2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第四节　直线、平面垂直的判定与性质

第四节直线、平面垂直的判定与性质1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.1.已知直线l1⊥平面α，直线l2⊂平面α，则l1与l2的位置关系一定成立的是（）A.相交 B.垂直C.异面 D.平行解析：B根据线面垂直的性质，则l1⊥l2，故选B.2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面解析：A四面体S-EFG如图所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得SG⊥△EFG所在的平面.故选A.3.已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD解析：B因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.由于BC⊂平面BCD.所以平面BCD⊥平面ACD.4.已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为π6，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是（A.3π B.2πC.π D.π解析：A如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝π6，又AC＝1，所以BC＝3，故射影形成的图形为半径为3的圆面，其面积为3π.故选5.正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为.答案：2解析：如图，由正六棱柱的几何特征可知BB'⊥AB，BB'⊥BC，则∠ABC为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，∴∠ABC＝（6－21.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.垂直于同一条直线的两个平面平行.3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.5.三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC.6.三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO.1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A.α⊥β且m⊂α B.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β解析：C由结论1可知C正确.2.（多选）下列命题为真命题的是（）A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直C.垂直于同一条直线的两个平面相互平行D.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面解析：BCD对于A，两个相交平面有一条交线，交线有无数个公共点，但是这两个平面不重合，故A错误；对于B，由结论3可知正确；对于C，由结论2可知正确；对于D，由结论4可知正确，故选B、C、D.3.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷10题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（）解析：BC由结论5易知B、C正确.线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.解题技法1.证明直线和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直线垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；（4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α）.2.证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，②由①②可知EF∥BD1.平面与平面垂直的判定与性质【例2】（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.解：（1）证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.（2）如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD.因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD.因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD，所以AA1⊥平面BCD.因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD.因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.因为AA1＝2，所以CD＝1.易知AA1∥平面BB1C1C，所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1.解题技法1.判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.2.已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.（2022·全国乙卷18题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积.解：（1）证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，又E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE，因为BE∩DE＝E，且BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.（2）由（1）可知BA＝BC，因为∠ACB＝60°，AB＝2，所以AC＝2，则BE＝3，DE＝1，又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，所以DE⊥EB.连接EF（图略），易知当△AFC的面积最小时，EF取最小值，在Rt△BED中，EF的最小值为E到BD的距离，故当△AFC的面积最小时，EF＝DE·BEBD由射影定理知EF2＝DF·FB，又DF＋FB＝BD＝2，所以DF＝12，FB＝3法一因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，所以DE⊥平面ABC，则F到平面ABC的距离d＝BFBD×DE＝3故VF-ABC＝13S△ABC×d＝13×34×4×3法二由（1）知BD⊥AC，又BD⊥EF，所以BD⊥平面ACF，所以BF即为B到平面ACF的距离，故VF-ABC＝VB-AFC＝13S△AFC×BF＝13×12×AC×EF×BF平行与垂直的综合问题考向1平行与垂直关系的证明【例3】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1.证明：（1）因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.（2）因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C，又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.解题技法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考向2平行、垂直关系与几何体的度量【例4】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.解：（1）证明：连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.又由BG＝PG，故GH为△PBD的中位线，所以GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.（2）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC.因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，DN⊂平面PCD，所以DN⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，所以DN⊥PA.又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.（3）连接AN，由（2）中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形，CD＝2，且N为PC的中点，所以DN＝3.又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD＝3所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33解题技法1.平行、垂直关系应用广泛，不仅可以判断空间线面、面面位置关系，而且常用于求空间角和空间距离、体积.2.综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解.（2022·全国甲卷19题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.解：（1）证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN，∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8，∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN.又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM⊂平面EAB，FN⊂平面FBC，∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形，∴EF∥MN.又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.（2）如图，分别取AD，DC的中点P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD.由（1）知EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝43，EM∥FN∥GQ∥HP.易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，∴PM⊥MN，又P