5.3 实际问题与一元一次方程（1） 同步练习 北师大版数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程（1）-北师大版数学七年级上册一、选择题1．如图所示，△ABC是一块直角三角板，其中∠BAC=30°，直尺的一边DE经过顶点A，若∠BAE的度数是∠DAC的23A．100° B．120° C．2．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（）A．x−2245+2230=1C．x+2245+2230=13．某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按1:2配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（）A．80m=2×50×90−m B．C．2×80m=50×90−m D．4．某种商品的进价为200元，标价为400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证利润率为40%，则可以打()A．六折 B．七折 C．八折 D．九折5．若有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个，则这个班的小朋友有()A．26人 B．27人 C．28人 D．29人6．五一期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打八折(标价的80%)销售，售价为2080元。设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是()A．x×30%×80%=2080 B．x(1+30%)×80%=2080C．2080×30%×80%=x D．x×30%=2080×80%7．为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（）千克．A．60000 B．75000 C．6000 D．75008．已知线段AB上有两个点C、D，AB=18，C、D为动点（点C在点D的左侧），并且始终保持CD=8，若点C从点A出发向右运动（当点D到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，AC、BD两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（）A．t=53 B．t=53或t=83 C．t=5二、填空题9．如图，天平左边托盘上放着3个乒乓球，右边托盘上放着5g的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡．如果设1个乒乓球的质量为x（g），由题意你所列出的一个含有未知数x的方程是．10．为提升课堂积极性，某老师制定了如下奖励方案：回答问题为“优秀”等级可获得一张2分的卡片，回答问题为“一般”等级，可获得一张1分的卡片；若获得卡片较多，可拿两张1分的卡片找老师兑换一张2分的卡片，两张2分的卡片可兑换一张4分的卡片，两张4分的卡片可兑换一张8分的卡片……一学期下来，小明同学拥有分值为1，2，8，16，32，64，256的卡片各一张，若小明回答问题获“优秀”和“一般”等级共240次，请问这学期小明回答问题获得了次“优秀”等级．11．某种商品的标价为200元，为了吸引顾客，按九折出售，这时仍要盈利20%，则这种商品的进价是元．12．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，x+3，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是．13．如图，某书店准备在一个书架上竖着摆放《九章算术》和《几何原本》，若把10本《九章算术》和15本《几何原本》依次摆放，则书架还有12厘米的剩余间隙；若把15本《九章算术》和10本《几何原本》依次摆放，则书架还有14厘米的剩余间隙。若书架上只摆放25本《九章算术》，则书架的剩余间隙为厘米。14．如图，一个长方体玻璃容器内部的长为8cm，宽为6cm，高为16cm，容器内水的高度为2cm，现把一块边长为4cm的立方体金属块放入水中，则容器内的水将升高cm.三、解答题15．一项道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，则乙队还需几天才能完成？16．一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多少厘米?17．某商场经销A商品，每件售价60元，利润率为20%（1）求A商品每件进价为多少元；（2）小明准备到商场团购A种商品、当团购数量不超过5件时，按照原售价购买，当团购数量超过5件时，超出部分按照原价8折购买，最终小明团购均价为52元/件，求小明团购了多少件A商品？18．某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．（1）若二班有50名学生，则他该选择哪个方案？（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？19．我们记一对有理数a，b为数对a,b．如果数对a,b使等式a+b+1=ab成立，则称之为“有趣数对”．（1）如果数对m,34是“有趣数对”，那么（2）如果数对x,2是“有趣数对”，求x（3）如果a和b互为相反数，那么a,b是“有趣数对”吗？请说明理由．20．2024年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有800名工人，负责生产A,（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的3倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数；（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由3个盲盒A和4个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产10个盲盒A或20个盲盒B，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？四、实践探究题21．【背景知识】．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：a−b，若点A在B的右侧，即a>b，则A，B两点之间的距离为：a−b；②线段AB的中点表示的数为a+b2③点A向右运动m个单位长度m>0后，点A表示的数为：a+m，点A向左运动m个单位长度m>0后，点A表示的数为：a−m．同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．【问题情境】如图：在数轴上点A表示数−3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒t>0．（1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为______，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为______；运动t秒后，点A表示的数为______（用含t的式子表示）．（2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；（3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使mBC−2AB的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．22．综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．（1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？（2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．（3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）

答案解析部分1．【答案】B【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：设∠DAC=x，则∠BAE=23x.由题意可得

x+23x+30°=180°.故答案为：B.【分析】设∠DAC=x，根据题意建立关于x的一元一次方程，先计算出∠DAC，然后加上30°即为∠DAB.2．【答案】A【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的145，乙每天完成全部工作的1根据等量关系列方程得：x−2245故选A．【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。3．【答案】B【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题【解析】【解答】解：设分配m人生产螺丝，则有90−m人生产螺母每天生产螺丝50m个，生产螺母80×90−m∵每天生产的螺丝和螺母按1:2配套∴2×50m=80×故选：B．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配m人生产螺丝，得到90−m人生产螺母，结合每天生产的螺丝和螺母按1:2配套，列出关于x的一元一次方程，即可求解.4．【答案】B【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解析】【解答】解：设可以打x折

根据题意，得400×x10−200=200×40%

解得：x=7

∴可以打七折

故答案为：B.

5．【答案】C【知识点】一元一次方程的其他应用【解析】【解答】解：设这个班的小朋友有x人

根据题意，得7x+4=200

解得：x=28

∴这个班的小朋友有28人

故答案为：C.

【分析】设这个班的小朋友有x人，根据“有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个”列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解.6．【答案】B【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解析】【解答】解：设该电器的成本价为x元，则该电器的标价为x(1+30%)元

由题意可得：x(1+30%)×80%=2080

故答案为：B

【分析】设该电器的成本价为x元，则该电器的标价为x(1+30%)元，再根据题意建立方程即可求出答案.7．【答案】B【知识点】一元一次方程的其他应用【解析】【解答】解：设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售(1+25%根据题意得：15x+12(1+25解得x=60000∴(1+25∴今年该扶贫农产品销售75000千克故答案为：B．【分析】设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售(1+25%)x千克，根据题意列出方程8．【答案】C【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：设运动时间为t秒当AC=2BD时，依题意有2t=18−2t−8×2，解得当BD=2AC时，依题意有2×2t=18−2t−8，解得t=5故当运动时间t为53或103秒时，使AC、故选：C．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及两点间的距离，根据题意，分AC=2BD,BD=2AC，两种情况讨论，分别列出关于t的方程，求得方程的即，即可得到答案.9．【答案】3x=x+5【知识点】一元一次方程的其他应用【解析】【解答】解：根据题意，可列出一个含有未知数x的方程为：3x=x+5故答案为：3x=x+5．

【分析】利用天平的左右持平列等式解题即可．10．【答案】139【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题【解析】【解答】解：设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，根据题意

得2x+解得x=139．答：这学期小明回答问题获得了139次“优秀”等级．故答案为：139.

【分析】设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，则获得了(240-x)次“一般”等级，根据“优秀”等级得分与“一般”等级得分之和为总积分列出方程，求解即可解答．11．【答案】150【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解析】【解答】设这种商品的进价是x元，根据题意可得200×90%=x（1＋20%）解得：x=150故答案为：150．【分析】设这种商品的进价是x元，根据题意列出方程200×90%=x（1＋20%），再求出x的值即可。12．【答案】−6【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离【解析】【解答】解：由题意得：0−解得：x=−6故答案为：−6．【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，以及解一元一次方程，根据题意，得出一元一次方程0−x+313．【答案】18【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元一次方程的其他应用【解析】【解答】解：设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意得：5x=14−12解得：x=∴14+10x=14+10×2∴若书架上只摆放25本《九章算术》，则书架的剩余间隙为18厘米.故答案为：18.【分析】设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意列关于x的一元一次方程求出x的值，即可解题.14．【答案】1【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：设容器内的水将升高xcm根据题意得：6×8×2+4×4×2+x=6×8×解得：x=1.答：容器内的水将升高1cm.故答案为：1.【分析】设容器内的水将升高xcm，根据体积的计算方法列出方程，解之即可.15．【答案】解：设乙队还需x天才能完成

由题意可得：39+3+x24=1

解得：x=13

【解析】【分析】设乙队还需x天才能完成，根据甲乙两队的工作总量为1建立方程，解方程即可求出答案.16．【答案】解：设长方形的长为x，则宽为13-x

∴长减少1为x-1，增加2为15-x

∴x-1=15-x

解得：x=8

∴长方形的长为8cm，宽为5cm【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【分析】设长方形的长为x，则宽为13-x，则长减少1为x-1，增加2为15-x，根据正方形性质建立方程，解方程即可求出答案.17．【答案】（1）解：60÷(1+20%答：A商品每件进价为50元（2）解：设小明团购了a件A商品由题意得，5×60+60×0解得a答：小明团购了15件A商品【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）根据公式，利润=售价-进价，设A商品每件进价为x元，即可列出关于x的等式方程，求解即可；

（2）利用公式，总价=单价×数量，设小明团购了a件A商品，结合条件“最终小明团购均价为52元/件”，即可列出关于a的等式方程，即可求解.18．【答案】（1）解：由题意可得方案一的花费为：50×30×0.8＝1200（元）方案二的花费为：（50﹣6）×0.9×30＝1188（元）∵1200＞1188∴若二班有50名学生，则他该选择方案二（2）解：设一班有x人，根据题意，得x×30×0.8＝（x﹣6）×0.9×30解得x＝54．答：一班有54人【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题【解析】【分析】（1）根据优惠规则，分别计算方案一、方案二的总费用，再进行比较即可；

（2）设一班有x人，根据付款金额一样，可列出等式，即可求出一班人数.19．【答案】（1）解：∵m,34是“有趣数对”

∴m+34+1=34m

∴m=−7

把a=34（2）解：根据题意得x+2+1=2x

解得x=3

∴x2=9，（3）解：∵a和b互为相反数

∴a+b=0，且ab≤0

∴a+b+1=1≠ab

∴a,b不是“有趣数对”．【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】（1）利用“有趣数对”的定义可得m+34+1=34m，求出m的值，再证明即可；

（2）利用“有趣数对”的定义可得x+2+1=2x，再求出x的值，最后求出x4（1）解：∵m,3∴m+∴m=−7把a=34，b=−7代入a+b+1=ab所以34（2）解：依题意得x解得x∴x2=9∴x4（3）解：∵a和b互为相反数∴a+b=0，且ab≤0∴a+b+1=1≠ab∴a,b不是“有趣数对”．20．【答案】（1）解：设该工厂生产盲盒B的工人人数为x，则生产盲盒A的人数为(3x﹣200).根据题意，得x+(3x﹣200)＝800解得x＝250答：该工厂生产盲盒B的工人人数为250.（2）解：设该工厂安排a名工人生产盲盒A，(800﹣a)名工人生产盲盒B根据题意，得10a解得a＝480则800﹣a＝320答：该工厂应该安排480名工人生产盲盒A，320名工人生产盲盒B【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【分析】(1)设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为(3x﹣200)人，根据该工厂共有800名工人，列出一元一次方程，解方程即可；(2)设安排a人生产盲盒A，则安排(800﹣a)人生产盲盒B，根据大礼包由3个盲盒A和4个盲盒B组成.列出一元一次方程，解方程即可.21．【答案】（1）解：点A表示数−3，点B表示数1，点C表示数9，∴AB的距离为1−−3=4；A点与C点的中点D表示的数为−3+92=3；

运动t秒后，点A表示的数为−3−2t；（2）解：因为点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动

所以t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t当点A是点B，C的中点时，−3−2t=解得：t=16；当点B是点A，C的中点时，1−t=解得：t=1；当点C是点A，B的中点时，9−4t=解得：t=4；综上所述，t的值为16或1或4；（3）解：存在，由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t

因为(1−t)−(−3−2t)=4+t>0

所以点A在点B的左侧

所以mBC−2AB=m9−4t−1−t−21−t−−3−2t

=−3mt+8m−2t−8

=−3m−2t+8m−8，

因为mBC−2AB的值为定值

所以−3m−2=0

【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）根据数轴两点间的距离，即可求解；（2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t，分三种情况讨论，结合线段AB的中点表示的数为a+b2（3）由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t，由(1−t)−(−3−2t)=4+t>0可知点A在点B的左侧，化简mBC−2AB，即可求解．（1）解：点A表示数−3，点B表示数1，点C表示数9∴AB的距离为1−−3=4；A点与C点的中点D表示的数为运动t秒后，点A表示的数为−3−2t；故答案为：4；3；−3−2t；（2）解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为1−t，点C表示的数为9−4t，当点A是点B，C的中点时，−3−2t=解得：t=16；当点B是点A，C的中点时，1−t=解得：t=1；当点C是点A，B的中点时，9−4t=解得：t=4；综上所述，t的值为16或1或4；（3）解：存在由（2）得：t秒钟过后，点