2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第三节　导数与函数的极值、最值

第三节导数与函数的极值、最值课标要求1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.1.函数的极值与导数条件f'（x0）＝0x0附近的左侧f'（x）0，右侧f'（x）0x0附近的左侧f'（x）0，右侧f'（x）0图象形如山峰形如山谷极值f（x0）为极值f（x0）为极值极值点x0为极值点x0为极值点提醒f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.2.函数的最值与导数（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值；（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的，f（b）为函数的；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的，f（b）为函数的.1.若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无极值.2.若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值.3.若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数的极大值不一定比极小值大.（）（2）闭区间上的连续函数必有最值.（）（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（）（4）开区间上的单调连续函数无最值.（）（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.（）

2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是（）A.y＝f（x）在x＝－1处取得极大值B.1是函数y＝f（x）的极值点C.－2是函数y＝f（x）的极小值点D.函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减3.（人A选二P93例6改编）函数f（x）＝lnx－x在区间（0，e]上的最大值为（）A.1－e B.－1C.－e D.04.（苏教选一P215例4改编）函数f（x）＝x3－12x的极小值为，极大值为.5.（人A选二P104复习参考题9题改编）若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝.函数的极值（定向精析突破）考向1由图象判断函数的极值〔多选〕（2025·玉溪阶段练习）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数f（x）有极大值f（－2）B.函数f（x）有极大值f（2）C.函数f（x）有极小值f（1）D.函数f（x）有极小值f（2）听课记录解题技法由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.

考向2求函数的极值（极值点）已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）.（1）当a＝12时，求f（x）的极值（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.解题技法求函数的极值或极值点的步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根；（3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值.考向3已知函数的极值求参数若函数f（x）＝2e2x＋（a－2）ex＋x有两个极值点，则a的取值范围是（）A.（－∞，－2） B.（－∞，－1）C.（－∞，1） D.（－∞，2）听课记录解题技法已知函数极值点或极值求参数的2个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.提醒若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数.1.函数f（x）＝x22－3x＋2lnx的极大值与极小值之和为（A.2ln2－6 B.ln2－13C.ln2－6 D.2ln2－132.（2024·邢台高三开学考试）已知函数f（x）＝（x－a）（x2－x）在x＝a处取得极小值，则a＝（）A.－1 B.0 C.1 D.0或13.若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2e） B.（－2e，C.（0，2e） D.（2e函数的最值（定向精析突破）考向1不含参函数的最值（1）函数f（x）＝12x＋sinx在x∈[0，2π]上的最大值是，最小值是；（2）函数f（x）＝exx－2lnx＋2x的最小值为听课记录解题技法利用导数求给定区间上的最值的步骤（1）求函数f（x）的导数f'（x）；（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值；（3）求f（x）在给定区间上的端点值；（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.提醒若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则f（x）的最值不存在.考向2含参函数的最值若函数f（x）＝13x3＋x2－23在区间（a，a＋5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（A.[－5，0）B.（－5，0）C.[－3，0） D.（－3，0）听课记录解题技法已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决.1.（2024·东北三省四市联合体模拟）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函