2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第十一节　立体几何中的创新性问题

第十一节立体几何中的创新性问题重点解读面对新情境、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合.明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式.在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题.对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明.同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象.定义新概念（师生共研过关）（1）等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（）A.3B.4C.6D.8（2）（2025·上海普陀区测评）对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个交点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系O-xyz中，球O的半径为1，记平面xOy、平面zOx、平面yOz分别为α，β，γ.①若棱长为a的正方体、棱长为b的正四面体的内切球均为球O，求ab的值②若球O在点（16，13，12）处有一切平面λ0，求λ0与α的交线方程解题技法解决定义新概念型问题的关键是把新概念理解透彻（如等腰四面体、球切面等），再逐步转化为用熟知的符号知识、方法表示解决.本例（2）破障关键为理解α与λ0两平面的位置特征及交线的位置特征.将几何特征用向量表示，确定在平面α上的直线方程，再确定该直线在空间中的一个方向向量.定义新运算（师生共研过关）（1）〔多选〕设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角均为θ（θ∈（0，π2］）的三条数轴，e1，e2，e3分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若OP＝xe1＋ye2＋ze3（x，y，z∈R），则把有序数对（x，y，z）θ叫做向量OP在坐标系Oxyz中的坐标，则下列结论正确的是（）A.若向量a＝（－1，3，－7）θ，向量b＝（3，－2，4）θ，则a＋b＝（2，1，3）θB.若向量a＝（2，6，－3）π2，向量b＝（3，－1，0）π2，则aC.若向量a＝（x，y，0）θ，向量b＝（1，2，0）θ，则当且仅当x∶y＝1∶2时，θ＝πD.若向量OA＝（1，0，0）π3，向量OB＝（0，1，0）π3，向量OC＝（0，0，1）π3，则二面角O（2）设全体空间向量组成的集合为V，a＝（a1，a2，a3）为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”f（x）：f（x）＝－x＋2（x·a）a（x∈V）.①设u＝（1，0，0），v＝（0，0，1），若f（u）＝v，求向量a；②对于V中的任意两个向量x，y，证明：f（x）·f（y）＝x·y；③对于V中的任意单位向量x，求｜f（x）－x｜的最大值.解题技法定义新运算问题一般先考查对运算法则的理解，这时只需一一验证新运算满足的条件.再考查满足该新运算后要解决什么问题.如本例（2），满足新运算的函数有某些新的性质，这也是在新背景下研究“旧”性质，此时需结合新运算下新的数学表达式，依据熟知的运算法则和定理进行逻辑推理与运算，创造性地证明更新的结论成立.定义新性质（师生共研过关）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ＝cosαcosβ＋sinαsinβcosθ.如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝π3，AA1＝23，AB＝2，且A1点在底面ABCD内的射影为AC的中点O.（1）求cos∠A1AB的值；（2）直线AA1与平面ABCD内任意一条直线夹角为φ，证明：π3≤φ≤π解题技法用类比方法求解定义新性质创新问题的三个切入角度（1）从两个性质的相似性和差异性上理解新性质的准确性；（2）从两个性质的内涵、应用环境上的差异刻画新性质的“全貌”（本质）；（3）从类比方法获得启示，从而应用新性质解决问题.定义新情境（师生共研过关）（1）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781—1864）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例（1+52≈1.618），泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若h2＝as，则由勾股定理，as＝s2－a2，即（sa）2－sa－1＝0，因此可求得sa为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形（2a＝856），顶点P的投影为底面中心O，H为BC中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）A.611.6 B.481.4C.692.5 D.512.4（2）我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12V球＝πR2·R－13πR2·R＝23πR3.现将椭圆x24＋y29＝1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（解题技法新情境创设的几种常见类型（1）从情境的复杂程度出发，高考一般从学生的“熟悉情境、关联情境、综合情境”三个层次命题；（2）从情境与学科知识的融合度上可分为“情境分离型”（去掉情境素材，仍能完成学科任务）；“情境嵌入型”（此类题目中的情境与题目中的学科任务相互融合，