10logaa1

a≠1）.

知识点2对数的性质、换底公式与运算性质

logNb

a

(1)对数的性质：①a＝N；②logaa＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算法

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M

②loga＝logaM－logaN；

N

n

③logaM＝nlogaM(n∈R)；

nn

m

④logaM＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

m

(3)换底公式和对数运算的一些方法：

log7

（1）常用换底：logN＝logaN(a，b均大于零且不等于1).如：2lg7ln7．

blog57

logablog25lg5ln5

11

（2）倒数原理：。如：．

logab=log32=

logbalog23

（3）约分法则：如．

logablogbclogcd=logadlog23log34=log242

（4）归一法则：lg2lg51lg2lg5lg22lg5lg2（lg5+lg2）=lg5+lg2=1．

教材习题01

已知lnaa0与lnbb0互为相

反数，则（）解题方法

由已知得lnalnb0，即lnab0，所以ab1.

A．ab0B．ab0C．D．

【答案】C

解题方法

（1）

当x1时，ylog310，

教材习题02

当x3时，ylog331，

（1）计算对数函数ylog3x当x1，3，9时的函数

当x9时，ylog92；

值；3

（2）

（2）计算常用对数函数ylgx当x0.01，0.001，

当x0.01时，ylg0.012，

1000时的函数值．

当x0.001时，ylg0.0013，

当x1000时，ylg10003.

【答案】见解析

解题方法

（1）

lg25lg4lg9

log25log4log9

235lg2lg3lg5

2lg52lg22lg3

教材习题038；

lg2lg3lg5

利用对数的换底公式计算：

（2）log43log83log32log92

(1)log225log34log59；

lg3lg3lg2lg2

(2)log43log83log32log92．

lg4lg8lg3lg9

lg3lg3lg2lg2

2lg23lg2lg32lg3

5lg33lg25

.

6lg22lg34

【答案】(1)8

5

(2)

4

考点一对数的概念判断与求值

1．若对数式log3t23t有意义，则实数t的取值范围是（）

222

A．,B．,11,3C．,2D．,

333

【答案】B

【分析】根据对数式有意义可得出关于t的不等式组，由此可解得实数t的取值范围.

3t20

2

【详解】要使对数式log3t23t有意义，需3t21，解得t3且t1，

3

3t0

2

所以，实数t的取值范围是,11,3.

3

故选：B.

2．下列说法正确的是（）

b

对数式logaNb与指数式aN(a0且a1)是同一关系式的两种不同表示方法；

b

①若aN(a0且a1)，则alogaNN一定成立；

②对数的底数为任意正实数；

③

logaabb，对于一切a0且a1恒成立．

④A．B．C．D．

【答案】①B②③④①②④①③④②③④

【详解】错误，对数的底数不能为1，排除A，C，D．

3．使对数③式log2a2(104a)有意义的a的值可能是（）

357

A．2B．C．D．

244

【答案】ACD

2a20,

335

【详解】要使log2a2(104a)有意义，则2a21,解得1a或a．

222

104a0,

4．下列说法等式正确的有（）

A．lglg100B．lglne0

C．若lgx10，则x10D．若lnxe，则xe2

【答案】AB

【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解.

【详解】对于选项A：lglg10lg10，故A正确；

对于选项B：lglnelg10，故B正确；

对于选项C：若lgx10，则x1010，故C错误；

对于选项D：若lnxe，则xee，故D错误.

故选：AB.

5．判断下列给出的函数是否是对数函数：

(1)ylogax(a0,a1)；

(2)ylogx1x；

(3)ylog(2)2x；

(4)ylog2x3；

(5)y3log2x1．

【答案】(1)不是

(2)不是

(3)是

(4)不是

(5)不是

【分析】（1）由对数函数的定义判断可得；

（2）由对数函数的定义判断可得；

（3）由对数函数的定义判断可得；

（4）由对数函数的定义判断可得；

（5）由对数函数的定义判断可得；

【详解】（1）原式中的真数是x，而不是x，故不是对数函数．

（2）原式中的底数是x1，而不是常数，故不是对数函数．

（3）原式中的底数是(2)240，且不等于1，符合对数函数的定义，是对数函数．

（4）原式中的真数是(x3)，而不是x，故不是对数函数．

（5）原式中log2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数．

考点二指数式与对数式的互化

1．将下列指数式与对数式互化：

(1)log3273；

log83

(2)1；

2

2

1

(3)9；

3

1

(4)22.

4

【答案】(1)3327；

3

1

(2)8；

2

log92

(3)1；

3

1

(4)log2.

24

【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可.

x

【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式aNxlogaN，

3

对于log3273，可化为327.

3

log831

（2）对于1，可化为8.

22

2

1log92

（3）对于9，可化为1.

33

11

（4）对于22，可化为log2.

424

2．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（）

1

011

A．e1与loge10B．3与log

82823

1

．log92与．log71与1

C3923D777

【答案】AD

【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可.

x

【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式aNxlogaN，

0

对于A，e1可化为loge10，故A正确，

1

1

对于B，3可化为log2，故B错误，

8283

2

对于C，log392可化为39，故C错误，

1

对于D，log771可化为77，故D正确.

故选：AD

3．（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是（）

1

02111

A．101与lg10B．16与log16

442

1

．log92与．与1

C3923Dlne1ee

【答案】ABD

2

【详解】选项C中应为log392与39，C错误．

3x,y,z

4．已知logxyz，则之间的关系是（）

A．y3xzB．yx3zC．y3xzD．yz3x

【答案】B

3z33z

【详解】由logxyz，得xy，所以yx．

102x102x10x10x

5．若xlg3，则．

10x10x102x102x

73

【答案】

24

10x10x10x10xxx

x11010

【详解】因为xlg3，所以10x3，从而10．故原式

310x10x10x10x10x10x

11173

10x10x3

xx1．

10103324

3

考点三对数的运算

102x102x10x10x

1．若xlg3，则．

10x10x102x102x

73

【答案】

24

10x10x10x10xxx

x11010

【详解】因为xlg3，所以10x3，从而10．故原式

310x10x10x10x10x10x

11173

10x10x3

xx1．

10103324

3

1

0

3

2．计算：11．

log3618log93log62

278

【答案】3

【分析】由指数、对数运算法则计算即可.

1

0

【详解】131

log3618log93log62

278

ln18ln3ln2

31

ln36ln9ln6

ln22ln3ln3ln22ln2ln3

443.

2ln62ln3ln62ln6

故答案为：3.

2

3．eln33e．

【答案】e

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

2

【详解】eln33e33ee,

故答案为：e.

4．（1）lg25lg2log4102lg2；

2

（）1log3log2log18log4

26666.

3

【答案】（1）；（2）1

2

【分析】（1）运用对数运算公式及换底公式计算即可.

（2）运用完全平方公式及对数运算公式计算即可.

21

【详解】（1）lg25lg2log4102lg2lg5lg22lg2

lg4

111

2lg5lg22lg22lg52lg22lg5lg2

2lg222

1113

2lg522lg102

2222

26

（2）原式12log3log3loglog63log4

666366

2

12log3log31log31log3log4

66666

22

12log3log31log3log4

6666

6

21log3log

6log6log36

6631

2log62

log62log62

考点四对数的运算性质的应用

log5

12

1．（）

2

25

A．－5B．C．D．5

52

【答案】D

【分析】根据指数、对数运算性质即可求解.

log25

1log5

【详解】225.

2

故选：D.

2．设alg2，blg3，则log1210（）

11

A．2abB．2baC．D．

2ba2ab

【答案】D

lg10

【分析】利用换底公式可得log1210，然后运用对数运算法则即可求解.

lg12

lg10111

【详解】log1210.

lg12lg4lg32lg2lg32ab

故选：D.

1

3．（多选题）若loglog6logx2，则（）

5336

111

A．xB．x25C．log5D．log5

25x2x2

【答案】AD

1-lg3lg6lgx

鬃=鬃=-21

【详解】log5log36log6x2，所以lgx2lg5，所以x=5=，故A正确，B错误；

3lg5lg3lg625

log51

log5log55

x112，故C错误，D正确．

25log

525

11

4．若正实数m，n，t满足5m7nt，且2，则t.

mn

【答案】35

【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数m,n的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公

式，求出参数值.

mn

【详解】已知57t0，则log5tm,log7tn，

1111

根据换底公式可得log5,log7，则log5log7log352，

mtntmnttt

变形得t235，解得t35.

故答案为：35.

25

5．已知x1,x2是方程3(lgx)lgx10的两个实数根，则lgx1x2logxx2logxx1的值等

12

于．

95

【答案】

9

51

【详解】设tlgx，则原方程化为3t25t10,(5)2431130,tt，tt，即

123123

51

lgxlgx,lgxlgx，所以

123123

22

lgx1lgx25lgx1lgx2

lgx1x2logxx2logxx1lgx1lgx2

12

lgx2lgx13lgx1lgx2

2

51

22

5lgxlgx2lgxlgx595

121233．

3lgx1lgx2319

3

考点五运用换底公式化简运算

1．（多选题）下列关系表示正确的是（）

b

A．若log2a,log5b，则lg5

77ab

8

B．若2x9,logy，则x2y6

23

111

C．若设x,y,z(0,)，且3x4y6z，则

x2yz

3a

D．若log9a,log5b，则lg3

82b1

【答案】ABC

lg2lg5alg21lg5b

【详解】对于A，a,b，所以，所以lg5，所以A正确；

lg7lg7blg5lg5ab

x864

对于B，由29，得xlog29，故x2ylog292log2log29log2log2646，所以B正确；

39

lgklgklgk

对于C，设3x4y6zk，取对数得x,y,z.所以

lg3lg4lg6

11lg3lg42lg3lg42lg32lg2lg3lg2lg61

.所以C正确；

x2ylgk2lgk2lgk2lgklgklgkz

lg92lg323log23log233a

对于D，因为log89a，所以log23a，所以log23a,lg3，

lg83lg232log2101log252(b1)

所以D错误.

故选：ABC.

且

2．若log3alogab2a0a1，则b的值为.

【答案】9

【分析】由换底公式结合对数定义可得答案.

lnalnblnb

【详解】logalogblogb2，则3log3bb329.

3aln3lnaln33

故答案为：9

3．log35log46log57log68log79.

【答案】3

【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可.

lg5lg6lg7lg8lg9

【详解】由换底公式得log5log6log7log8log9

34567lg3lg4lg5lg6lg7

lg8lg9lg23lg323lg2lg3

3.

lg3lg4lg3lg22lg3lg2

故答案为：3.

11

4．（1）已知2a5b1000，求的值；

ab

32

（2）已知32x43y126，求的值.

xy

111

【答案】（1）；（2）1

ab3

【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案.

331111

【详解】（1）由已知，alog21000,blog51000，所以lg2lg5.

lg2lg5ab33

2x3y66

（2）因为3412，所以2xlog3126log312，解得x3log312log3312，

6

由3ylog4126log412，解得y2log412log212，

3232

3log332log22

所以1212log1232log12121.

xylog3312log212

5．计算：

lg2lg5lg82

(1)log；

lg50lg4022

21

(2)lg5lg8lg1000lg23lglg0.06

6

【答案】(1)0

(2)1

【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可.

105

lg1lg

【详解】（1）原式8log2410.

5025

lglg

404

2

（2）原式lg53lg233lg2lg6lg6lg100

3lg5lg23lg53lg222

3lg2lg5lg23lg52

3lg23lg523lg2lg52321.

考点六运用换底公式证明恒等式

1．已知a39.

(1)求log3a的值；

xy11

设14，求证：1

(2)log3a.

23xy

2

【答案】(1)loga

33

(2)证明见解析

【分析】（1）将a39两边取对数化简即可得解；

11

（2）由(1)解得x,y，代入计算即可得解.

xy

332

【详解】解：（1）将a9两边同取对数得，log3a2，则3log3a2，所以log3a.

3

xy22

142

（2）由，得xlog1，ylog4.

2332333

1114

所以log2，log2，

x32y33

1114211

则log2log21，故1.

xy32333xy

211

2．已知：2x3y12z1，求证：．

xyz

【答案】证明见详解

【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.

【详解】设2x3y12za1，显然a0，

111

则xloga,yloga,zloga，可得log2,log3,log12，

2312xayaza

211

所以2loga2loga3loga4loga3loga12.

xyz

1

3．设a、b是两个不等于1的正数，求证：logba.

logab

【答案】证明见解析

【分析】利用换底公式转化、化简即得证.

logaa1

【详解】因a、b是两个不等于1的正数，则logba，

logablogab

1

即logba.

logab

4．设a,b,c,d均为正数，且a,c均不为1.求证：logablogcdlogadlogcb.

【答案】证明见解析

【分析】运用换底公式证明即可.

lnblndlndlnb

【详解】由题意，根据换底公式，logblogdlogdlogb，命题得证.

aclnalnclnalncac

111

5．设xaybzc，其中x，y，z均大于0，且都不为1，，求证：zxy．

abc

【答案】证明见解析

111

【分析】令xaybzck，k0且k1，即可表示出a、b、c，再由、换底公式及对数的运算

abc

性质计算可得.

【详解】依题意a、b、c均不为0，

令xaybzck，k0且k1，

则alogxk，blogyk，clogzk．

111111

因为，所以，

abclogxklogyklogzk

即logkxlogkylogkz，

zxy

所以logkxylogkz，即．

6．设a0，b0，a0，且a1，b1，利用对数的换底公式证明：

(1)logblogb；

aa

1

(2)logab；

logba

xx

(3)计算：若xlog232，求33的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

17

(3)

4

【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果；

（2）直接利用换底公式即可证明结果；

（3）根据条件，利用换底公式得到xlog34，即可求出结果.

logablogab

【详解】（）因为logblogb，所以命题得证

1aaalogablogab.

logaaa

logb11

b

（2）因为logaba，所以命题logab得证.

logbalogbalogba

2

2log22

（3）因为xlog232，所以xlog34，

log23log23

xxlog4log4log4111717

故3333334334，即3x3x的值为.

444

知识导图记忆

知识目标复核

1．对数的概念

2．两个对数恒等式

3．对数的运算性质

4.换底公式及推论

一、单选题

1．对数式log3a26a中实数a的取值范围是（）

22

A．,6B．1,6C．,11,6D．,

33

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】对数的概念判断与求值

【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于a的不等式组，求解即可得到答案.

3a20,

2

【详解】由对数式log3a26a有意义得3a21,解得a,11,6.

3

6a0,

故选：C.

2．已知a1，且loga8loga21loga4，则a（）

1

A．2或8B．或8C．8D．64

2

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】对数的运算

【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解.

32

【详解】因为loga8loga2loga2loga23loga2，

2

1loga41loga212loga2，

令tloga20，

1

所以3t212t，解得t或t1（不符合题意舍去），

3

1

所以log2，解得a8.

a3

故选：C

1ax

3．已知fxlogx为奇函数，则a的值为（）

2x1

1

A．eB．C．1D．1

e

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数

【分析】根据奇函数的性质f(x)f(x)来建立等式，进而求出a的值.

1ax

【详解】已知f(x)logx为奇函数，则f(x)f(x).

2x1

1ax1ax

先求f(x)logxlogx，

2x12(x1)

1ax1ax

因为f(x)f(x)，所以log2xlog2x，

(x1)x1

1ax1ax

即logxlogx，

2(x1)2x1

1ax1ax

两边同时减去x可得：loglog，

2(x1)2x1

1

根据对数的运算法则1ax1axx1，

log2log2log2

x1x11ax

1axx11axx1

则loglog，所以，

2(x1)21ax(x1)1ax

交叉相乘可得：(1ax)(1ax)(x1)(x1)，化简得1a2x2(x21)，

即1a2x2x21，那么a2x2x2，所以a21，解得a1.

1x

当a1时，10，无意义，舍去.

x1

1x

当a1时，f(x)logx，此时函数有意义，所以a1.

2x1

故选：D.

mnlnx2(lnyln10)

4．若10x,10y，则的值为（）

ln10ln10

1111

A．m2n2B．m2n1C．m2n1D．m2n2

2222

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用

【详解】因为10mx,10ny，所以lgxm,lgyn，所以

lnx2(lnyln10)11

lgx2(lgy1)lgx2lgy2m2n2．

ln10ln1022

123

5．满足条件xaxbxc，且0的一组x,x,x为（）

123abc123

A．x14，x23，x32B．x14，x22，x33

C．x13，x29，x32D．x118，x212，x32

【答案】D

【难度】0.4

【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算

【分析】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可.

【详解】设abc，alogm，blogm，clogm，

x1x2x3mx1x2x3

123xx3xx3

1313

logm20，21，

abcx2x2

结合选项，ABC不符合，D符合，

故选：D．

6．已知函数fx2x，若存在实数a、b、c使得fbfcfbfc且

fafbfcfafbfc成立，则a的取值范围为（）

4224

A．0,log2B．0,log2C．,log2D．,log2

3333

【答案】A

【难度】0.4

【知识点】比较指数幂的大小、基本不等式求积的最大值、指数式与对数式的互化

bc1

【分析】由已知等式变形得出2b2c1，结合基本不等式可得出2，由已知条件变形得出