福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.已知向量，若，则（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】由向量，因为，可得，解得.故选：B.3.如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则这个平面图形的周长是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在直观图中，，所以，如图对应的原图形为，则，，所以，故的周长为，故选：D4.已知是关于的方程的一个根，则（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根，所以由韦达定理可得，解得.故选：B5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】由，，，得或，相交，则A是假命题.由，，，得或，异面，则B是假命题.对于C，如下图所示，过直线作平面的平行平面，使得，若，，所以，因为，，，所以，故，则C是真命题.由，，，得或，相交或，异面，则D是假命题.故选：C.6.在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（）A.等腰三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不确定的【答案】A【解析】由余弦定理可得，则.因为，所以，所以是等腰三角形.故选：A7.有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为1.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积，由题意知小球体积为，容器剩余的容积为，由得，故选：D.8.如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，过点作，交于点，作，交于点，则.因为，所以，，，，.因为，且，所以由正弦定理得，得，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.棱柱的侧面一定是平行四边形B.底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点D.用一个平面去截圆柱，截面一定是圆【答案】AC【解析】对于A中，根据棱柱的定义，可得棱柱的侧面一定是平行四边形，所以A正确；对于B中，底面是等边三角形，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥是正三棱锥，所以B不正确；对于C中，根据棱台的定义，可得棱台的所有侧棱所在直线必交于同一点，所以C正确；对于D中，用一个平行于底面的平面去截圆柱，截面一定是圆，若不平行于底面的平面截圆柱，得到得截面可能是椭圆面，所以D不正确.故选：AC.10.已知，是复数，则下列命题错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】对于A中，设复数，若，即，可得，即且，由，所以，所以A正确；对于B中，若，此时，但复数和不能比较大小，所以B错误；对于C中，如，可得，此时，所以C错误；对于D中，若，可得，此时满足，但且，所以D错误.故选：BCD.11.在锐角中，角的对边分别是，已知，，且，则（）A.角的取值范围是B.的取值范围是C.周长的取值范围是D.的取值范围是【答案】ABD【解析】因为，且，所以，所以，所以.因为是锐角三角形，，所以，则，则解得，所以，A正确.因为，所以.因为，所以，所以，所以，即的取值范围是，B正确..设，则在上单调递增，所以，即.因为，所以周长的取值范围是，C错误.因为，所以.因为在单调递增，所以，所以，即，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_______.【答案】【解析】由题意得该圆锥底面圆的半径，侧棱长，则该圆锥的侧面积为.故答案为：.13.某数学兴趣小组成员为测量两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且相距20千米，则，两地之间的距离是______千米.【答案】【解析】如图：在中，由题意可知，，千米，由正弦定理可得，则千米.在中，由题意可知，，千米，由正弦定理可得，则千米.在中，，千米，则千米.故答案为：14.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______.【答案】【解析】如图，在线段上取点，使得.连接，，，记，，连接，因为直线平面，且平面平面，所以.因为四边形是平行四边形，所以为线段的中点，则为线段的中点.因为，，所以，所以，即.因为为线段的中点，所以是线段的中点，则，所以，则.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数．（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．解：（1）由复数，因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），所以实数的值为.（2）由复数，若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，所以实数的取值范围为.16.已知向量，满足，，且．（1）求向量，的夹角；（2）若，求的值．（1）解：由向量，满足，，且．可得，可得，设向量与的夹角为，可得，因为，所以，即向量与的夹角为.（2）解：因为，可得，即，解得或.17.在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．（1）已知，，，．①用向量，表示向量，；②求的值．（2）若，求的值．解：（1）因为是线段的中点，所以，因为，则，因为，，，所以，所以.（2）设，则，所以，又，所以，由（1）知，所以，因为三点共线，可设（），所以，所以，又，所以，解得，所以.18.如图，在三棱柱中，、分别是棱、上一点，且，.（1）证明：平面.（2）证明：直线、、交于同一点.（3）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值.解：（1）因为，，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知，.因为，，所以，，则直线与相交.设直线与的交点为，因为点在直线上，且平面，所以平面.因为点在直线上，且平面，所以平面.因为平面平面，所以点在直线上，即直线、、交于点.（3）设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积.因为，所以，且，所以的面积，则三棱台的体积，故.19.如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地.（1）已知.①求道路的长度；②求的面积.（2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元