2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-重难专攻（十二）　概率与统计的综合问题

重难专攻（十二）概率与统计的综合问题概率与统计的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.统计图表与概率的综合问题【例1】（2022·新高考Ⅱ卷19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1％，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16％.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.解：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄x＝10×（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.（2）由于患者的年龄位于区间[20，70）是由患者的年龄位于区间[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70）组成的，且相互独立，所以所求概率P＝1－（0.001＋0.002＋0.006＋0.002）×10＝0.89.（3）设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50）为事件A，患这种疾病为事件B，则P（A）＝16％，由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40，50）的概率为0.023×10＝0.23，结合该地区这种疾病的患病率为0.1％，可得P（AB）＝0.1％×0.23＝0.00023，所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50），则此人患这种疾病的概率为P（B｜A）＝P（AB）P解题技法统计图表与概率综合问题的求解策略（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.（2024·六盘水第一次模考）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据以往资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T表示为X的函数；（2）根据频率分布直方图估计利润T不少于57000元的概率；（3）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100，110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率），求T的均值.解：（1）当X∈[100，130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800（2）由（1）知当且仅当120≤X≤150时利润T不少于57000元.由频率分布直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E（T）＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.回归分析与概率的综合问题【例2】（2024·烟台一模）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352计算得到一些统计量的值为：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中u（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程；（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为45，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其经验回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝∑i=1nxiyi解：（1）对y＝aebx两边取对数可得lny＝ln（aebx）＝lna＋lnebx，即lny＝lna＋bx，令ui＝lnyi，所以u＝bx＋lna，由u＝16∑i=16x＝16×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，∑i=16xi2＝12＋22＋32＋42＋所以b＝∑i=1nxi又u＝bx＋lna，即4.75＝0.36×3.5＋lna所以lna＝3.49，所以a＝e3.49.所以y关于x的经验回归方程为y＝e0.36x＋3.49.（2）由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，所以P（X＝5）＝15，P（X＝7）＝45×15P（X＝9）＝（45）2×15＝16125，P（X＝12）＝（45）所以X的分布列为X57912P141664所以E（X）＝5×15＋7×425＋9×16125＋12×64解题技法回归分析与概率综合问题的解题思路（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等；（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2023年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下表：A大学B大学C大学D大学2023年毕业生人数x/千人3456自主创业人数y/千人0.10.20.40.5（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y＝a＋bx；（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.①若该市E大学2023年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额；②若A大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p，2p－1（12＜p＜1），该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p的取值范围参考公式及参考数据：b＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nxi2解：（1）由题意得x＝3+4+5+64＝4.5，y＝0.1+0.2+0.4+0.54＝所以a＝y－bx＝0.3－0.14×4.5＝－故y关于x的经验回归方程为y＝0.14x－0.33.（2）①将x＝7代入得，y＝0.14×7－0.33＝0.65，所以估计该市政府需要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额为0.65×1000×1＝650（万元）.②设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝（1－p）（2－2p）＝2p2－4p＋2，P（X＝1）＝（1－p）（2p－1）＋p（2－2p）＝－4p2＋5p－1，P（X＝2）＝p（2p－1）＝2p2－p，则E（X）＝（2p2－4p＋2）×0＋（－4p2＋5p－1）×1＋（2p2－p）×2＝3p－1≤1.4，p≤45因为12＜p＜1，所以12＜p≤45，故p的取值范围为（1独立性检验与概率的综合问题【例3】（2023·全国甲卷19题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；（2）试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.809.2011.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：＜m≥m对照组试验组②根据①中的列联表，能否有95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，且P（X＝k）＝C2k·C3820－kC所以X的分布列为：X012P192019X的数学期望E（X）＝0×1978＋1×2039＋2×19（2）①根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数m＝23.2+23列联表如下：＜m≥m对照组614试验组146②根据①中结果可得K2＝40×（6×6所以有95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.解题技法独立性检验与概率综合问题的解题思路本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.某种疾病可分为A，B两种类型.为了解患该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者总人数是男性患者总人数的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者总人数的56，女性患A型疾病的人数占女性患者总人数的1（1）若本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，认为所患疾病类型与性别有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人；（2）某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m（m＞0）元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p（0＜p＜1），如果一个周期内至少2次产生抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若p＝23，试验人数为1000，试估计该试验用于接种疫苗的总费用解：（1）设男性患者有x人，则女性患者有2x人，由题意得2×2列联表如下：性别所患疾病类型合计A型疾病B型疾病男性5xx女性242x合计333x零假设为H0：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据可得χ2＝3x（5要使依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验可以认为所患疾病类型与性别有关，则2x3≥7.879，解得x≥因为x6∈N，x3∈N，所以x的最小整数值为所以被调查的男性患者至少有12人.（2）设该试验每人的接种费用为ξ元，则ξ的可能取值为3m，6m.则P（ξ＝3m）＝C32p2（1－p）＋p3＝－2p3＋3p2，P（ξ＝6m）＝1－P（ξ＝3m）＝1＋2p3－3p所以E（ξ）＝3m·（－2p3＋3p2）＋6m·（1＋2p3－3p2）＝3m（2p3－3p2＋2），因为p＝23，试验人数为1000，所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000E（ξ即1000×3m［2×（23）3－3×（23）2＋2］＝340009故估计该试验用于接种疫苗的总费用为3400091.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.（1）求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；（2）从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.解：（1）由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为2×4+3（2）由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝C42＋P（X＝1）＝C41CP（X＝2）＝C41CP（X＝3）＝C41C所以X的分布列为X0123P191372所以X的数学期望E（X）＝0×1975＋1×1330＋2×730＋3×22.为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立了高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区.为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数/x1020304050607080愿意整体搬迁人数/y817253139475566（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的经验回归方程y＝bx＋a（b保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校教职工愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发园区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：b＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nxi2－n解：（1）由已知得x＝45，y＝36，b＝∑i=18xiyi－8xy∑i=18故变量y关于变量x的经验回归方程为y＝0.80x.所以当x＝2500时，y＝2500×0.80＝2000，所以该校教职工愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数约为2000.（2）由题意可知X的可能取值为1，2，3，4.P（X＝1）＝C51·C33C84＝114，P（X＝2）＝C52·C32C84＝37，P（所以X的分布列为X1234P1331故E（X）＝1×114＋2×37＋3×37＋4×13.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取不放回地简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀503080不优秀4080120合计90110200（1）根据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用L（B｜A）＝P（B｜A）P（B｜A）表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X的概率分布列及数学期望.附：χ2＝n（α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：（1）零假设为H0：数学成绩与语文成绩无关联.据表中数据计算得：χ2＝200×（50×80－30×根据小概率值α＝0.010的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关联.（2）∵L（B｜A）＝P（B｜A）P（B｜A）∴估计L（B｜A）的值为83（3）按分层随机抽样的方法，抽取语文成绩优秀的有5人，语文成绩不优秀的有3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P（X＝0）＝C33C83＝156，P（X＝1P（X＝2）＝C52C31C83＝3056＝1528，P（X∴X的概率分布列为X0123P115155∴数学期望E（X）＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×54.某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图.（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算样本相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：样本相关系数r＝∑i参考数据：0.3≈0.55，0解：（1）由已知数据可得x＝2+4+5+6+85＝5y＝3+4+4+4+55＝因为∑i=15（xi－x）（yi－y）＝（－3）×（－1）＋0＋0＋0＋3×1∑i=15（xi∑i=15（y所以样本相关系数r＝∑i=15（xi因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.②安装2台光照控制仪的情形：当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3000－1000＝2000（元），P（Y＝2000）＝1050＝0.2当30＜X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y＝2×3000＝6000（元），P（Y＝6000）＝4050＝0.8故Y的分布列为Y20006000P0.20.8所以E（Y）＝2000×0.2＋6000×0.8＝5200（元）.③安装3台光照控制仪的情形：当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝1×3000－2×1000＝1000（元），P（Y＝1000）＝1050＝0.2当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝2×3000－1×1000＝5000（元），P（Y＝5000）＝3550＝0.7当30＜X＜50时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y＝3×3000＝9000（元），P（Y＝9000）＝550＝0.1故Y的分布列为Y100050009000P0.20.70.1所以E（Y）＝1000×0.2＋5000×0.7＋9000×0.1＝4600（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.5.某病毒主要是在人与人之间进行传播，可以通过飞沫、粪便、接触等进行传染，感染人群主要是年龄在40岁以上的群体.该病毒进入人体后有潜伏期（潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时期），潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对200个病例的潜伏期Z（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06.一般认为超过8天的潜伏期就属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本病例人数，如下表所示：长潜伏期非长潜伏期40岁以上3011040岁及40岁以下2040（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为“长潜伏期”与年龄有关？（2）假设潜伏期服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差.①为有效防止该病毒的传播，很多省份对入境人员一律要求隔离14天，请用概率和统计的知识解释其合理性；②将频率近似当作概率，设从这200个病例中另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X，X＝k（k∈N*，0≤k≤25）的概率记作P（X＝k）（k∈N*，0≤k≤25），试求X的数学期望以及当P（X＝k）取最大值时k的值.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(cα0.10.050.01xα2.7063.8416.635若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤Z≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤Z≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤Z≤μ＋3σ）≈0.9973，5.06解：（1）零假设为H0：“长潜伏期”与年龄无关，由列联表中数据得，χ2＝200×（30×40－110×20）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们没有充分证据推断H0不成立，即认为“长潜伏期”与年龄无关.（2）①若潜伏期服从N（7.1，5.06），由P（Z≥13.85）≈1－0.得潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的.②200个病例中有50个属于“长潜伏期”，将样本频率近似当作概率，则一个患者属于“长潜伏期”的概率是14所以另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数X～B（25，14）则E（X）＝254，且P（X＝k）＝C25k（14）k（34）25－k（k∈N*，0≤由C25k（14）k又k∈N*，所以k＝6.故X的数学期望是254，P（X＝k）取最大值时k的值为6.某汽车公司顺应时代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N（μ，σ2），用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，经计算样本标准差s的近似值为50，现任取一辆汽车，求它的单次最大续