安徽省2025届高三联考最后一卷数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省2025届高三联考最后一卷数学试题一、单选题1．已知复数z=3-i2，则A．3 B．2 C．23 D．【答案】D【解析】z=3-i2所以z=故选：D2．已知p：log2x≤2，q：2x-2≤4，则p是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知log2x≤2，解得由2x-2≤4，解得因为(0,4]⊆(-∞,4]，可知p能推导q，q不能推导p，所以p是故选：A．3．已知在△ABC中，点D满足4DB+3DC=0，设ADA．1 B．75 C．107 D【答案】C【解析】由4DB+3DC则AD=AB则2故AD=所以λ+2μ=故选：C.4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（

）A．4π3 B．28π9 C．【答案】B【解析】设圆台的母线长l，圆台为高为h，则圆台的上、下底面圆的面积分别为S1侧面积为S=π所以3πl=π+4π所以圆台的体积为V=1故选：B.5．函数fx=xeA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】f'当x<0时，f'x<0，当x>0所以fx在-∞,0所以当x=0时，fx当x→-∞时，fx→-1，所以当x≤0时，f而f(2)=e2-1>0，f(0)=-2<0，且函数在0,+∞故选：B6．已知A，B为椭圆C:x23+y22=1上两点，O为坐标原点且OA⊥OB，过点O作直线A．x2+yC．x2+y【答案】D【解析】若直线AB的斜率不存在时，则点H在x轴上，设H的坐标为(x00)因为A,B两点在椭圆C上，可得x023+x同理可得，若直线AB的斜率为零时，OH=若直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立方程组y=kx+mx23设A(x1,y1因为OA⊥OB，可得OA⊥则x1所以(k2+1)×又由OH⊥AB，可得过原点的直线OH的方程为y=-1联立方程组y=-1kxy=kx+m，解得则OH2=综上可得，点H的轨迹是以原点为圆心，半径为65且该圆的方程为x2故选：D.7．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，合肥六中高三（1）班开展了“铭记历史，缅怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有20人，女生有30人，根据统计分析，男、女生成绩的方差分别为11、6，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于5，若该班成绩的方差为s2，则s2的最大值为（A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【解析】设男生、女生成绩的平均数分别为m、n，全班成绩的平均数为x，则x=由题意m-n≤5s=8+625m-n2≤8+故选：D.8．在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥AB，PA=2，PC=7，则点B到平面PAC的距离为（

A．55 B．62 C．63【答案】C【解析】如图，作PH⊥平面ABC于点H，AB⊂平面ABC，则PH⊥AB，又因为PA⊥AB，PH∩PA=P，PH,PA⊂平面PAH，所以AB⊥平面PAH，因为AH⊂平面PAH，所以BA⊥AH，因为△ABC为等边三角形，所以∠CAB=60°，所以∠HAC=150连接AH,BH,CH.设PH=h，则AH=P因为CH所以7-h2=在△PAC中，cos∠PAC=P所以S△PAC由VP-ABC可得点B到平面PAC的距离为S△ABC故选：C二、多选题9．已知函数fx=cosx+πA．a=-1B．fC．fx在区间πD．不等式fx≥0【答案】ACD【解析】f=所以函数f(x)max=2+a=1，则a=-1所以f(x)=2sinx+π3-1所以f0≠f4当x∈π3,π，由复合函数单调性可知：fx在区间π3,f(x)=2sin可得sinx+即π6即-π6+2k故选：ACD10．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则（A．当AF=52时，AB=4 B．点FC．FA⋅FB>4OF【答案】ABD【解析】设直线l的方程为x=ty+m，Ax把直线l的方程与抛物线方程联立，可得y2因为有两个不同的交点，Δ=-2t所以y1+y2=2t,y1因为OA⊥OB，所以OA⊥OB，所以OA⋅所以m2-2m=0，解得m=0或m=2当m=0时，直线l的过坐标原点，此时不符合OA⊥OB，故舍去，当m=2时，满足Δ>0，所以直线l的过定点M2,0对于A，由抛物线方程y2=2x，可得焦点F1即x1+1又x1x2=m2=4y2=2x中，令x=2得y=±2，不妨设所以AB=4，故A对于B，点F到l的距离小于等于|MF|=32，所以点F到l的距离的最大值为32对于C，其中x1x2FA=4-1当且仅当x1所以FA⋅FB≥74，又4OF=4×对于D，由题意可得yP=y所以xP=yP2+2，即y故选：ABD.11．已知函数fx=x-13-ax-ba,b∈R的两个极值点分别为xA．若x2-B．若fx的极大值与极小值之差为12C．若fx1=x1，则关于xD．若存在实数x0≠x2【答案】AD【解析】对于选项A，已知f'(x)=3(x-1)则Δ>0，知道a>0.由韦达定理可知x1+x则(x若(x2-x1)2=4对于选项B，f(=(=(=4a3⋅2a3，若f(x1)-f(对于选项C，由[f(x)-1]2=a设t=f(x)，则3t2-6t+3-a=0，其两根为t因为f(x)的图象与直线y=x1有且仅有两个公共点，所以方程f(x)=x1有2个实数根；f(x)的图象与直线y=x则所求方程共有3个实数根，故C错误.对于选项D，因为f'(x则f(x2)=(x又由题可知x2≠1，所以3-2x2≠x2，由题意易知存在唯一的实数x0满足f(x0故选：AD.三、填空题12．已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=2，S9=126【答案】9【解析】设等差数列an的公差为d，由S9=故d=a5-a1故答案为：913．已知sinα-sinβ=13，cosα+cos【答案】-【解析】因为sinα-sinβ=所以，将两个等式分别平方可得：sin2α+cos2α+①+②，得2+2cos则cosα+β②-①，得：cos2α+则cosα+β将cosα+β=-59故答案为：-597214．甲同学完成一道英语七选五型选择题组练习（即从七个选项中选择五个，分别填入五个空中），已知每个空有且仅有一个正确答案，若甲同学每个空均作答且每个选项不重复选择，则甲同学此题五个空全部答错的情况数为.【答案】1214【解析】对于a1,a2,⋯,an和b1,b2,⋯,bn+2,规定设Fn为对于任意的ii=1,2,⋯,n,都不存在“正确配对易知F1首先证明Fn+1假设a1,a2,⋯,a（1）an+1和bii∈n+2,n+3配对,余下a1,a2,⋯,an和b（2）an+1和bii∈1,2,⋯,n配对,且bn+1与ai,（3）an+1和bii∈1,2,⋯,n配对,且bn+1与ai不配对,此时可将bn+1等效为bi,综上，所以Fn+1所以F3所以所求的结果为1214.故答案为：1214.四、解答题15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acos（1）求A；（2）若a=2，且△ABC的面积为34，求b，c解：（1）根据正弦定理，原条件即sinA也即sinA所以3sin由于sinC>0，所以3sinA=由于0<A<π，所以A-π6（2）由A=2π3，S=由余弦定理，得a2所以b+c=5又bc=1，所以b=5+12，c=5-116．已知函数f（1）若m=-2，求fx（2）若m≤0，证明：当x∈0,+∞时，（1）解：若m=-2，则fx=1f'令f'x>0，解得-2<x<-1或x>2所以fx的单调递增区间为-2,-1，2,+∞，单调递减区间为-1,0，（2）证明：当m≤0，x∈0,+∞时，lnx-m故只需证明当m=0时，fx当m=0时，f'令f'x>0，解得x>1，令f所以fx在区间0,1上单调递减，在区间1,+当x=1时，fx所以fx综上，当x∈0,+∞时，17．如图，将△BCD沿直线CD旋转至△ACD，再将△ACD沿直线CD旋转至△PCD，且使得AP//平面BCD.（1）证明：AB⊥CD；（2）若△BCD为正三角形，且AB=CD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.（1）证明：如图：过点B作BH⊥CD，垂足为H，连接AH.因为△ACD≅△BCD，所以AH⊥CD，又AH∩BH=H，AH,BH⊂平面ABH，故CD⊥平面ABH.又AB⊂平面ABH，所以AB⊥CD.（2）解：方法一：因为△BCD为正三角形，且AB=CD，所以三棱锥A-BCD为正三棱锥.设正三棱锥A-BCD的棱长均为23，如图，取CD的中点E，连接AE，BE，PE易知AE⊥CD,BE⊥CD，PE⊥CD，BE=AE=PE=3.作AO⊥平面BCD于点O，连接OP，易知点O为△BCD的中心，且在线段BE上，BO=2.由（1）知AB⊥CD，同理AP⊥CD，因为AB,AP⊂平面ABH，所以CD⊥平面ABP.设平面ABP∩平面BCD=l，则直线l过点B且l⊥CD，所以直线l即直线BE，又AP//平面BCD，所以AP//BE.因为cos∠AEO=OEAE=1所以AP//BO且AP=BO，所以四边形ABOP为平行四边形，所以AB∥OP，所以∠OPE为直线AB与平面PCD所成的角.因为OP=AB=23，PE=3，OE=1所以cos∠OPE=所以sin∠OPE=所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值69方法二：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，PE，作AO⊥平面BCD于点O，易知点O为△BCD的中心，且在线段BE上，以O为原点，直线OE，OA分别为y，z轴，过点O且与平面AOB垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正三棱锥A-BCD的棱长均为23，易知AE⊥CD，PE⊥CD，BE=AE=PE=3则OB=2，OE=1，OA=22由（1）知AB⊥CD，同理AP⊥CD，所以CD⊥平面ABP，设平面ABP∩平面BCD=l，则直线l过点B且l⊥CD，所以直线l即直线BE，又AP∥平面BCD，所以AP∥BE.因为cos∠AEO=OEAE=1所以A0,0,22，B0,-2,0，P0,2,22则BA=0,2,22，CP设平面PCD的法向量为m=则m⋅CP=-设直线AB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为6918．为了解一种新药治疗某疾病的效果，在获得有关部门批准后，制药公司在若干医院进行试验，每个医院选10个病人服用此药，规定：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，否则认为这种药无效.（1）甲医院参加试验的10个病人服用该药后有6人痊愈，乙医院参加试验的10个病人服用该药后有7人痊愈，现随机从甲、乙两医院中选择一个医院，然后从参加试验的10个病人中随机抽取2人，求恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人的概率；（2）假设这种新药的治愈率为80%，且每个病人服药后是否痊愈相互独立，求某医院经过试验认定该药无效的概率p；（结果精确到0.0001）（3）若已知这种病的自然痊愈率为10%，根据（2）的结果解释规定是否合理.参考数据：512×62201≈32000000.解：（1）设A1=“抽到甲医院”，A2=“抽到乙医院”，B=“随机抽取2人，恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各则PA1=PA2由全概率公式得PB（2）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率均为0.8，且每个病人是否痊愈是相互独立的.设X表示这10个病人中痊愈的人数，则X~B10,0.8.设C=“经过试验认定该药无效”，事件C发生等价于X≤4所以p=P======0.1（3）由题意，实际上新药提高了治愈率，是有效的.当痊愈的病人数不超过4时，认定新药无效，此时作出了错误的判断.因为作出错误判断的概率很小，所以规定是合理的.19．已知O为坐标原点，点A1为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右顶点，过点A1作垂直于x轴的直线交直线bx-ay=0于点B1，过点B1作垂直于y轴的直线交（1）设点Bn的横坐标为xn，求数列x（2）过点Ann≥2作C的切线l，求l的方程及l与C（3）某条曲线的包络直线系，是指与该曲线相切的所有直线组成的集合，且该曲线上每一点处的切线都是该直线系中的某条直线.若点B'1与B1关于x轴对称，直线MN与线段OB1，OB'1分别交于点M，N解：（1）设Ansn,tn，因为点因为BnAn+1与y因为BnAn与x又点An+1在C上，所以sn+12所以xn+12-xn又xn>0，a>0，所以（2）设点Px0,当x>